式と証明｜パスカルの三角形について
今回はパスカルの三角形について学習しましょう。
二項式の累乗を展開するときに利用できるのが、パスカルの三角形です。パスカルの三角形は中学でも少しだけ触れるので知っている人も多いかもしれません。高校では、数列の単元でも扱われることがあります。性質を覚えておくと慌てずに済むでしょう。
パスカルの三角形をつくる
パスカルの三角形をつくるにあたって、以下の式の累乗を展開したときを考えます。
\begin{equation*}
(a+b)^{\scriptsize{2}} \ , \ (a+b)^{\scriptsize{3}} \ , \cdots , \ (a+b)^{\scriptsize{5}} \ , \cdots
\end{equation*}
aとbの二項からなる式を扱いますが、係数がともに1であることに注意しましょう。これらを展開します。
\begin{align*}
(a+b)^{\scriptsize{1}} &= a+b \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{2}} &= a^{\scriptsize{2}} +2ab +b^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{3}} &= a^{\scriptsize{3}} +3a^{\scriptsize{2}}b +3ab^{\scriptsize{2}} +b^{\scriptsize{3}} \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{4}} &= a^{\scriptsize{4}} +4a^{\scriptsize{3}}b + 6a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{2}} +4ab^{\scriptsize{3}} +b^{\scriptsize{4}} \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{5}} &= a^{\scriptsize{5}} +5a^{\scriptsize{4}}b +10a^{\scriptsize{3}}b^{\scriptsize{2}} +10a^{\scriptsize{2}}b^{\scriptsize{3}} +5a^{\scriptsize{4}} +b^{\scriptsize{5}}
\end{align*}
それぞれの式を展開した後、各項の係数だけを取り出します。
\begin{align*}
(a+b)^{\scriptsize{1}} &: \quad 1 \ , \ 1 \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{2}} &: \quad 1 \ , \ 2 \ , \ 1 \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{3}} &: \quad 1 \ , \ 3 \ , \ 3 \ , \ 1 \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{4}} &: \quad 1 \ , \ 4 \ , \ 6 \ , \ 4 \ , \ 1 \\[ 5pt ]
(a+b)^{\scriptsize{5}} &: \quad 1 \ , \ 5 \ , \ 10 \ , \ 10 \ , \ 5 \ , \ 1
\end{align*}
抜き出した係数を縦、横に順に並べると、図のような三角形になることから、パスカルの三角形と言います。
パスカルの三角形の性質
パスカルの三角形をつくるために、毎回展開するのは面倒です。しかし、展開しなくても、パスカルの三角形の性質を覚えて於けば問題ありません。
パスカルの三角形には3つの性質があります。
- 各行の両端の数字は1である。
- 2行目以降の両端以外の数は、その左上の数と右上の数の和に等しい。
- 各行の数は中央に関して左右対称である。
各行の両端の数字は必ず1になります。また、両端以外の数は、すぐ上の行の2つの数の和で求めることができます。
さらに、各行に並ぶ数は、中央に関して左右対称になるように並びます。この性質については、展開の公式を覚えるときに気付いた人もいるかもしれません。
ここで学習するパスカルの三角形では、「二項からなり、かつ係数が1である二項式」という条件はついていますが、ポイントは「各項の係数に一定の規則性がある」ことです。このような係数の規則性は、この後に学習する「二項定理」や「多項定理」などにも見られるので、意識しながら学習すると覚えやすいでしょう。
おまけとして、3次式の因数分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。
3次式の因数分解を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} = (x+y)^{\scriptsize{3}}-3xy(x+y) \\[ 5pt ]
&\text{であることを用いて、} \\[ 5pt ]
&x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz \\[ 5pt ]
&\text{を因数分解せよ。}
\end{align*}
問の解答・解説
問は、3次式を条件式を用いて因数分解する問題です。条件式は、式の値を求めるときによく用いられます。
\begin{equation*}
x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} = (x+y)^{\scriptsize{3}}-3xy(x+y)
\end{equation*}
この式を用いて、与式を変形していきます。与式の1番目と2番目の項に注目すると、与えられた条件式の左辺と対応していることが分かります。条件式を代入して、与式を変形します。
\begin{align*}
\underline{x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}}} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz &= \underline{(x+y)^{\scriptsize{3}}-3xy(x+y)} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz \\[ 5pt ]
&= \underline{(x+y)^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}}}-3xy \bigl\{(x+y) +z \bigr\}
\end{align*}
2行目を見ると、まだ3次の項が2つあります。条件式と対応しますが、条件式を用いると項の数が増えてしまうので、あまり良い方針とは言えません。他の候補を考えると、3次式の因数分解の公式を利用できそうです。
\begin{align*}
&\qquad a^{\scriptsize{3}} +b^{\scriptsize{3}} = (a + b)(a^{\scriptsize{2}} -ab +b^{\scriptsize{2}} \ ) \\[ 5pt ]
&(x+y)^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\text{2つの式を比べると} \\[ 5pt ]
&\quad a=x+y \ , \ b=z \\[ 5pt ]
&\text{の対応関係}
\end{align*}
3次式の因数分解の公式を利用できることが分かったので、公式に当てはめて因数分解します。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&= \underline{(x+y)^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}}}-3xy \bigl\{(x+y) +z \bigr\} \\[ 5pt ]
&= \underline{\bigl\{(x+y)+z \bigr\} \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y) \cdot z +z^{\scriptsize{2}} \bigr\}}-3xy(x+y+z) \\[ 5pt ]
&= \underline{(x+y+z)} \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y)z +z^{\scriptsize{2}} \bigr\}-3xy \underline{(x+y+z)}
\end{align*}
これで項が2つになりました。各項に共通因数(x+y+z)ができたので、それをくくり出し、残りを整理します。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 5pt ]
&= \underline{(x+y+z)} \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y)z +z^{\scriptsize{2}} \bigr\}-3xy \underline{(x+y+z)} \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y)z +z^{\scriptsize{2}}-3xy \bigr\} \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) (x^{\scriptsize{2}} +2xy +y^{\scriptsize{2}} -xz -yz +z^{\scriptsize{2}}-3xy) \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) (x^{\scriptsize{2}} +y^{\scriptsize{2}} +z^{\scriptsize{2}} -xy -yz-zx)
\end{align*}
共通因数以外の部分を整理すると、因数分解の終了です。因数分解後の式は、記述問題ではよく使われるので公式として覚えておきたいところです。
\begin{align*}
&x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz \\[ 5pt ]
= &\bigl( x+y+z \bigr) \bigl( x^{\scriptsize{2}} +y^{\scriptsize{2}} +z^{\scriptsize{2}} -xy -yz-zx \bigr)
\end{align*}
少し長くなりますが、記述例は以下のようになります。
\begin{align*}
x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz &= (x+y)^{\scriptsize{3}}-3xy(x+y) +z^{\scriptsize{3}} -3xyz \\[ 5pt ]
&= (x+y)^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}}-3xy \bigl\{(x+y) +z \bigr\} \\[ 5pt ]
&= \bigl\{(x+y)+z \bigr\} \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y) \cdot z +z^{\scriptsize{2}} \bigr\}-3xy(x+y+z) \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y)z +z^{\scriptsize{2}} \bigr\}-3xy(x+y+z) \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) \bigl\{(x+y)^{\scriptsize{2}} -(x+y)z +z^{\scriptsize{2}}-3xy \bigr\} \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) (x^{\scriptsize{2}} +2xy +y^{\scriptsize{2}} -xz -yz +z^{\scriptsize{2}}-3xy) \\[ 5pt ]
&= (x+y+z) (x^{\scriptsize{2}} +y^{\scriptsize{2}} +z^{\scriptsize{2}} -xy -yz-zx) \\[ 5pt ]
\therefore \ x^{\scriptsize{3}} +y^{\scriptsize{3}} +z^{\scriptsize{3}} -3xyz &= \bigl( x+y+z \bigr) \bigl( x^{\scriptsize{2}} +y^{\scriptsize{2}} +z^{\scriptsize{2}} -xy -yz-zx \bigr)
\end{align*}
多項式が絡んだ因数分解になると、2次式でも難しくなります。過去問を解くと分かりますが、センター試験や記述試験では、係数が分数であったり、多項式であったりして、複雑な式を扱うのが当たり前です。それらと比較すると、このくらいの式変形はまだ易しい部類に入ります。そうは言っても扱いづらいのは確かなので、日頃から計算演習をこなして慣れておきましょう。
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さいごにもう一度まとめ
- 展開の公式を忘れたときは、パスカルの三角形を利用しよう。
- 二項とも係数が1の多項式の累乗を展開するとき、パスカルの三角形を利用できる。
- パスカルの三角形は、数列でも扱われるので覚えておこう。
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