数列の極限｜はさみうちの原理を正しく使おう
数学３「数列の極限」で学習する「さみうちの原理」についてです。
この「はさみうちの原理」は、英語では定理（theorem）の名を冠される場合が多く、squeeze theorem, pinching theorem, sandwich theorem などと呼ばれています。
極限値を求めるとき、はさみうちの原理にはかなりお世話になりますが、正しく利用できているでしょうか？
記述の仕方によっては減点されてしまうので、正しい使い方を知っておきましょう。
はさみうちの原理の定義
はさみうちの原理は以下のように定義されています。
はさみうちの原理
数列 $\{ a_{n} \} \ , \ \{ b_{n} \} \ , \ \{ c_{n} \}$ において
\begin{align*} &\quad (i) \, \text{つねに $\ a_{n} \lt c_{n} \lt b_{n} \ $ (または $a_{n} \leqq c_{n} \leqq b_{n}$ )} \\[ 7pt ] &\quad(ii) \ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n = \alpha \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n = \alpha \end{align*}定義が分かったところで、次の問題を解いてみましょう。
はさみうちの原理を扱った問題を解いてみよう
例題
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} \end{align*}を求めよ。
この問題は極限値を求める問題で、はさみうちの原理を利用します。どのように記述すれば良いかを考えてみましょう。
例題の解答例
考えられる解答例を２つ挙げてみました。後半部分の記述が異なりますが、ほとんど同じで、得られた値も当然ながら同じです。
しかし、記述では答えが正しくても満点とは限りません。解答例１の記述の場合、実際の試験では満点になりません。どこに間違いがあるのか分かるでしょうか？
解答例１の間違いに気付いた人は、はさみうちの原理のことを本当に理解している人です。何でも挟んでおけば良いというわけではないということです。
２つの解答例の異なる部分を見比べて考えてみましょう。
解答例１
二項定理より、十分大きい $n$ に対して
\begin{align*} \quad 2^{n} = {(1+1)^{n}} = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k \gt \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}となるので
\begin{align*} \quad 0 \lt \frac{n}{2^{n}} \lt \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n-1} \end{align*}が成り立つ。したがって
\begin{align*} \quad 0 \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n-1} = 0 \end{align*}よって、はさみうちの原理より
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} = 0 \end{align*}解答例２
二項定理より、十分大きい $n$ に対して
\begin{align*} \quad 2^{n} = {(1+1)^{n}} = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k \gt \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}となるので
\begin{align*} \quad 0 \lt \frac{n}{2^{n}} \lt \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n-1} \end{align*}が成り立つ。
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n-1} = 0 \end{align*}が成り立つので、はさみうちの原理より
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} = 0 \end{align*}下から４行目以降（したがって～）が異なります。はたしてどこがおかしいのでしょうか。
はさみうちの原理を正しく理解しよう
もう一度、はさみうちの原理の定義を振り返ってみましょう。
はさみうちの原理
数列 $\{ a_{n} \} \ , \ \{ b_{n} \} \ , \ \{ c_{n} \}$ において
\begin{align*} &\quad (i) \, \text{つねに $\ a_{n} \lt c_{n} \lt b_{n} \ $ (または $a_{n} \leqq c_{n} \leqq b_{n}$ )} \\[ 7pt ] &\quad(ii) \ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n = \alpha \end{align*}ならば
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n = \alpha \end{align*}定義の言わんとすることを考えてみましょう。定義の(i)は、３つの数列について第ｎ項どうしの大小関係がつねに成り立っていることを表しています。
次に定義の(ii)です。定義(ii)は、言い換えると以下のようなことを表しています。
定義(ii)の言い換え
\begin{align*} &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n = \alpha \\[ 7pt ] &\quad \Updownarrow \\[ 7pt ] &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n \ , \ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n \end{align*}が存在し、その有限確定値が一致する。
さいごに「ならば」以降の結論部分を言い換えると以下のようになります。
結論部分の言い換え
\begin{align*} &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n = \alpha \\[ 7pt ] &\quad \Updownarrow \\[ 7pt ] &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n \end{align*}が存在し、その有限確定値が一致する。
つまり、結論にある「 $\small{ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } c_n = \alpha }$ 」は「（ア）数列 $\{ c_n \}$ には極限が存在し、（イ）その値が $\alpha$ である」という２つの事柄(ア)，(イ)を示していることが分かります。
これらのことを踏まえると、「はさみうちの原理」の定義から以下のようなことが分かります。
「はさみうちの原理」の本当の意味
はさみうちの原理は、極限が分からない数列｛ｃn｝について
- 極限の存在を示す
- 存在が示された極限の値を求める
ための道具である。
これを照らし合わせると、解答例１の方がおかしいことが分かるのではないでしょうか。
解答例１
二項定理より、十分大きい $n$ に対して
\begin{align*} \quad 2^{n} = {(1+1)^{n}} = \displaystyle \sum_{ k = 0 }^{ n } {}_n \mathrm{ C }_k \gt \frac{n(n-1)}{2} \end{align*}となるので
\begin{align*} \quad 0 \lt \frac{n}{2^{n}} \lt \frac{n}{\frac{n(n-1)}{2}} = \frac{2}{n-1} \end{align*}が成り立つ。したがって
\begin{align*} \quad 0 \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n-1} = 0 \end{align*}よって、はさみうちの原理より
\begin{align*} \quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} = 0 \end{align*}「したがって」以降に注目しましょう。以下の式が間違えた箇所です。
解答例１の記述ミスの箇所
\begin{align*} 0 \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} \leqq \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{2}{n-1} = 0 \end{align*}極限の存在をまだ示していないにも関わらず、$\small{ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} }$ と記述しています。
求めたいのは $\small{ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } \frac{n}{2^n} }$ の値です。何らかの根拠を提示してからでないと、この与式の値がここで出てくるのは飛躍した記述になります。
公式や定義の意味を正しく理解し、些細な記述ミスで満点を逃してしまわないようにしましょう。
さいごに「はさみうちの原理」について、その使い方をまとめておきましょう。