式と証明｜３次式の展開について

08/23/2022数学２

今回から数学２「式と証明」について学習します。この章では、主に３次以上の式を扱います。

ここでは導入として、数学１でも扱った「３次式の展開」を学習します。公式がいくつか出てくるので、できるだけ早く使いこなせるように演習しておきましょう。

３次式について

３次式とは、項の中で最も高い次数が３となる式のことです。

たとえば、以下のような式を３次式と言います。

３次式の例

\begin{align*} &(1) \quad 2x^{3} \\[ 7pt ] &(2) \quad -xy^{2} + y^{2} – 1 \\[ 7pt ] &(3) \quad \left(x + y \right)^{3} \end{align*}

例に挙げた（３）の式について、カッコの中の式は１次式なので、３次式に見えないかもしれません。

しかし、展開してみると最高次数が３となります。ですから３次式として扱います。ここでは、このような３次式の展開について学習します。

３次式の展開

３次式の展開では、数学１で学習した指数法則や乗法公式を利用します。すでに学習した乗法公式を上手に利用すれば、３乗以上であっても展開することができます。そのためにも２次式の乗法公式は必修です。

実際に３次式を展開してみましょう。

３次式の展開

\begin{align*} &\left(a + b \right)^{3} \\[ 10pt ] = \ &\left(a + b \right)\left(a + b \right)^{2}& &\text{（指数法則を利用）} \\[ 10pt ] = \ &\left(a + b \right)(a^{2} +2ab +b^{2} \ )& &\text{（乗法公式を利用）} \\[ 10pt ] = \ &a^{3} +2a^{2}b +ab^{2} + a^{2}b + 2ab^{2} +b^{3}& &\text{（分配法則を利用）} \\[ 10pt ] = \ &a^{3} +3a^{2}b +3ab^{2} + b^{3}& &\text{（同類項を整理）} \end{align*}

このように指数法則や乗法公式を利用すれば、３次式を展開することができます。

ただ、毎回この展開を行うのは面倒です。ですから、３次式の展開の式として公式化されています。ここでは、これらの公式を３次式の乗法公式や展開公式と呼びます。

３次式の乗法公式その１

和の立方

\begin{align*} \quad \left(a + b \right)^{3} = a^{3} +3a^{2}b +3ab^{2} +b^{3} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

差の立方

\begin{align*} \quad \left(a – b \right)^{3} = a^{3} -3a^{2}b +3ab^{2} -b^{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

一般に、①式は「和の立方」、②式は「差の立方」と言われます。

②式の「差の立方」については、①式の「和の立方」から導出できます。

「和の立方」から「差の立方」へ

①式の $b$ を $-b$ に置き換えると

\begin{align*} \quad \left\{a + (- b) \right\}^{3} &= a^{3} +3a^{2} \cdot (-b) +3a \cdot (-b)^{2} +(-b)^{3} \\[ 7pt ] \therefore \ (a \ – b)^{3} &= a^{3} -3a^{2}b +3ab^{2} -b^{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①式と②式は、項の数や係数が似ているので、共通点や相違点を意識して覚えると良いでしょう。横に並べるよりも上下に並べた方が覚えやすいです。

また、３次式の展開の公式として、以下の式もあります。

３次式の乗法公式その２

立方の和

\begin{align*} \quad \left(a + b \right)\left(a^{2} -ab +b^{2} \right) = a^{3} +b^{3} \quad \cdots \text{③} \end{align*}

立方の差

\begin{align*} \quad \left(a – b \right)\left(a^{2} +ab +b^{2} \right) = a^{3} -b^{3} \quad \cdots \text{④} \end{align*}

一般に、③式は「立方の和」、④式は「立方の差」と言われます。

③式と④式も分配法則で展開すると導出できます。ただ、同類項を整理すると、ほとんどの項が消えてしまいます。実際に導出してみると分かります。

３次式の乗法公式その２の導出

\begin{align*} \quad &\left(a + b \right)\left(a^{2} -ab +b^{2} \right) \\[ 7pt ] = \ &a^{3} -a^{2}b +ab^{2} +a^{2}b -ab^{2} +b^{3} \\[ 7pt ] = \ &a^{3} +b^{3} \quad \cdots \text{③} \\[ 10pt ] \quad &\left(a – b \right)\left(a^{2} +ab +b^{2} \right) \\[ 7pt ] = \ &a^{3} +a^{2}b +ab^{2} -a^{2}b -ab^{2} -b^{3} \\[ 7pt ] = \ &a^{3} -b^{3} \quad \cdots \text{④} \end{align*}

分配法則で展開すると、６つの項が出てきますが、そのうち４つの項は消えてしまいます。

消えてしまうと分かっている項を毎回記述するのは効率的とは言えません。ですから、公式に当てはめて計算した方が断然速いです。符号に注目すると覚えやすいです。