式と証明｜二項定理の利用について

06/07/2021数学２

今回は二項定理の利用について学習しましょう。二項定理を式の展開に用いながら、他の数量についても考えます。

どちらかと言うと、記述形式の試験に出題されるような内容なので、少し難しく感じるかもしれません。しかし、二項定理の式の使い方を覚えれば、それほど難しくありません。完答を目指して取り組みましょう。

二項定理の利用について

二項定理を利用する問題は、主に２パターンあります。

二項定理を利用する問題は主に２パターン

桁に関する問題
余りに関する問題

桁に関する問題として、例えば以下のような問題が出題されます。

例題１（桁に関する問題）

$101^{\scriptsize{100}}$ の下位 $5$ 桁を求めよ。

流石に１０１¹⁰⁰を素直に計算するのは大変です。このようなときに二項定理を利用します。

また、余りに関する問題として、たとえば以下のような問題が出題されます。

例題２（余りに関する問題）

$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

こちらも２９⁴⁵を素直に計算した後に、９００で割るのは現実的ではありません。このようなときにも二項定理を利用します。

実は似たようなことは、中学数学や数学１ですでに学習しています。たとえば、１０１²の計算です。そのまま計算しようと思えばできますが、少し工夫すると暗算できます。

工夫して計算する

$\begin{align*} 101^{\scriptsize{2}} &= (100+1)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &= 100^{\scriptsize{2}} +2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &= 10000 + 200 +1 \\[ 7pt ] &= 10201 \end{align*}$

二項定理を利用する問題でも、これと同じ発想で解きます。

数だけの計算では、なぜか公式を使わずに筆算しがちです。しかし、公式に当てはまりさえすれば、数や文字に関係なく公式を使うことは全く問題ありません。展開に限らず、因数分解でもそうです。

工夫して計算する

$\begin{align*} 25^{\scriptsize{2}} – 15^{\scriptsize{2}} &= (25+15)(25-15) \\[ 7pt ] &= 40 \cdot 10 \\[ 7pt ] &= 400 \end{align*}$

因数分解すると、計算が一歩後退するように感じるかもしれません。しかし、筆算よりも遥かに簡単に計算できるときもあります。

このようなことが二項定理でもできます。そのことをここでは学習します。

例題の解答・解説

例題を通して、どのように二項定理を利用するのかを確認してみましょう。

例題１の解答・解説

例題１（桁に関する問題）

$101^{\scriptsize{100}}$ の下位 $5$ 桁を求めよ。

例題１は、桁に関する問題です。二項定理を利用するので、二項式で表す必要があります。与式を二項式に変形します。

例題１の解答例 1⃣

$\begin{align*} 101^{\scriptsize{100}} &= (1+100)^{\scriptsize{100}} \\[ 7pt ] &= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \end{align*}$

桁を考えるとき、１００の累乗よりも１０の累乗の方が扱いやすいです。このことを考慮して変形しておきましょう。

また、１０²は、二項式において２番目の項にしておきましょう。

その理由は、組合せの添字と累乗の指数との対応関係を考えたとき、１番目の項にしたときに比べて、多少は記述ミスを減らせるからです。それに、１は何乗しても１なので、指数のミスは気になりません。しかし、１０²の指数を間違うと大変なことになります。

桁に関する問題では、１０の累乗を利用しよう。

二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。

例題１の解答例 2⃣

$\begin{align*} 101^{\scriptsize{100}} &= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ] &= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ 1^{\scriptsize{100}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 1^{\scriptsize{99}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 1^{\scriptsize{98}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1^{\scriptsize{97}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 1^{\scriptsize{1}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{99}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ] &= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 10^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 10^{\scriptsize{4}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 10^{\scriptsize{6}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 10^{\scriptsize{198}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ 10^{\scriptsize{200}} \end{align*}$

展開した後は、下位５桁の数を求めれば良いので、下位５桁に影響する項と影響しない項を調べます。

例題１の解答例 3⃣

$\begin{align*} 101^{\scriptsize{100}} &= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ] &= \quad \vdots \\[ 10pt ] &= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 10^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 10^{\scriptsize{4}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \underline{10^{\scriptsize{6}}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 10^{\scriptsize{198}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ 10^{\scriptsize{200}} \\[ 10pt ] &= 1 + 100 \cdot 10^{\scriptsize{2}} + 4950 \cdot 10^{\scriptsize{4}} + 10^{\scriptsize{6}} \ k \quad \text{（ $k$ は自然数）} \\[ 10pt ] &= 10001 + 495 \cdot 10^{\scriptsize{5}} + 10^{\scriptsize{6}} \ k \end{align*}$

１０⁴は５桁の数です。１０⁶になると７桁の数になるので、下５桁に影響しません。このことを考慮すると、展開式の４項目以降には、必ず１０⁶が含まれるので、下位５桁に影響を与えない項となります。

展開式の４項目以降は必要ないと確実に分かるので、文字ｋを使ってまとめておきます。そうすると展開式を簡潔に表すことができます。このような処理をするためには、１０²を２番目の項にしておかないとかなり大変です。

必要のない項は文字でまとめてしまおう。

１～３項目を整理してみると、下位５桁に関係する項は１，２番目の項だと分かります。

例題２の解答・解説

例題２（余りに関する問題）

$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。

例題２は、余りに関する問題です。９００が３０²であることに注目します。

二項定理が利用できるように、２９を二項式(３０－１)に変形します。３０という共通の数が出てきます。

例題２の解答例 1⃣

$\begin{align*} 29^{\scriptsize{45}} &= \left(30-1 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 7pt ] &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \end{align*}$

組合せの添字と累乗の指数とが揃うように、３０を２番目の項にしておきます。

二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。

例題２の解答例 2⃣

$\begin{align*} 29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ] &= {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{45}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{44}} \ 30^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{43}} \ 30^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{42}} \ 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1}} \ 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ] &= 1 \cdot \left(-1 \right) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}} \end{align*}$

２９⁴⁵を９００で割るということは、展開式を９００で割るということです。

展開式は多項式なので、各項をそれぞれ９００で割り算することになります。このとき、９００で割り切れる項と割り切れない項とがでてきます。

９００で割り切れる項には、９００、言い換えると３０²が含まれるはずです。それに対して、９００で割り切れない項には、３０²が含まれないので余りが出てきます。これらを調べて展開式を変形します。

例題２の解答例 3⃣

$\begin{align*} 29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ] &= \quad \vdots \\[ 10pt ] &= 1 \cdot \left(-1 \right) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot \underline{ 30^{\scriptsize{2}} } + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ] &= -1 + 1350 + 30^{\scriptsize{2}} \ \Bigl\{ {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{1}} \\[ 10pt ] &\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{42}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{43}} \Bigr\} \\[ 10pt ] &= -1 + 1350 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \quad \text{（ $k$ は自然数）} \\[ 10pt ] &= 1349 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \end{align*}$

展開式の３項目以降には、必ず３０²が含まれることに注目します。３項目以降の各項は、必ず９００の倍数となるので、３項目以降をひとまとめにしておきます。

３０²を含む項と含まない項とを区別することができました。しかし、ここで答えを急いではいけません。

１３４９は９００よりも大きい数です。１３４９は９００で割ったときの余りではないこと注意しましょう。

例題２の解答例 4⃣

$\begin{align*} 29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ] &= \quad \vdots \\[ 10pt ] &= 1349 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \\[ 10pt ] &= 900 \cdot 1 + 449 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \\[ 10pt ] &= 900 \left(k+1 \right) + 449 \end{align*}$

１３４９を９００で割ると、商が１で余りが４４９となります。さらに整理すると、解答例4⃣の最後の式になります。

この式が表すのは「２９⁴⁵を９００で割った商はｋ＋１で、余りは４４９になる」ということです。余りに関する問題では、最後で間違える人が多いので気をつけましょう。

余り＜割る数となる。「割られる数＝割る数×商＋余り」の形で表そう。

次は、より実践的な問題を解いてみましょう。