データの分析｜データの散らばりについてその１

07/11/2021数学１

四分位数や箱ひげ図などを扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

図は、ある学校の $1$ 年生と $2$ 年生の身長のデータの箱ひげ図である。この箱ひげ図から読み取れることとして、正しいものを次の①～④からすべて選べ。ただし、各学年の人数はともに $200$ 人である。

①　$185cm$ より大きい生徒が $1$ 年生にはいるが、$2$ 年生にはいない。

②　$170cm$ 以上の生徒が $2$ 年生には $100$ 人以上いるが、$1$ 年生では $100$ 人以下である。

③　$165cm$ 以下の生徒がどちらの学年にも $50$ 人より多くいる。

④　$175cm$ 以下の生徒は $1$ 年生では $150$ 人より多くいるが、$2$ 年生では $150$ 人以下である。

問の解答・解説

問は、箱ひげ図から読み取れることの正誤を判断する問題です。図から情報を正しく読み取る必要があります。どこに着目すれば良いのかを知っておきましょう。

選択肢①の正誤

問の選択肢①

①　$185cm$ より大きい生徒が $1$ 年生にはいるが、$2$ 年生にはいない。

選択肢①では、１年生と２年生のデータに１８５cm より大きい値があるかどうかが分かれば良いので、最大値に着目します。

箱ひげ図から、１年生の最大値は１８５cm よりも大きいので、１年生の中に１８５cm より大きい生徒がいることが読み取れます。

また、２年生の最大値は１８５cm よりも小さいので、２年生の中に１８５cm より大きい生徒がいないことが読み取れます。

このことから、選択肢①は正しいと言えます。

選択肢②の正誤

問の選択肢②

②　$170cm$ 以上の生徒が $2$ 年生には $100$ 人以上いるが、$1$ 年生では $100$ 人以下である。

選択肢②では、人数についての正誤なので、度数を考えます。各学年の人数はそれぞれ２００人であるので、データの大きさはともに偶数です。度数の全体に占める割合を利用することができます。

中央値（第２四分位数）に注目します。中央値から最大値までの度数は、全体の５０％を占めるので１００人です。

箱ひげ図から、１年生の方の中央値は１７０cm よりも小さいので、１７０cm 以上の生徒は、全体の５０％以下、つまり１００人以下であることが読み取れます。

また、２年生の方の中央値は１７０cm よりも大きいので、１７０cm 以上の生徒は、全体の５０％以上、つまり１００人以上であることが読み取れます。

このことから、選択肢②は正しいと言えます。

選択肢③の正誤

問の選択肢③

③　$165cm$ 以下の生徒がどちらの学年にも $50$ 人より多くいる。

選択肢③も選択肢②と同じように度数を考えます。第１四分位数に注目します。

最小値から第１四分位数までの度数は、全体の２５％を占めるので５０人です。

箱ひげ図から、１年生の方の第１四分位数は１６５cm よりも小さいので、１６５cm 以下の生徒は、全体の２５％より大きい、つまり５０人より多いことが読み取れます。

また、２年生の方の第１四分位数は１６５cm よりも大きいので、１６５cm 以下の生徒は、全体の２５％より小さい、つまり５０人より少ないことが読み取れます。

このことから、選択肢③は正しくないと言えます。

選択肢④の正誤

問の選択肢④

④　$175cm$ 以下の生徒は $1$ 年生では $150$ 人より多くいるが、$2$ 年生では $150$ 人以下である。

選択肢④も度数を考えます。第３四分位数に注目します。

最小値から第３四分位数までの度数は、全体の７５％を占めるので１５０人です。

箱ひげ図から、１年生と２年生の第３四分位数はともに１７５cm よりも大きいので、１７５cm 以下の生徒は、全体の７５％より小さい、つまり１５０人より少ないことが読み取れます。

このことから、選択肢④は正しくないと言えます。

問の解答例

解答例は以下のようになります。

問の解答例

\begin{align*} &\quad ( \ \text{$1$ 年生のデータの最大値} \ ) \ \gt 185 \\[ 5pt ] &\quad ( \ \text{$2$ 年生のデータの最大値} \ ) \ \lt 185 \\[ 5pt ] &\text{であるので、選択肢①は正しい。} \\[ 10pt ] &\text{$1$ 年生の第 $k$ 四分位数、$2$ 年生の第 $k$ 四分位数をそれぞれ} \\[ 5pt ] &\quad Q_{\scriptsize{1k}} \quad (k=1 \ , \ 2 \ , \ 3) \ , \ Q_{\scriptsize{2k}} \quad (k=1 \ , \ 2 \ , \ 3) \\[ 5pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\quad Q_{\scriptsize{12}} \lt 170 \ , \ Q_{\scriptsize{22}} \gt 170 \\[ 5pt ] &\text{であるので、選択肢②は正しい。} \\[ 10pt ] &\quad Q_{\scriptsize{21}} \gt 165 \\[ 5pt ] &\text{であるので、選択肢③は正しくない。} \\[ 10pt ] &\quad Q_{\scriptsize{13}} \gt 175 \\[ 5pt ] &\text{であるので、選択肢④は正しくない。} \\[ 10pt ] &\text{したがって、正しいのは選択肢①と②である。} \end{align*}

単に箱ひげ図を書けるだけでなく、箱ひげ図から正しく情報を読み取れるように演習をこなしておきましょう。特に、正誤問題を多く解いておくと良いでしょう。

データの大きさが偶数のとき、度数の全体に占める割合が分かる。

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