２次関数｜２次不等式の解法について（基本編）
２次不等式の解法・基本編
２次不等式の解を求める詳しい手順は上述の通りです。ただ、実際には、左辺の２次式に応じて、簡略化した解き方をする場合があります。
共有点のｘ座標を求めるときに注目して解法をパターン化してみます。
２次方程式の解法は、グラフとｘ軸との共有点の有無で異なります。今回は、基本編として、共有点が２つ存在する、すなわち２次方程式が異なる２つの実数解をもつときの解法です。
共有点のｘ座標は、２次関数においてｙ＝０のときの２次方程式を解くことで得られます。２次方程式の解法は２パターンです。
２次方程式の解法は２パターン
- ２次方程式を因数分解して解く
- ２次方程式を解の公式で解く
２次方程式をどちらで解くかによって、２次不等式の解の求め方が変わってきます。
基本編・２次不等式の左辺を因数分解できるとき
先ほどの例で考えてみましょう。２次方程式を因数分解したところから逆に辿ってみましょう。
２次不等式・２次方程式の左辺、２次関数の右辺に注目する
\begin{align*} \quad &\underline{{x}^{2}-2x-3} \lt 0 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &y=\underline{{x}^{2}-2x-3} \quad \left( y \lt 0 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &\underline{{x}^{2}-2x-3} = 0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 &= 0 \\[ 7pt ] \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) &= 0 \\[ 7pt ] \therefore \ x &= -1 \ , \ 3 \end{align*}よって、$y \lt0 $ を満たすのは
\begin{align*} \quad -1 \lt x \lt 3 \end{align*}２次不等式と２次方程式の左辺、２次関数の右辺の３つはともに同じ式です。ということは、２次関数の右辺と２次不等式の左辺も、２次方程式の左辺と同じ形に因数分解できるはずです。
このような場合、２次不等式の左辺を因数分解して、２次不等式の解を一気に求めてしまいます。ですから、２次関数や２次方程式のことを記述しません。
２次関数・２次方程式なしで２次不等式を解く
\begin{align*} \quad \underline{{x}^{2}-2x-3} &\lt 0 \\[ 7pt ] \quad \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) &\lt 0 \\[ 7pt ] \therefore \ -1 \lt x \lt 3 \end{align*}本来ならば、２次関数や２次方程式を利用して２次不等式の解を求めます。
しかし、２次不等式の左辺を因数分解できる場合、２次不等式の解に必要な共有点のｘ座標が分かってしまうので、途中を省略できるのです。
２次不等式の左辺を因数分解できると共有点のｘ座標が分かる
（２次不等式の左辺を因数分解できた）＝（２次方程式の解を求める直前の式になった）
一般に、２次不等式の左辺を因数分解できるときの解は以下のように表せます。
２次不等式の解法 1⃣
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c \lt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta ) \end{align*}が以下のように変形できるとき
\begin{align*} \quad a \left( x- \alpha \right) \left( x- \beta \right) \lt 0 \end{align*}$2$ 次不等式の解は
\begin{align*} \quad \alpha \lt x \lt \beta \end{align*}また
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c \gt 0 \quad ( a \gt 0 \ , \ \alpha \lt \beta ) \end{align*}が以下のように変形できるとき
\begin{align*} \quad a \left( x- \alpha \right) \left( x- \beta \right) \gt 0 \end{align*}$2$ 次不等式の解は
\begin{align*} \quad x \lt \alpha \ , \ \beta \lt x \end{align*}
このように一般化されているので、上述の条件に当てはまれば２次不等式の解を簡単に求めることができます。
しかし、２次関数や２次方程式との関係を理解するために、グラフを描いて解を求める習慣を付けておいた方が無難です。
２次不等式の左辺を因数分解できるときが一番易しい問題。
基本編・２次不等式の左辺を因数分解できないとき
２次不等式の左辺を因数分解できないとき、左辺を変形できません。ですから、このままでは共有点のｘ座標が分からないので、２次方程式を導出してから解きます。
２次不等式の左辺を因数分解できないとき
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-1 \lt 0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-1 \quad \left( y \lt 0 \right) \end{align*}ここで、$y=0$ のとき
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-1 = 0 \end{align*}解の公式より
\begin{align*} \quad x &=\frac{-\left(-1 \right) \pm \sqrt{\left( -1 \right)^{2}- 1 \cdot (-1)}}{1} \\[ 7pt ] &=1 \pm \sqrt{2} \end{align*}よって、$y \lt 0$ を満たすのは
\begin{align*} \quad 1-\sqrt{2} \lt x \lt 1+\sqrt{2} \end{align*}関数化の話を省略すると以下のようになります。
関数化を省略して解く
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-1 \lt 0 \end{align*}与式より
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-1 = 0 \end{align*}とおくと、解の公式より
\begin{align*} \quad x &=\frac{-\left(-1 \right) \pm \sqrt{\left( -1 \right)^{2}- 1 \cdot (-1)}}{1} \\[ 7pt ] &=1 \pm \sqrt{2} \end{align*}２次方程式の解を求めたら、因数分解できるときと同じように不等式の解を求めます。２次不等式の不等号を見て、向きに対応する解の形に合わせます。
一般に、左辺をもとにした２次方程式の解は、２次不等式の解と以下のような関係があります。
２次方程式の解と２次不等式の解との関係
$2$ 次方程式
\begin{align*} \quad ax^{2}+bx+c = 0 \quad \left(a \gt 0 \right) \end{align*}が異なる $2$ つの実数解 $\alpha \ , \ \beta \ (\alpha \lt \beta)$ をもつとき
\begin{align*} \quad a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right) \lt 0 \end{align*}の解は
\begin{align*} \quad \alpha \lt x \lt \beta \end{align*}また
\begin{align*} \quad a\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right) \gt 0 \end{align*}の解は
\begin{align*} \quad x \lt \alpha \ , \ x \lt \beta \end{align*}２次方程式と２次不等式との解の関係を参考すると、２次不等式の解を求めることができます。
不等号を見て解を求める
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-1 \lt 0 \end{align*} \begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad x &=\frac{-\left(-1 \right) \pm \sqrt{\left( -1 \right)^{2}- 1 \cdot (-1)}}{1} \\[ 7pt ] &=1 \pm \sqrt{2} \end{align*}よって、$2$ 次不等式の解は
\begin{align*} \quad 1-\sqrt{2} \lt x \lt 1+\sqrt{2} \end{align*}不等式の左辺を因数分解できないとき、注意したいのは２次不等式のままで解の公式を使ってしまうことです。解の公式は、２次方程式の解を求めるための式であって、２次不等式を解くための公式ではないからです。
同じ結果が得られたとしても、間違った過程や使い方にならないように気を付けましょう。
また、２次不等式の左辺を因数分解できる、できないにかかわらず、左辺を用いた２次方程式の解が分かれば、以下の関係を利用します。
もちろんグラフも利用しますが、最終的にはこの解法を用いて、２次不等式の解を求めることになります。
２次不等式を解くときの注意点
２次不等式の左辺を因数分解できるできないに関わらず、注意したいことが２つあります。
１つ目は、２次の項の係数が正の数であることです。
２次不等式を解くとき、２次の項の係数が正の数であることを前提にして解きます。このことはグラフを利用するときに役立ちます。
２次の項の係数が正の数であれば、グラフの向きは下に凸になります。つまり、いつも同じ向きのグラフを用いて考えることができます。図示するときに迷わなくて済みます。
２つ目は、不等式の右辺が必ず０であることです。
右辺が０であれば、２次関数に置き換えたときの値域が０より大きいや小さいなどの不等式になります。
このような値域に対応するグラフは、いつもｘ軸に対して上または下のどちらかになります。また、共有点のｘ座標も定義域に使えるようになります。
２次不等式を解く前にチェック！
- ２次の項の係数は正の数になっているか
- ２次不等式の右辺は０になっているか
次は、２次不等式を扱った問題を実際に解いてみましょう。