数学２
今回は二項定理の利用について学習しましょう。二項定理を式の展開に用いながら、他の数量についても考えます。
どちらかと言うと、記述形式の試験に出題されるような内容なので、少し難しく感じるかもしれません。しかし、二項定理の式の使い方を覚えれば、それほど難しくありません。完答を目指して取り組みましょう。
二項定理の利用について
二項定理を利用する問題は、主に２パターンあります。
桁に関する問題として、例えば以下のような問題が出題されます。
例題１（桁に関する問題）
$101^{\scriptsize{100}}$ の 下位 $5$ 桁を求めよ。
流石に１０１100を素直に計算するのは大変です。このようなときに二項定理を利用します。
また、余りに関する問題として、たとえば以下のような問題が出題されます。
例題２（余りに関する問題）
$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。
こちらも２９45を素直に計算した後に、９００で割るのは現実的ではありません。このようなときにも二項定理を利用します。
実は似たようなことは、中学数学や数学１ですでに学習しています。たとえば、１０１2の計算です。そのまま計算しようと思えばできますが、少し工夫すると暗算できます。
工夫して計算する
\begin{align*}
101^{\scriptsize{2}} &= (100+1)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&= 100^{\scriptsize{2}} +2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ]
&= 10000 + 200 +1 \\[ 7pt ]
&= 10201
\end{align*}
二項定理を利用する問題でも、これと同じ発想で解きます。
数だけの計算では、なぜか公式を使わずに筆算しがちです。しかし、公式に当てはまりさえすれば、数や文字に関係なく公式を使うことは全く問題ありません。展開に限らず、因数分解でもそうです。
工夫して計算する
\begin{align*}
25^{\scriptsize{2}} – 15^{\scriptsize{2}} &= (25+15)(25-15) \\[ 7pt ]
&= 40 \cdot 10 \\[ 7pt ]
&= 400
\end{align*}
因数分解すると、計算が一歩後退するように感じるかもしれません。しかし、筆算よりも遥かに簡単に計算できるときもあります。
このようなことが二項定理でもできます。そのことをここでは学習します。
例題の解答・解説
例題を通して、どのように二項定理を利用するのかを確認してみましょう。
例題１の解答・解説
例題１（桁に関する問題）
$101^{\scriptsize{100}}$ の 下位 $5$ 桁を求めよ。
例題１は、桁に関する問題です。二項定理を利用するので、二項式で表す必要があります。与式を二項式に変形します。
例題１の解答例 1⃣
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= (1+100)^{\scriptsize{100}} \\[ 7pt ]
&= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}}
\end{align*}
桁を考えるとき、１００の累乗よりも１０の累乗の方が扱いやすいです。このことを考慮して変形しておきましょう。
また、１０2は、二項式において２番目の項にしておきましょう。
その理由は、組合せの添字と累乗の指数との対応関係を考えたとき、１番目の項にしたときに比べて、多少は記述ミスを減らせるからです。それに、１は何乗しても１なので、指数のミスは気になりません。しかし、１０2の指数を間違うと大変なことになります。
二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。
例題１の解答例 2⃣
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ 1^{\scriptsize{100}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 1^{\scriptsize{99}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 1^{\scriptsize{98}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1^{\scriptsize{97}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 1^{\scriptsize{1}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{99}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ \left(10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 10^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 10^{\scriptsize{4}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 10^{\scriptsize{6}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 10^{\scriptsize{198}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ 10^{\scriptsize{200}}
\end{align*}
展開した後は、下位５桁の数を求めれば良いので、下位５桁に影響する項と影響しない項を調べます。
例題１の解答例 3⃣
\begin{align*}
101^{\scriptsize{100}} &= \left( 1+10^{\scriptsize{2}} \right)^{\scriptsize{100}} \\[ 10pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ 10^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ 10^{\scriptsize{4}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \underline{10^{\scriptsize{6}}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{99}}} \ 10^{\scriptsize{198}} + {}_{{\scriptsize{100}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{100}}} \ 10^{\scriptsize{200}} \\[ 10pt ]
&= 1 + 100 \cdot 10^{\scriptsize{2}} + 4950 \cdot 10^{\scriptsize{4}} + 10^{\scriptsize{6}} \ k \quad \text{（ $k$ は自然数）} \\[ 10pt ]
&= 10001 + 495 \cdot 10^{\scriptsize{5}} + 10^{\scriptsize{6}} \ k
\end{align*}
１０4は５桁の数です。１０6になると７桁の数になるので、下５桁に影響しません。このことを考慮すると、展開式の４項目以降には、必ず１０6が含まれるので、下位５桁に影響を与えない項となります。
展開式の４項目以降は必要ないと確実に分かるので、文字ｋを使ってまとめておきます。そうすると展開式を簡潔に表すことができます。このような処理をするためには、１０2を２番目の項にしておかないとかなり大変です。
１～３項目を整理してみると、下位５桁に関係する項は１，２番目の項だと分かります。
例題２の解答・解説
例題２（余りに関する問題）
$29^{\scriptsize{45}}$ を $900$ で割った余りを求めよ。
例題２は、余りに関する問題です。９００が３０2であることに注目します。
二項定理が利用できるように、２９を二項式(３０－１)に変形します。３０という共通の数が出てきます。
例題２の解答例 1⃣
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= \left(30-1 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 7pt ]
&= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}}
\end{align*}
組合せの添字と累乗の指数とが揃うように、３０を２番目の項にしておきます。
二項式に変形できたので、二項定理を利用して展開します。
例題２の解答例 2⃣
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{0}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{45}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{1}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{44}} \ 30^{\scriptsize{1}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{43}} \ 30^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{42}} \ 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right)^{\scriptsize{1}} \ 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= 1 \cdot \left(-1 \right) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{2}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}}
\end{align*}
２９45を９００で割るということは、展開式を９００で割るということです。
展開式は多項式なので、各項をそれぞれ９００で割り算することになります。このとき、９００で割り切れる項と割り切れない項とがでてきます。
９００で割り切れる項には、９００、言い換えると３０2が含まれるはずです。それに対して、９００で割り切れない項には、３０2が含まれないので余りが出てきます。これらを調べて展開式を変形します。
例題２の解答例 3⃣
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= 1 \cdot \left(-1 \right) + 45 \cdot 1 \cdot 30 + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) \cdot \underline{ 30^{\scriptsize{2}} } + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{3}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{44}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= -1 + 1350 + 30^{\scriptsize{2}} \ \Bigl\{ {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{2}} \ \left(-1 \right) + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{\scriptsize{3}} \ 1 \cdot 30^{\scriptsize{1}} \\[ 10pt ]
&\qquad + \cdots + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{44}}} \ \left(-1 \right) \cdot 30^{\scriptsize{42}} + {}_{{\scriptsize{45}}} \mathrm{ C }_{{\scriptsize{45}}} \ 30^{\scriptsize{43}} \Bigr\} \\[ 10pt ]
&= -1 + 1350 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \quad \text{（ $k$ は自然数）} \\[ 10pt ]
&= 1349 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k
\end{align*}
展開式の３項目以降には、必ず３０2が含まれることに注目します。３項目以降の各項は、必ず９００の倍数となるので、３項目以降をひとまとめにしておきます。
３０2を含む項と含まない項とを区別することができました。しかし、ここで答えを急いではいけません。
１３４９は９００よりも大きい数です。１３４９は９００で割ったときの余りではないこと注意しましょう。
例題２の解答例 4⃣
\begin{align*}
29^{\scriptsize{45}} &= \left(-1+30 \right)^{\scriptsize{45}} \\[ 10pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= 1349 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \\[ 10pt ]
&= 900 \cdot 1 + 449 ＋ 30^{\scriptsize{2}} \ k \\[ 10pt ]
&= 900 \left(k+1 \right) + 449
\end{align*}
１３４９を９００で割ると、商が１で余りが４４９となります。さらに整理すると、解答例4⃣の最後の式になります。
この式が表すのは「２９45を９００で割った商はｋ＋１で、余りは４４９になる」ということです。余りに関する問題では、最後で間違える人が多いので気をつけましょう。
余り＜割る数となる。「割られる数＝割る数×商＋余り」の形で表そう。
次は、より実践的な問題を解いてみましょう。
