数学２
今回は相加平均と相乗平均を利用した不等式の証明について学習しましょう。今回も不等式の証明の応用になります。
不等式の証明では、差をつくることが基本です。しかし、ある特定の条件を満たす場合、予め分かった関係を利用して不等式を証明することができます。
相加平均と相乗平均
積が定数となる正の数の和について、以下のような関係が成り立ちます。
積が定数となる正の数の和
\begin{align*}
&a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\frac{a+b}{2} \ \text{を相加平均} \\[ 5pt ]
&\sqrt{ab} \ \text{を相乗平均} \\[ 5pt ]
&\text{と言う。}
\end{align*}
不等式の左辺を相加平均、右辺を相乗平均と言います。
相加平均と相乗平均の大小関係の証明
相加平均と相乗平均の関係は、２つの数が正であるときに成り立ちます。証明は以下のようになります。
相加平均と相乗平均の大小関係を証明する
\begin{align*}
&\quad \left( \frac{a+b}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-\left( \sqrt{ab} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{4} \left( a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}} \right)-\left( ab \right) \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{4} \left( a^{\scriptsize{2}}+2ab+b^{\scriptsize{2}} -4ab \right) \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{4} \left( a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{1}{4} \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad \left( \frac{a+b}{2} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq \left( \sqrt{ab} \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ \text{より} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+b}{2} \gt 0 \ , \ \sqrt{ab} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}
\end{align*}
また、等号が成り立つ条件を求めます。
相加平均と相乗平均が等しくなる条件
\begin{align*}
&\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{4} \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \\[ 7pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad a-b = 0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad a=b \\[ 7pt ]
&\text{のときである。}
\end{align*}
このような相加平均と相乗平均の大小関係を不等式の証明に利用します。
一般には、上述の不等式よりも、変形後の不等式を利用します。
相加平均と相乗平均
\begin{align*}
&a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 7pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad a+b \geqq 2 \sqrt{ab} \\[ 7pt ]
&\text{また、等号成立は} \\[ 5pt ]
&\quad a=b \\[ 7pt ]
&\text{のとき}
\end{align*}
左辺の分母を払って（両辺を２倍して）不等式を変形しています。この形で利用することが多いので注意しましょう。
相加平均と相乗平均の大小関係を利用できる問題について
相加平均と相乗平均の大小関係を利用するのに適している条件があります。
相加平均と相乗平均の大小関係を利用できる条件
- ２つの数は、積が定数となる正の数。
- ２つの数や式が逆数の関係である。
- 最小値を求める。
正の数であることは絶対条件です。この条件がないと、相加平均と相乗平均の大小関係は成り立ちません。
また、２つの数の積が定数になるので、逆数になることは想像できます。逆数を扱っている問題がほとんどで、式を見ればすぐに気付くでしょう。
最小値を求める問題は、等号が成り立つ条件を求める問題と捉えると良いでしょう。
相加平均と相乗平均の関係に慣れよう（その１）
相加平均と相乗平均の大小関係を利用して、不等式を証明してみましょう。
例題１
\begin{align*}
&x \gt 0 \ \text{のとき、次の不等式を証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。} \\[ 5pt ]
&(1) \quad x+\frac{4}{x} \geqq 4 \\[ 10pt ]
&(2) \quad \left(x+\frac{1}{x} \right) \left(x+\frac{4}{x} \right) \geqq 9
\end{align*}
例題1(1)の解答・解説
例題１(1)
\begin{align*}
&x \gt 0 \ \text{のとき、次の不等式を証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 4
\end{align*}
不等式を見ると分かるように、左辺は積が定数となる逆数の和です。また、文字ｘは正です。このような条件を満たすとき、相加平均と相乗平均の大小関係を利用することができます。
左辺を見て、２つの数が分かります。この２数について、相加平均と相乗平均の関係を利用します。
例題１(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad x \gt 0 \ , \ \frac{4}{x} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、相加平均と} \\[ 5pt ]
&\text{相乗平均の大小関係より} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}}
\end{align*}
２数が正であることに言及しておきましょう。また、関係を利用する断りも記述しておきましょう。
不等式の右辺を整理します。右辺はほとんどの場合、整理すると定数になります。
例題１(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} \\[ 7pt ]
&\text{右辺を整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 2 \cdot 2=4 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 4
\end{align*}
２つの数が決まり、関係を表す不等式に代入すれば、証明したい不等式を導くことができます。
最後に、等号が成り立つ条件を求めます。
例題１(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 4 \\[ 7pt ]
&\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad x = \frac{4}{x} \\[ 7pt ]
&\text{のときである。} \\[ 5pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} = 4 \\[ 7pt ]
&x \gt 0 \ \text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad x = 2
\end{align*}
例題１(1)の別解例
相加平均と相乗平均の大小関係を利用しましたが、これまで通りの解法で解くこともできます。
左辺と右辺の差を作ります。
例題１(1)の別解例
\begin{align*}
&\quad \left(x+\frac{4}{x} \right) – 4 \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{x^{\scriptsize{2}}+4-4x}{x} \\[ 10pt ]
&\quad = \frac{\left( x-2 \right)^{\scriptsize{2}}}{x} \geqq 0 \\[ 10pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{4}{x} \geqq 4 \\[ 7pt ]
&\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad x-2=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x=2 \\[ 7pt ]
&\text{のときである。}
\end{align*}
別解のように、基本通りの解法でも簡単に証明できるものもあります。ですから、相加平均と相乗平均の大小関係を利用しなければならないわけではありません。
ただ、型にはめて解くことができるのは大きな利点なので、臨機応変に使い分けましょう。
例題１(2)の解答・解説
例題１(2)
\begin{align*}
&x \gt 0 \ \text{のとき、次の不等式を証明せよ。} \\[ 5pt ]
&\text{また、等号が成り立つのはどのようなときか。} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+\frac{1}{x} \right) \left(x+\frac{4}{x} \right) \geqq 9
\end{align*}
(2)も相加平均と相乗平均の大小関係を利用して解くことができます。ただし、工夫が必要なので、少し難しく感じるかもしれません。
左辺のカッコの中だけを見れば、それぞれが逆数の和です。しかし、左辺全体では逆数の和の積になっています。左辺全体で逆数の和になっていることが必要です。
このままだと上手くいきそうにないので、不等式の左辺を展開して整理します。
例題１(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{与式の左辺を展開すると} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+\frac{1}{x} \right) \left(x+\frac{4}{x} \right) \\[ 10pt ]
&\quad = x^{\scriptsize{2}} +x \cdot \frac{4}{x} +\frac{1}{x} \cdot x + \frac{1}{x} \cdot \frac{4}{x} \\[ 10pt ]
&\quad = x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} +5
\end{align*}
定数項ができましたが、与式よりもましな形になりました。
定数項のことは後回しにして、逆数の和に注目します。相加平均と相乗平均の大小関係を利用します。
例題１(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad = x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} +5 \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} \gt 0 \ , \ \frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、相加平均と} \\[ 5pt ]
&\text{相乗平均の大小関係より} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \geqq 2\sqrt{x^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{4}{x^{\scriptsize{2}}}}
\end{align*}
不等式の右辺を整理します。
例題１(2)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \geqq 2\sqrt{x^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{4}{x^{\scriptsize{2}}}} \\[ 7pt ]
&\text{右辺を整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 2\sqrt{x^{\scriptsize{2}} \cdot \frac{4}{x^{\scriptsize{2}}}} = 2 \cdot 2 = 4 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \geqq 4
\end{align*}
今回はここで終わってはいけません。このままでは、展開後の左辺の一部だけで、同じではないからです。
展開後の左辺にしないと、与式に戻りません。展開後の左辺に揃えるために、後回しにした定数項を両辺に加えます。
例題１(2)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \geqq 4 \\[ 7pt ]
&\text{両辺に $5$ を加えると} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} +\frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} +5 \geqq 9 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad \left(x+\frac{1}{x} \right) \left(x+\frac{4}{x} \right) \geqq 9
\end{align*}
このように定数項を後回しにする証明問題は、入試レベルでは頻出です。
展開してから相加平均と相乗平均の大小関係へ。また、定数項は後回し。
最後に、等号が成り立つ条件を求めます。
例題１(2)の解答例 5⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \left(x+\frac{1}{x} \right) \left(x+\frac{4}{x} \right) \geqq 9 \\[ 7pt ]
&\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{2}} = \frac{4}{x^{\scriptsize{2}}} \\[ 7pt ]
&\text{のときである。これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad x^{\scriptsize{4}} = 4 \\[ 7pt ]
&x \gt 0 \ \text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad x = \sqrt{2}
\end{align*}
(2)のように、関係を利用できそうな感じがしても、単純に利用するだけでは上手くいかない問題もあります。
このような場合、自分で利用できる形に変形することが必要で、解ける人とそうでない人との差がはっきりします。入試レベルでは頻出なので、演習をこなしておきましょう。
また、例題１は不等式の証明問題でしたが、積が定数となる２数を決めることが最大のポイントです。
２数が決まりさえすれば、基本的に相加平均と相乗平均の関係に代入すれば与式を導くことができます。関係を利用して与式を作り上げるイメージを持つと良いでしょう。
相加平均と相乗平均の関係に慣れよう（その２）
例題２は、例題１(2)と同じように工夫が必要な問題です。
例題２
$x \gt 0$ のとき、次の式の最小値を求めよ。
\begin{equation*}
\quad x+\frac{9}{x+2}
\end{equation*}
例題２の解答・解説
例題２は、不等式の証明問題ではなく、与式の最小値を求める問題です。この問題でも相加平均と相乗平均の大小関係を利用することができます。
ここで、相加平均と相乗平均の大小関係を振り返ってみます。
相加平均と相乗平均
\begin{align*}
&a \gt 0 \ , \ b \gt 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab} \\[ 7pt ]
&\text{より、} \\[ 5pt ]
&\quad a+b \geqq 2 \sqrt{ab} \\[ 7pt ]
&\text{また、等号成立は} \\[ 5pt ]
&\quad a=b \\[ 7pt ]
&\text{のとき}
\end{align*}
関係を利用するときに注意したいのは、文字ａ，ｂに対応する数式です。この数式は「逆数になっていれば、単項式でも良いし、多項式でも構わない」ことに注意しましょう。
このことを踏まえて与式を観察すると、このままだと上手くいかないことに気付くでしょう。与式を変形します。
例題２の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\text{与式より} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{9}{x+2} = x+2+\frac{9}{x+2}-2
\end{align*}
定数項ができましたが、それよりも優先するのは逆数の和です。逆数の和がなければ、自分でつくりましょう。
逆数の和ができたので、相加平均と相乗平均の大小関係を利用します。
例題２の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+\frac{9}{x+2} = x+2+\frac{9}{x+2}-2 \\[ 7pt ]
&\text{ここで} \\[ 5pt ]
&\quad x+2 \gt 0 \ , \ \frac{9}{x+2} \gt 0 \\[ 7pt ]
&\text{であるので、相加平均と} \\[ 5pt ]
&\text{相乗平均の大小関係より} \\[ 5pt ]
&\quad x+2 +\frac{9}{x+2} \geqq 2\sqrt{\left(x+2 \right) \cdot \frac{9}{x+2}}
\end{align*}
不等式の右辺を整理します。
例題２の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+2 +\frac{9}{x+2} \geqq 2\sqrt{\left(x+2 \right) \cdot \frac{9}{x+2}} \\[ 7pt ]
&\text{右辺を整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad 2\sqrt{\left(x+2 \right) \cdot \frac{9}{x+2}} = 2 \cdot 3 = 6 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x+2 +\frac{9}{x+2} \geqq 6
\end{align*}
例題１(2)と同じように、ここで終わってはいけません。
変形後の左辺にしないと、与式に戻りません。変形後の左辺に揃えるために、後回しにした定数項を両辺に加えます。
例題２の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+2 +\frac{9}{x+2} \geqq 6 \\[ 7pt ]
&\text{両辺に $-2$ を加えると} \\[ 5pt ]
&\quad x+2+\frac{9}{x+2} -2 \geqq 6-2 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x+\frac{9}{x+2} \geqq 4
\end{align*}
与式が最小値となるのは、不等式において等号が成り立つときです。等号が成り立つ条件を求めます。
例題２の解答例 5⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad x+\frac{9}{x+2} \geqq 4 \\[ 7pt ]
&\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ]
&\quad x+2 = \frac{9}{x+2} \\[ 7pt ]
&\text{のときである。これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( x+2 \bigr)^{\scriptsize{2}} = 9 \\[ 7pt ]
&x+2 \gt 0 \ \text{であるので} \\[ 5pt ]
&\quad x+2 = 3 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x= 1 \\[ 7pt ]
&\text{したがって} \\[ 5pt ]
&\quad x=1 \ \text{のとき最小値} \ 4
\end{align*}
例題２は、不等式の証明問題ではなく、式の最小値を求める問題です。相加平均と相乗平均の大小関係は不等式で表されます。このことを利用して、式の最小値を求めます。
ただ、問題によっては、手を加えないと解けないものもあります。入試レベルであれば、簡単に解ける方が少ないので、演習をこなしておきましょう。
次は、相加平均と相乗平均を利用する不等式の証明を扱った問題を実際に解いてみましょう。
