複素数と方程式｜２乗すると○○になる複素数について

05/24/2021数学２

２乗すると指定された数になる複素数を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$2$ 乗すると $i$ になるような複素数} \\[ 5pt ] &\quad z=x+yi \quad \text{（$x \ , \ y$ は実数）} \\[ 7pt ] &\text{はちょうど $2$ つ存在する。} \\[ 5pt ] &\text{この $z$ を求めよ。} \end{align*}

例題と同じ要領で解きます。複素数の相等を利用するので、実部と虚部の条件に気を付けましょう。

問の解答・解説

題意に沿って等式を立式します。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$z$ を $2$ 乗すると $i$ となるので} \\[ 5pt ] &\quad z^{\scriptsize{2}} = i \end{align*}

この等式の左辺に与式を代入し、左辺を虚数単位について整理します。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad z^{\scriptsize{2}} = i \\[ 7pt ] &\text{ここで、$z=x+yi$ より} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+yi \right)^{\scriptsize{2}}=i \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}+2xyi = i \end{align*}

複素数を求めるためには、実部と虚部を求めれば良いので、複素数の相等を利用します。このとき、実部と虚部がともに実数であることを断っておきましょう。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}+2xyi = i \\[ 7pt ] &x \ , \ y \ \text{は実数であるので、} \\[ 5pt ] &x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}} \ , \ 2xy \ \text{も実数である。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2xy=1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

複素数の相等を利用して実部と虚部を比較すると、実数ｘ，ｙについての方程式が２つ得られます。これらを連立させて解きます。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2xy=1 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+y \right)\left(x-y \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm y \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad y = \pm x \end{align*}

①式を実数ｘについての２次方程式と考えると因数分解できます。すると、実数ｘの解±ｙが得られます。②式に代入したとき、実数ｙを消去したいので、最後に手を加えてｙについて変形しています。

①式で得られた結果は２通りあるので、場合分けして②式に代入します。

問の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad y = \pm x \\[ 7pt ] &\text{$y=x$ のとき、②より} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 7pt ] &\text{これより、} \\[ 5pt ] &\quad x=\frac{1}{\sqrt{2}} \ \text{のとき} \quad y=\frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 5pt ] &\quad x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \ \text{のとき} \quad y=-\frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 5pt ] &\text{また、$y=-x$ のとき、②より} \\[ 5pt ] &\quad -2x^{\scriptsize{2}}=1 \\[ 7pt ] &\text{これを満たす実数 $x$ は存在しない。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、求める複素数は} \\[ 5pt ] &\quad z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \ , \ -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \end{align*}

②式に代入すると、実数ｘの値が２つ得られるので、ここでも場合分けして実数ｙの値を求めます。

平方根が出てきますが、平方根も実数です。自分で等式を立式する必要がありますが、複素数の相等を扱った問題とほとんど変わりません。

連立方程式を代入法で解いたとき

例題の別解例のように、代入法を利用して連立方程式を解いてみましょう。

問の別解例 1⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-y^{\scriptsize{2}}=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 2xy=1 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{②より $x \neq 0$ であるので} \\[ 5pt ] &\quad y=\frac{1}{2x} \\[ 7pt ] &\text{これを①に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}-\left(\frac{1}{2x} \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{4}}-1=0 \end{align*}

分母を払うと、４次方程式が得られます。

問の別解例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 4x^{\scriptsize{4}}-1=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad \left(2x^{\scriptsize{2}}+1 \right)\left(2x^{\scriptsize{2}}-1 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad \left(\sqrt{2}x+1 \right)\left(\sqrt{2}x-1 \right)\left(2x^{\scriptsize{2}}+1 \right)=0 \\[ 7pt ] &2x^{\scriptsize{2}}+1 \neq 0 \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 7pt ] &x=\frac{1}{\sqrt{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \\[ 7pt ] &\quad \ = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \\[ 7pt ] &\quad \ = \frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 7pt ] &x=-\frac{1}{\sqrt{2}} \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} \\[ 7pt ] &\quad \ = \frac{1}{2} \cdot \left( -\sqrt{2} \right) \\[ 7pt ] &\quad \ = -\frac{1}{\sqrt{2}} \\[ 7pt ] &\text{したがって、求める複素数は} \\[ 5pt ] &\quad z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} i \ , \ -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} i \end{align*}

係数が平方根になりますが、実数の範囲での因数分解を学習していれば問題ないはずです。

複号同順について

なお、求めた複素数の表記をまとめることができます。この場合、複号同順ということばを添えておきましょう。問の解答例であれば以下のようになります。

２つの複素数をまとめて記述する

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad z=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i \ , \ -\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i \\[ 7pt ] &\text{これをまとめて表すと} \\[ 5pt ] &\quad z=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}i \quad \text{（複号同順）} \\[ 7pt ] &\text{または} \\[ 5pt ] &\quad z=\pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i \right) \quad \text{（複号同順）} \end{align*}

複号同順は、数字が同じで符号が異なるときに利用できる表記です。

たとえば、＋Ａ＋Ｂと－Ａ－Ｂの場合、Ａ，Ｂは同じですが、符号の組合せが異なります。２組の符号の組合せが分かるように、１つにまとめて±Ａ±Ｂと記述します。符号の組合せは、上に並んだ組（＋と＋）と下に並んだ組（－と－）です。

他の例を挙げると、もし２つの複素数が＋Ａ－Ｂと－Ａ＋Ｂであれば、±Ａ∓Ｂとまとめて記述できます。

座標と同じような表記をすることもできます。色々な表記の仕方があるので、覚えておきましょう。

複号同順

\begin{align*} &\quad x=2 \ \text{のとき} \quad y=2 \\[ 5pt ] &\quad x=-2 \ \text{のとき} \quad y=-2 \\[ 5pt ] &\text{を座標のように} \\[ 5pt ] &\quad (x \ , \ y)=(2 \ , \ 2) \ , \ (-2 \ , \ -2) \\[ 7pt ] &\text{と書くことがある。} \\[ 5pt ] &\text{さらに、この場合を} \\[ 5pt ] &\quad (x \ , \ y)=(\pm 2 \ , \ \pm 2) \quad \text{（複号同順）} \\[ 7pt ] &\text{と書くことがある。} \end{align*}

複号同順の表記を覚えると、読みやすい答案の作成に役立ちます。

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