数と式｜一次不等式を扱った応用問題を解いてみよう その１（立式の基本）

08/23/2023数学１

一次不等式や連立不等式の扱い方を学習したので、一次不等式を扱った応用問題を解いてみましょう。

一次不等式を扱った応用問題では、方程式のときと同じように文章問題になります。設問を読んで自分で立式しなければなりません。自分で立式する流れは、等号と不等号の違いくらいで方程式のときとほぼ変わりません。

自分で立式するのは難しそうですが、文章中のどこかに必ずヒントがあります。どこに注目すれば良いのかを意識しながら学習すると、立式のコツを掴めるでしょう。

立式の基本的な流れ

方程式や不等式を扱った文章問題であれば、等しい数量や大小関係のある数量が、文章中にヒントとして存在しています。

たとえば、「ＡはＢである」という言い回しは「ＡはＢに等しい」という意味です。これを数式で表せば、「Ａ＝Ｂ」と表せます。このことは現代文の参考書や問題集でも見られるので、知っている人も多いかと思います。

このように、方程式や不等式を扱った文章問題では、数式で表せる言い回し（ヒント）が文章中に必ずあります。その言い回しを見つけ出し、数式に置き換える訓練を積めば、文章問題は全く怖くありません。

文章から立式するまでの流れをまとめると、大まかに以下のようになります。

求めたい数量を文字で表す

方程式や不等式を立式する問題では、出題者が解答者に求めてもらいたい（解答者が求めたい）数量が必ず存在します。その数量を文字（ｘなど）で表すのが立式の初手になります。

出題者が解答者に何を求めてほしいのかは、だいたい文章の最後に「～を求めよ」と書かれているのでとても分かりやすいです。

立式できそうな表現を探して、等式か不等式かを決める

求めたい数量を文字で表したら、文章中から立式できそうな言い回し（ヒント）を探します。立式できそうな言い回しは、数量の関係を説明している言い回しで、たとえば以下のようなものがあります。

「合わせると～になった」は、「合わせると～に等しくなった」という意味なので、和や等式を使って立式できます。

買い物の話では、「代金が～になった」と言われることもあります。「代金が～になった」も「各商品の代金の合計が～に等しくなった」と読み取れるので、同じように和や等式を使えます。

また、「ＡはＢよりも小さくなった」はＡとＢの大小関係を表しているので、不等式を使って立式できます。

このように言い回しによって、等式（方程式）か不等式かを決めることができます。等式か不等式かが分かるということは、式全体の形が決まるということです。

式の左辺や右辺の数量に注意しよう

方程式や不等式のどちらかで立式するめどが立ったら、その式の左辺や右辺の数量を確認します。

たとえば１個の値段が異なる商品をいくつか購入したとき、各商品の代金の和が支払った代金です。このことから「各商品の代金の和＝支払った代金」という関係が分かります。

ここで左辺に注目すると、左辺は代金の和です。和は２つ以上の数量を加算したものなので、商品ごとの代金を加算したものになります。

商品の代金は「１個の値段×個数」で求めることができます。文章中から１個の値段や個数を探します。商品ごとに代金を求めてそれらの和を取れば、これが左辺の数量になります。

購入金額の和のように、立式すると多項式になる場合があります。このような場合、いきなり商品１つ１つに目を向けると、上手に立式できないことがあります。

そうならないためには、「式全体から左辺または右辺」というように、「全体から部分へ」を意識して立式しましょう。

また、意外と盲点なのが、両辺の単位は同じであることです。

例に挙げた買い物の場合、左辺の購入金額の和も右辺の支払った金額も単位は円です。単位のある問題では、両辺の単位を確認するとミスに気付けます。物理や化学でも重宝するので覚えておくと良いでしょう。

次は一次不等式を扱った文章問題を実際に解いてみましょう。