式と証明|部分分数への分解について

数学2

数学2 式と証明

部分分数への分解を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &(1) \quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ] &(2) \quad \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \end{align*}

部分分数の公式を意識して変形しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \end{align*}

問(1)は、例題(2)と同じパターンの計算です。

与式の各項をそれぞれ部分分数に分解します。分母は、隣り合う2数の積でないものがありますが、大小関係を考えて分解します。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} \quad \frac{1}{(x-3)(x-1)} &= \frac{1}{-1-(-3)} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right) \\[ 10pt ] \quad \frac{1}{(x-1)(x+1)} &= \frac{1}{1-(-1)} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right) \\[ 10pt ] \quad \frac{1}{(x+1)(x+3)} &= \frac{1}{3-1} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ] \end{align*}

より、与式を計算すると

\begin{align*} \quad &\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+1} \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)+\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \left\{ \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1} \right)+\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1} \right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} \right) \right\} \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3} \right) \end{align*}

部分分数がうまい具合に相殺されて、結局、最初と最後の部分分数が残ります。

各項を部分分数に分解した後は、分配法則で展開したくなりますが、やめておきましょう。共通因数(1/2)に注目して、それでくくります。式が複雑にならないように、なるべく展開しない方針で進めましょう。

2つの分数式を通分して、1つの分数式にまとめます。このとき、部分分数の公式を応用すると、暗算で変形できます。

部分分数の公式(応用)

\begin{align*} &\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ] &\text{両辺に $b-a$ を掛けると} \\[ 10pt ] &\quad \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)} \end{align*}

公式を利用して、2つの分数式を1つにまとめます。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad &\frac{1}{(x-3)(x-1)} + \frac{1}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+3)} \\[ 10pt ] &\vdots \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x+3} \right) \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \cdot \frac{3-(-3)}{(x-3)(x+3)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{2} \cdot \frac{6}{(x-3)(x+3)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{3}{(x-3)(x+3)} \end{align*}

通分で1つの分数式にまとめるのが基本です。しかし、公式を上手に利用すれば、計算量を減らし、時間短縮につながります。よく出てくる形の式なので、使いこなせるようにしておくと良いでしょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{次の計算をせよ。} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \end{align*}

問(2)の分数式をよく観察しましょう。分母が因数分解されていないので、部分分数に分解できる形になっていません。

まず分母を因数分解します。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad a^{\scriptsize{2}}-a= a\left(a-1 \right) \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+a= a\left(a+1 \right) \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+3a+2= \left(a+1 \right)\left(a+2 \right) \\[ 7pt ] &\text{より、与式は} \end{align*} \begin{align*} \quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{(a-1)a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)} \end{align*}

これで与式を部分分数に分解する準備ができました。

応用的な問題になると、このような下準備が必要になることが多くなります。下準備には、これまでに学習してきたことを用いるので、忘れていたらすぐに確認しておきましょう。

公式を利用して部分分数に分解します。大小関係に注意して分解しましょう。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} \quad \frac{1}{(a-1)a} &= \frac{1}{0-(-1)} \left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \\[ 10pt ] \quad \frac{1}{a(a+1)} &= \frac{1}{1-0} \left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \\[ 10pt ] \quad \frac{1}{(a+1)(a+2)} &= \frac{1}{2-1} \left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \right) \\[ 10pt ] &=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \\[ 10pt ] \end{align*}

より、与式を計算すると

\begin{align*} \quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{(a-1)a}+\frac{1}{a(a+1)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)} \\[ 10pt ] = \ &\left(\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a} \right)+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} \right)+\left(\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2} \right) \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+2} \end{align*}

問(2)も(1)と同じように、最初と最後の部分分数が残ります。

2つの分数式を通分して、1つの分数式にまとめます。このとき、部分分数の公式を利用します。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} \quad &\frac{1}{a^{\scriptsize{2}}-a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+a} + \frac{1}{a^{\scriptsize{2}}+3a+2} \\[ 10pt ] &\vdots \\[ 10pt ] = \ &\frac{1}{a-1}-\frac{1}{a+2} \\[ 10pt ] = \ &\frac{2-(-1)}{(a-1)(a+2)} \\[ 10pt ] = \ &\frac{3}{(a-1)(a+2)} \end{align*}

公式を上手に利用できれば、部分分数への分解も、部分分数を1つの分数式にまとめることも簡単にできます。

慣れてしまえば暗算できるので、計算過程の記述も簡単になります。公式を遠慮なく使い倒しましょう。

部分分数の公式

\begin{align*} &\quad \frac{1}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{b-a} \left(\frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} \right) \\[ 10pt ] &\text{また、両辺に $b-a$ を掛けると} \\[ 10pt ] &\quad \frac{1}{x+a} – \frac{1}{x+b} = \frac{b-a}{(x+a)(x+b)} \end{align*}

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さいごにもう一度まとめ

  • 部分分数に分解するとは、1つの分数式を複数の分数式に分解すること。
  • 部分分数に分解する前に、分母を因数分解しておく。
  • 部分分数への分解は、公式を利用して暗算で処理しよう。
  • 部分分数に分解すると、計算が簡単になる場合がある。