複素数と方程式｜２つの２次方程式の解の種類の判別について

$$\begin{align*} &\text{$a$ を整数とするとき、$2$ つの $2$ 次方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-ax+3 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+2a = 0 \\[ 7pt ] &\text{の一方は実数解を、他方は虚数解をもつという。} \\[ 5pt ] &\text{このような $a$ の値をすべて求めよ。} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad x^{\scriptsize{2}}-ax+3 = 0 \\[ 7pt ] &\text{の判別式を $D_{1}$ とし、} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+ax+2a = 0 \\[ 7pt ] &\text{の判別式を $D_{2}$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad D_{1} = \left(-a \right)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot 3 \\[ 7pt ] &\qquad =a^{\scriptsize{2}}-12 \\[ 7pt ] &\qquad = \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \\[ 10pt ] &\quad D_{2} = a^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 1 \cdot 2a \\[ 7pt ] &\qquad =a^{\scriptsize{2}}-8a \\[ 7pt ] &\qquad = a \left(a-8 \right) \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\qquad = \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\qquad = a \left(a-8 \right) \\[ 7pt ] &\text{$D_{1} \lt 0$ から} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \lt 0 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad -2 \sqrt{3} \lt a \lt 2 \sqrt{3} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\text{$D_{2} \lt 0$ から} \\[ 5pt ] &\quad a \left(a-8 \right) \lt 0 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 0 \lt a \lt 8 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad -2 \sqrt{3} \lt a \lt 2 \sqrt{3} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 0 \lt a \lt 8 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$2$ つの方程式の一方だけが虚数解を} \\[ 5pt ] &\text{もつので、①と②の一方だけが成り立つ $a$ の} \\[ 5pt ] &\text{範囲を求めれば良い。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad -2 \sqrt{3} \lt a \leqq 0 \ , \ 2 \sqrt{3} \leqq a \lt 8 \\[ 5pt ] &\text{求める整数 $a$ の値は} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 7 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad 2 \sqrt{3} = \sqrt{12} \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \sqrt{9} \lt \sqrt{12} \lt \sqrt{16} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 3 \lt 2\sqrt{3} \lt 4 \\[ 7pt ] &\text{また、これの辺々に $-1$ を掛けると} \\[ 5pt ] &\quad -4 \lt -2\sqrt{3} \lt -3 \end{align*}$$

$$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\qquad = \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\qquad = a \left(a-8 \right) \\[ 7pt ] &\text{条件から} \\[ 5pt ] &\quad ( \ D_{1} \geqq 0 \ \text{かつ} \ D_{2} \lt 0 \ ) \quad \text{または} \quad ( \ D_{1} \lt 0 \ \text{かつ} \ D_{2} \geqq 0 \ ) \\[ 5pt ] &\text{が成り立てば良い。} \\[ 5pt ] &[1] \ D_{1} \geqq 0 \ \text{かつ} \ D_{2} \lt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \geqq 0 \quad \text{かつ} \quad a \left(a-8 \right) \lt 0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad \left(a \leqq -2 \sqrt{3} \ \text{または} \ 2 \sqrt{3} \leqq a \right) \quad \text{かつ} \quad 0 \lt a \lt 8 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 2 \sqrt{3} \leqq a \lt 8 \\[ 7pt ] &\text{$a$ は整数であるので} \\[ 5pt ] &\quad a=4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 7 \\[ 7pt ] &[2] \ D_{1} \lt 0 \ \text{かつ} \ D_{2} \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-2 \sqrt{3} \right) \left(a+2 \sqrt{3} \right) \lt 0 \quad \text{かつ} \quad a \left(a-8 \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad -2 \sqrt{3} \lt a \lt 2 \sqrt{3} \quad \text{かつ} \quad \left(a \leqq 0 \ \text{または} \ 8 \leqq a \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad -2 \sqrt{3} \lt a \leqq 0 \\[ 5pt ] &\text{$a$ は整数であるので} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \\[ 5pt ] &[1] \ , \ [2] \ \text{から、条件を満たす整数 $a$ の値は} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ -2 \ , \ -1 \ , \ 0 \ , \ 4 \ , \ 5 \ , \ 6 \ , \ 7 \end{align*}$$