式と証明|二項定理について

01/27/2019数学2展開,式と証明,二項定理

数学2 式と証明

今回は二項定理について学習しましょう。二項定理は展開に関する定理です。この定理で扱う式は少し長く、計算ミスや記述ミスが起こりやすいので、記述試験でよく出題されます。

一見して複雑に感じるかもしれませんが、規則性に注目しながら頑張って覚えましょう。

二項定理について

二項定理は、二項からなる式を展開したときに成り立つ定理です。以下のような式が成り立ちます。

二項定理

\begin{equation*} ( a+b )^{\scriptsize{n}} = {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \cdots + \underline{ {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} } + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \end{equation*}

二項式a+bのn乗と、その展開式の間に成り立つ関係を表したものが二項定理です。特に、この展開公式のr+1番目の項を展開式における一般項と言います。

二項定理の一般項

\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \quad \text{( $r+1$ 番目の項)} \end{equation*}

また、各項における係数のことを二項係数と言います。

二項定理の二項係数

\begin{equation*} \quad {}_n \mathrm{ C }_r \quad ( r=0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \cdots \cdots , n ) \end{equation*}

次は二項定理の式がどのようにして導出されるのかを考えてみまよう。

二項定理の式

2次式の展開で仕組みを理解する

二項定理の式を導出する前に、2次式の展開を観察してみましょう。ここでの2次式の展開とは、2つの項からなる式を2乗したときの展開のことです。また、展開には分配法則を使います。

2次式の展開

\begin{align*} (a+b)^{\scriptsize{2}} &= (a+b)(a+b) \\[ 5pt ] &= a(a+b) +b(a+b) \\[ 5pt ] &= a^{\scriptsize{2}} +ab +ab +b^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] &= a^{\scriptsize{2}} +2ab +b^{\scriptsize{2}} \end{align*}

2次式の展開の様子を見ると、分配法則では、それぞれのカッコの中から項を選んで乗算しています。ですから、展開後にできる項は、カッコの中の項の選び方(組合せ方)で決まると言えます。

2次式の展開の仕組み

カッコが2個あることから、aとbは2個ずつあります。2個ずつあるa,bから2個だけ選んで項を作ります。このときに注意したいのは、aとbのどちらか一方を選ぶ個数を決めてしまえば、他方の個数が自動的に決まるということです。ですから、aとbのどちらかに注目すれば、展開後の項の個数を求めることができます。

2次式の展開で言えば、項の選び方は3通りあります。

2個ずつあるa,bの選び方

  • 2個のaから2個を選ぶ(=2個のbから0個を選ぶ)
  • 2個のaから1個を選ぶ(=2個のbから1個を選ぶ)
  • 2個のaから0個を選ぶ(=2個のbから2個を選ぶ)

この仕組みから、展開後にできる項の個数は、aとbの組合せの総数に等しいことが分かります。

展開後の各項の個数と係数の関係

\begin{align*} &\text{$2$ 個の $a$ から $2$ 個を選ぶことは、} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 個の $b$ から $0$ 個を選ぶことに等しいので、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$a^{\scriptsize{2}}$ は ${}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} = {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = 1$ 個} \\[ 10pt ] &\text{$2$ 個の $a$ から $1$ 個を選ぶことは、} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 個の $b$ から $1$ 個を選ぶことに等しいので、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$ab$ は ${}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} = 2$ 個} \\[ 10pt ] &\text{$2$ 個の $a$ から $0$ 個を選ぶことは、} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 個の $b$ から $2$ 個を選ぶことに等しいので、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$b^{\scriptsize{2}}$ は ${}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} = 1$ 個} \end{align*}

展開後の各項の個数が分かったので、展開後の式は以下のようにして表せます。

各項の個数に注目して展開

\begin{align*} &\text{各項の個数を $b$ の選び方に注目して展開すると} \\[ 5pt ] &\quad (a+b)^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} +ab \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} +b^{\scriptsize{2}} \times {}_{\scriptsize{2}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad (a+b)^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} \times 1 +ab \times 2 +b^{\scriptsize{2}} \times 1 \\[ 5pt ] &\quad \therefore \ (a+b)^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}} +2ab +b^{\scriptsize{2}} \end{align*}

項の係数は、展開後にできる項の何個を表すことが分かります。

二項定理の仕組み

二項定理の式を導出する

2次式の展開で仕組みが分かれば、n乗の展開であっても同じです。カッコがn個あるので、aとbはそれぞれn個ずつあります。

展開後の項の個数は、それぞれ以下のようになります。二項定理では、bの選び方の総数が用いられています。

二項定理における各項の個数と係数の関係

\begin{align*} &\text{$n$ 個の $b$ から $0$ 個を選ぶと、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$a^{\scriptsize{n}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}}$ 個} \\[ 10pt ] &\text{$n$ 個の $b$ から $1$ 個を選ぶと、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$a^{\scriptsize{n-1}} \ b$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}}$ 個} \\[ 10pt ] &\text{$n$ 個の $b$ から $2$ 個を選ぶと、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}}$ 個} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{$n$ 個の $b$ から $r$ 個を選ぶと、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_r$ 個} \\[ 10pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\text{$n$ 個の $b$ から $n$ 個を選ぶと、} \\[ 5pt ] &\quad \text{$b^{\scriptsize{n}}$ が ${}_n \mathrm{ C }_n$ 個} \end{align*}

各項の個数が分かりました。これらが各項の係数、つまり二項係数となります。各項に個数を乗算して和を求めると、二項定理の式を導出することができます。

二項定理の式の導出

\begin{align*} \quad ( a+b )^{\scriptsize{n}} &= a^{\scriptsize{n}} \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + a^{\scriptsize{n-1}} \ b \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} + a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} \times {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ] &\quad \cdots + a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} \times {}_n \mathrm{ C }_r + \cdots + b^{\scriptsize{n}} \times {}_n \mathrm{ C }_n \\[ 5pt ] \therefore \ ( a+b )^{\scriptsize{n}} &= {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ a^{\scriptsize{n}} + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ a^{\scriptsize{n-1}} \ b + {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ a^{\scriptsize{n-2}} \ b^{\scriptsize{2}} + \\[ 5pt ] &\quad \cdots + {}_n \mathrm{ C }_r \ a^{\scriptsize{n-r}} \ b^{\scriptsize{r}} + \cdots + {}_n \mathrm{ C }_n \ b^{\scriptsize{n}} \end{align*}

右辺を覚えるのが大変だと感じるかもしれませんが、そうでもありません。組合せの数はbの選び方なので、Cの右下の数字とbの指数とが対応しています。

数字が1つずつ増えていく箇所と、1つずつ減っていく箇所に注意すれば、規則性があることに気付くはずです。

導出の過程を知っているので、単なる暗記に比べると覚えやすいのは確かです。しかし、数学では知識を道具として使えることに比重が置かれます。ですから、演習をこなし、実際に使いながら覚えていく方が効率的です。

二項定理の導出

二項定理の式を理解するには、組合せについての知識も必要です。

組合せの総数とその性質

\begin{align*} {}_n \mathrm{ C }_r &= \frac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{r(r-1)(r-2) \cdots \cdot 2 \cdot 1} \\[ 10pt ] &= \frac{n!}{r! \ (n-r)!} \end{align*} \begin{align*} &\text{ただし} \\[ 5pt ] &\quad n! = n(n-1)(n-2) \cdots \cdot 2 \cdot 1 \\[ 5pt ] &\quad 0! = 1 \\[ 5pt ] &\quad {}_n \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} = {}_n \mathrm{ C }_n = 1 \\[ 5pt ] &\quad {}_n \mathrm{ C }_r = {}_n \mathrm{ C }_{n-r} \\[ 5pt ] &\quad {}_n \mathrm{ C }_r = {}_{n-{\scriptsize{1}}} \mathrm{ C }_{r-{\scriptsize{1}}} + {}_{n-{\scriptsize{1}}} \mathrm{ C }_r \end{align*}

次は、二項定理を扱った問題を実際に解いてみましょう。