式と証明｜二項定理の利用について

06/07/2021数学２

二項定理の利用を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

$(1) \quad 3^{\scriptsize{2000}}$ の下位 $5$ 桁を求めよ。

$(2) \quad 1997^{\scriptsize{1997}}$ を $9$ で割った余りを求めよ。

あまりにも指数が大きいので、素直に計算すると大変な時間と労力が必要です。現実的ではないので、何らかの工夫が必要だと考えなければなりません。

このような問題で利用できるのが二項定理です。

問(1)の解答・解説

問(1)

$3^{\scriptsize{2000}}$ の下位 $5$ 桁を求めよ。

問(1)は桁に関する問題なので、例題１を参考にしましょう。桁に関する問題では、１０の累乗を作るのが基本です。

二項定理を利用するには、二項式が必要です。１０の累乗を含む二項式にするために、与式を工夫して変形します。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} 3^{\scriptsize{2000}} &= \left(3^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{1000}} \\[ 7pt ] &= 9^{\scriptsize{1000}} \\[ 7pt ] &= \left(-1+10 \right)^{\scriptsize{1000}} \end{align*}

指数が２０００のままでは上手くいきません。指数法則を利用して指数を１０００にしました。この変形によって１０が作れたので、展開式に１０の累乗が出てきます。

ただ、もう１つの項の－１が問題です。このまま展開すると、項によっては正の数になったり、負の数になったりします。

展開後に和をきちんと調べる必要が出てくるので面倒です。これだと二項定理を利用したメリットがなくなってしまいます。ですから、二項とも正の数となるように、与式を変形します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} 3^{\scriptsize{2000}} &= \left(3^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{1000}} \\[ 7pt ] &= 9^{\scriptsize{1000}} \\[ 7pt ] &= \left(9^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{500}} \\[ 7pt ] &= 81^{\scriptsize{500}} \\[ 7pt ] &= \left(1+80 \right)^{\scriptsize{500}} \end{align*}

１０そのものは作れませんでしたが、８０は１０の倍数です。ですから、１０の累乗を作ることができます。

桁に関する問題では、二項とも正の数にしよう。ただし、一方は１にしよう。

二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} 3^{\scriptsize{2000}} &= \left(1+80 \right)^{\scriptsize{500}} \\[ 10pt ] &= {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ 1^{\scriptsize{500}} + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 1^{\scriptsize{499}} \ 80^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 1^{\scriptsize{498}} \ 80^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1^{\scriptsize{497}} \ 80^{\scriptsize{3}} + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{4}} \ 1^{\scriptsize{496}} \ 80^{\scriptsize{4}} \\[ 10pt ] &\qquad + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{5}} \ 1^{\scriptsize{495}} \ 80^{\scriptsize{5}} + \cdots + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{499}}} \ 1^{\scriptsize{1}} \ 80^{\scriptsize{499}} + {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{500}}} \ 80^{\scriptsize{500}} \end{align*}

ここで、下位５桁に影響を与える項が何番目までかを調べます。

問(1)の解答例 4⃣

ここで

\begin{align*} \quad {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ 1^{\scriptsize{500}} &= 1 \cdot 1 \\[ 10pt ] &= 1 \\[ 10pt ] {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 1^{\scriptsize{499}} \ 80^{\scriptsize{1}} &= 500 \cdot 1 \cdot 80 \\[ 10pt ] &= 40000 \\[ 10pt ] {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 1^{\scriptsize{498}} \ 80^{\scriptsize{2}} &= \frac{500 \cdot 499}{2} \cdot 1 \cdot 80^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= \frac{500 \cdot 499}{2} \cdot 8^{\scriptsize{2}} \cdot 10^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &= 16 \cdot 499 \cdot 10^{\scriptsize{5}} \\[ 10pt ] {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1^{\scriptsize{497}} \ 80^{\scriptsize{3}} &= \frac{500 \cdot 499 \cdot 498}{3 \cdot 2} \cdot 1 \cdot 80^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &= \frac{500 \cdot 499 \cdot 498}{3 \cdot 2} \cdot 8^{\scriptsize{3}} \cdot 10^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ] &= 128 \cdot 499 \cdot 166 \cdot 10^{\scriptsize{6}} \\[ 10pt ] &\quad \vdots \end{align*}

各項をそれぞれ調べてみると、３番目の項には１０⁵が含まれ、４番目以降の項には１０⁶が含まれることが分かります。

ここで大切なことは、すべてを計算するのではなく、どんな１０の累乗ができているのかを調べることです。これより、下位５桁に影響があるのは、１，２番目の項となります。

問(1)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {}_{{\scriptsize{500}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 1^{\scriptsize{498}} \ 80^{\scriptsize{2}} = 16 \cdot 499 \cdot 10^{\scriptsize{5}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{$3$ 番目の項以降は $10^{\scriptsize{5}}$ を含むので、下位 $5$ 桁は} \\[ 5pt ] &\quad 1 + 40000 = 40001 \\[ 7pt ] &\text{となる。} \end{align*}

最初の式変形がかなり難しいと感じるかもしれません。桁を考えるとき、作りたい二項式をよく吟味しましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

$1997^{\scriptsize{1997}}$ を $9$ で割った余りを求めよ。

問(2)は、余りに関する問題です。これも二項定理を利用します。１９９７を二項式で表します。

９で割ることに注意して、９の倍数が出てくるように変形しましょう。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad 1997^{\scriptsize{1997}} = \left(1998-1 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 5pt ] &\text{$1998 = 9 \times 222$ より、} \\[ 5pt ] &\quad 1997^{\scriptsize{1997}} = \left(-1 + 9 \times 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \end{align*}

９の倍数は、各位の和が９の倍数となるものです。また、９を含む項であれば、その項は９の倍数になることが確実です。

二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &1997^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &\left(-1 + 9 \times 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &{}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1997}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1996}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1995}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &+ {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1994}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{3}} + \cdots + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1996}}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1996}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1997}}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &1 \cdot \left(-1 \right) + 1997 \cdot 1 \cdot \left(9 \cdot 222 \right) + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &+ {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{3}} + \cdots + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1996}}} \ \left(-1 \right) \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1996}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1997}}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \end{align*}

１９９７¹⁹⁹⁷を９で割るということは、展開式の各項を９でそれぞれ割るということです。９の倍数になっている項であれば、９で割り切れます。

展開式において、９を含む項と含まない項を調べて、展開式を変形します。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &1997^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &\left(-1 + 9 \times 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &\quad \vdots \\[ 10pt ] = \ &1 \cdot \left(-1 \right) + \underline{ 1997 \cdot 1 \cdot \left(9 \cdot 222 \right) } + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &+ {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{3}} + \cdots + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1996}}} \ \left(-1 \right) \cdot \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1996}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1997}}} \ \left(9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &1 \cdot \left(-1 \right) + 9 \ \Bigl\{1997 \cdot 1 \cdot 222 + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot 9 \cdot 222^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &+ {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 9^{\scriptsize{2}} \cdot 222^{\scriptsize{3}} + \cdots + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1996}}} \ \left(-1 \right) \cdot 9^{\scriptsize{1995}} \cdot 222^{\scriptsize{1996}} + {}_{{\scriptsize{1997}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{1997}}} \ 9^{\scriptsize{1996}} \cdot 222^{\scriptsize{1997}} \ \Bigr\} \\[ 10pt ] = \ &-1 + 9k \quad \text{（ $k$ は自然数）} \end{align*}

展開式の２項目以降には、必ず９が含まれます。２項目以降の各項が９の倍数となることから、２項目以降をひとまとめにしておきます。これで９を含む項と含まない項とに分けることができました。

しかし、例題２と同じように、答えを急いではいけません。－１が負の数であることに注目しましょう。

整数問題を解いていると、時折、余りが負の数になるときがあります。そのようなときは、もう少し変形する必要があります。

一般に、９で割った余りは０～８のどれかで表されます。ですから、－１は９で割った余りとして適切ではありません。もう少し手を加えましょう。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &1997^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &\left(-1+ 9 \cdot 222 \right)^{\scriptsize{1997}} \\[ 10pt ] = \ &\quad \vdots \\[ 10pt ] = \ &\underline{-1} ＋ 9k \\[ 10pt ] = \ &\underline{9 \cdot \left(-1 \right) + 8} ＋ 9k \\[ 10pt ] = \ &9 \left(k-1 \right) + 8 \end{align*}

１９９７¹⁹⁹⁷を９で割った余りは、０～８の間の数になっています。余りに関する問題は最後にミスしやすいので注意しましょう。

また、二項定理を利用すると、式が長く複雑になり、記述ミスが起きやすくなります。丁寧で見やすい記述を心掛けましょう。

９で割った余りは、０～８のどれか。

整数の性質｜除法の性質と整数の分類について