数学２
今回は部分分数への分解について学習しましょう。
部分分数は、この後に学習する恒等式や数列の単元でも扱われます。特に、数列ではよく利用するので、しっかりマスターしておきましょう。
部分分数
部分分数とは、１つの分数式から分解された、２つ以上の分数式のことです。このような部分分数を分解すると、１つの分数式が２つ以上の分数式の和として表されます。分解後の１つ１つの分数式は、それ以上、簡単にできません。
たとえば、以下のような式への変形が、部分分数に分解したものです。
部分分数への分解の一例
\begin{align*}
&(1) \quad \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}
\end{align*}
例から分かるように、１つの分数式から２つの分数式に分解されています。分解後の分数式を部分分数と言います。
部分分数に分解するためには、分母が因数分解されていることが条件です。
また、２つ以上の部分分数の和として表すと言っても、例(1)のように、分数式の差とも言える、正の数と負の数の和の場合もあるので注意しましょう。
１つの分数式を複数の部分分数の和に分解するので、単項式から多項式へ変形することになります。項の数が増えてしまうのが欠点と言えるかもしれません。
しかし、部分分数への分解を利用することで、計算がとても簡単になります。
分数式を部分分数に分解する
部分分数を扱った計算の一例を確認してみましょう。
例題
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
&(2) \quad \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\end{align*}
例題(1)の計算例
例題(1)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right)
\end{align*}
例題(1)は、複数の分数式を１つにまとめる問題です。カッコ内の２つの分数式を通分すれば、１つの分数式にまとめることができます。
カッコの中の計算を優先します。通分して１つの分数式にまとめます。
例題(1)の解答例
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{b-a} \left\{\frac{1 \cdot (x+b)}{(x+a)(x+b)} – \frac{1 \cdot (x+a)}{x+b} \right\} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{b-a} \left(\frac{(x+b)-(x+a)}{(x+a)(x+b)} \right) \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{b-a} \cdot \frac{b-a}{(x+a)(x+b)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{(x+a)(x+b)}
\end{align*}
特に難しい計算ではありません。最後に約分するのを忘れないようにしましょう。
部分分数に分解するとき、ほとんどが例題(1)の形になっています。ですから、この形になっていれば、まずは変形してみましょう。
この形は頻出なので、基本的な公式として覚えておくと良いでしょう。
部分分数の公式
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
&\text{ただし、$a \neq b$ のとき}
\end{align*}
ここでの目標は部分分数に分解できるようになることなので、与式としては左辺の分数式が与えられます。
数列では、この形の分数式をよく扱う。覚えておこう。
例題(2)の計算例
例題(2)
\begin{align*}
&\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)}
\end{align*}
例題(2)は、与式の各項を部分分数に分解する問題です。先ほどの例題(1)の結果を利用すると、簡単に分解できます。
公式のｘ，ａ，ｂがそれぞれ何に置き換わっているかを把握しましょう。
部分分数の公式
\begin{align*}
&\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left( \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ]
&\text{ただし、$a \neq b$ のとき}
\end{align*}
公式との対応関係が分かったら、各項を変形して、与式を整理しましょう。
例題(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
\quad \frac{1}{n(n+1)} &= \frac{1}{1-0} \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{(n+1)(n+2)} &= \frac{1}{2-1} \left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2} \\[ 10pt ]
\quad \frac{1}{(n+2)(n+3)} &= \frac{1}{3-2} \left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \right) \\[ 10pt ]
&=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \\[ 10pt ]
\end{align*}
より、与式を計算すると
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}
\end{align*}
部分分数を扱った計算では、ｎ(ｎ＋１)のように、分母が隣り合う２数の積であることが多いのが特徴です。
このような分母であれば、一般に、小さい方ｎを前の分数式の分母に、大きい方(ｎ＋１)を後ろの分数式の分母にして分解します。
部分分数に分解すると、絶対値が同じで異符号の分数式ができます。整理すると、結局、最初と最後の分数式だけが残ります。
もちろん、通分しても計算できますが、分数式が多くなると、部分分数に分解した方が計算しやすいです。工夫することによって、簡単に計算できる良い例です。なお、例題(2)も数列の単元でよく用いられます。
公式は使いこなしてこそ。覚えることが目的ではない。
最後に２つの分数式を通分して、１つの分数式にまとめます。
例題(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
\quad &\frac{1}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} \\[ 10pt ]
&\vdots \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{1 \cdot (n+3)}{n(n+3)} – \frac{1 \cdot n}{n(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{n+3-n}{n(n+3)} \\[ 10pt ]
= \ &\frac{3}{n(n+3)} \\[ 10pt ]
\end{align*}
次は、部分分数への分解を扱った問題を実際に解いてみましょう。
