物理の要点｜電気と磁気
静電気
クーロンの法則
$q_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[C]}$ と$q_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[C]}$ の点電荷（大きさの無視できる電荷）が $r \ \mathrm{[m]}$ 離れて存在するとき、この２つの点電荷が及ぼしあう力の大きさ $F \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad F =k \frac{q_{\scriptsize{1}} q_{\scriptsize{2}}}{r^{\scriptsize{2}}}
\end{equation*}
ただし、$k$ は比例定数
電位
無限遠点を電位 $0 \ \mathrm{V}$ の基準点とすると、$q \ \mathrm{[C]}$ の点電荷から $r \ \mathrm{[m]}$ 離れた点の電位 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V =k \frac{q}{r}
\end{equation*}
ただし、$k$ はクーロンの法則の比例定数
電場
電荷が電場から受ける力
$\overrightarrow{E} \ \mathrm{[N/C]}$ の電場の中で $q \ \mathrm{[C]}$ の点電荷が受ける力 $\overrightarrow{F} \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad \overrightarrow{ F } =q \overrightarrow{ E }
\end{equation*}
点電荷による電場
$q \ \mathrm{[C]}$ の点電荷から $r \ \mathrm{[m]}$ 離れた点の電場の強さ $E \ \mathrm{[N/C]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad E =k \frac{q}{r^{\scriptsize{2}}}
\end{equation*}
ただし、$k$ はクーロンの法則の比例定数
一様な電場
一様な電場中で、電位差 $V \ \mathrm{[V]}$ の２点が電場に沿って $d \ \mathrm{[m]}$ 離れているとき、この電場の強さ $E \ \mathrm{[V/m]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad E =\frac{V}{d}
\end{equation*}
ただし、$\mathrm{[V/m]}$ と $\mathrm{[N/C]}$ は同じ単位を表す。
電気力のする仕事
電位差 $V \ \mathrm{[V]}$ の２点間を $q \ \mathrm{[C]}$ の点電荷を動かすために、電気力がこの電荷に対してする仕事 $W \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad W=qV
\end{equation*}
電気容量
平行平板コンデンサーの電気容量
面積 $S \ \mathrm{[m^{\scriptsize{2}}]}$ の極板を間隔 $d \ \mathrm{[m]}$ 離して平行に置いたコンデンサーの電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad C=\varepsilon \frac{S}{d}
\end{equation*}
ただし、$\varepsilon$ は極板間にはさまれた物質の誘電率
誘電率
誘電率 $\varepsilon$ とクーロンの法則の比例定数 $k$ との間には、次の関係がある。
\begin{equation*}
\quad \varepsilon =\frac{1}{4 \pi k}
\end{equation*}
比誘電率
物質の誘電率 $\varepsilon$ と真空の誘電率 $\varepsilon_{\scriptsize{0}}$ との比を比誘電率 $\varepsilon_{r}$ という。
\begin{equation*}
\quad \varepsilon_{r} =\frac{\varepsilon}{\varepsilon_{\scriptsize{0}}}
\end{equation*}
極板間が真空のときの電気容量が $C_{\scriptsize{0}} \ \mathrm{[F]}$ である平行平板コンデンサーの、極板間を比誘電率 $\varepsilon_{r}$ の物質で満たすと、電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ は、以下の式で表される。
\begin{equation*}
\quad C=\varepsilon_{r} C_{\scriptsize{0}}
\end{equation*}
コンデンサーに蓄えられる電荷
電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーに $V \ \mathrm{[V]}$ の電位差をかけたとき、コンデンサーに蓄えられる電荷（電気量）$Q \ \mathrm{[C]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad Q=CV
\end{equation*}
コンデンサーの合成容量
並列接続
電気容量 $C_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[F]} \ , \ C_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[F]} \ , \ \cdots , \ C_{n} \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーを並列に接続したときの合成容量 $C \ \mathrm{[F]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad C=C_{\scriptsize{1}} +C_{\scriptsize{2}} + \cdots +C_{n}
\end{equation*}
直列接続
電気容量 $C_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[F]} \ , \ C_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[F]} \ , \ \cdots , \ C_{n} \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーを直列に接続したときの合成容量 $C \ \mathrm{[F]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad \frac{1}{C}=\frac{1}{C_{\scriptsize{1}}} +\frac{1}{C_{\scriptsize{2}}} + \cdots +\frac{1}{C_{n}}
\end{equation*}
コンデンサーに蓄えられるエネルギー（静電エネルギー）
電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーに $V \ \mathrm{[V]}$ の電位差をかけたとき、コンデンサーに蓄えられる静電エネルギー $U \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad U=\frac{1}{2} CV^{\scriptsize{2}}
\end{equation*}
直流回路
電流
電流の大きさは、導体の断面を単位時間に通過する電荷の量で表す。ある断面を時間 $\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ の間に $\varDelta Q \ \mathrm{[C]}$ の電荷が通過したときの電流 $I \ \mathrm{[A]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad I=\frac{\varDelta Q}{\varDelta t}
\end{equation*}
オームの法則
導体を流れる電流は電圧に比例する。これをオームの法則という。$R \ \mathrm{[\Omega]}$ の抵抗に $I \ \mathrm{[A]}$ の電流が流れるとき、抵抗の両端にかかる電圧 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V=RI
\end{equation*}
抵抗と抵抗率
抵抗率
導体の抵抗 $R \ \mathrm{[\Omega]}$ は、長さ $l \ \mathrm{[m]}$ に比例し、断面積 $S \ \mathrm{[m^{\scriptsize{2}}]}$ に反比例する。比例定数 $\rho \ \mathrm{[\Omega \cdot m]}$ を抵抗率という。
\begin{equation*}
\quad R=\rho \frac{l}{S}
\end{equation*}
抵抗の温度変化
一般に金属の抵抗率は温度が上がると増加する。$0 \ \mathrm{^{\circ} C}$ における抵抗率を $\rho_{\scriptsize{0}}$ とすると、$t \ \mathrm{[^{\circ} C]}$ における抵抗率 $\rho$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad \rho=\rho_{\scriptsize{0}} \left( 1+\alpha t \right)
\end{equation*}
ただし、αは抵抗率の温度係数
電流による発熱
$R \ \mathrm{[\Omega]}$ の抵抗に $V \ \mathrm{[V]}$ の電圧をかけ、$I \ \mathrm{[A]}$ の電流を流したとき、抵抗が時間 $t \ \mathrm{[s]}$ の間に発生する熱量 $Q \ \mathrm{[J]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad Q=IVt=I^{\scriptsize{2}} Rt=\frac{V^{\scriptsize{2}}}{R} t
\end{equation*}
また、抵抗が単位時間に発生する熱量 $P \ \mathrm{[W]}$ を電力という。
\begin{equation*}
\quad P=IV=I^{\scriptsize{2}} R=\frac{V^{\scriptsize{2}}}{R}
\end{equation*}
合成抵抗
直列接続
抵抗 $R_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ R_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ R_{\scriptsize{3}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ \cdots , \ R_{n} \ \mathrm{[\Omega]}$ を直列につないだときの合成抵抗 $R \ \mathrm{[\Omega]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad R=R_{\scriptsize{1}} +R_{\scriptsize{2}} +R_{\scriptsize{3}} + \cdots +R_{n}
\end{equation*}
並列接続
抵抗 $R_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ R_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ R_{\scriptsize{3}} \ \mathrm{[\Omega]} \ , \ \cdots , \ R_{n} \ \mathrm{[\Omega]}$ を並列につないだときの合成抵抗 $R \ \mathrm{[\Omega]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad \frac{1}{R}=\frac{1}{R_{\scriptsize{1}}} +\frac{1}{R_{\scriptsize{2}}} +\frac{1}{R_{\scriptsize{3}}} + \cdots +\frac{1}{R_{n}}
\end{equation*}
電気と磁気
電流がつくる磁場
直流電流がつくる磁場
無限に長い直線状の導線に $I \ \mathrm{[A]}$ の電流を流したとき、導線から $r \ \mathrm{[m]}$ 離れた点に生じる磁場の強さ $H \ \mathrm{[A/m]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad H=\frac{I}{2 \pi r}
\end{equation*}
円形電流の中心の磁場
半径 $r \ \mathrm{[m]}$ の円形の導線に $I \ \mathrm{[A]}$ の電流を流したとき、中心にできる磁場の強さ $H \ \mathrm{[A/m]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad H=\frac{I}{2r}
\end{equation*}
ソレノイド内部の磁場
導線を $1 \ m$ あたり $n$ 回密に巻いて作ったソレノイドに $I \ \mathrm{[A]}$ の電流を流したとき、ソレノイド内にできる磁場の強さ $H \ \mathrm{[A/m]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad H=n I
\end{equation*}
磁束密度
透磁率 $\mu$ の物質中に $H \ \mathrm{[A/m]}$ の磁場が生じたときの磁束密度 $B \ \mathrm{[T]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad B=\mu H
\end{equation*}
電流が磁場から受ける力
導線の受ける力
磁束密度 $B \ \mathrm{[T]}$ の磁場中に、磁場と角 $\theta$ をなす方向に置いた長さ $l \ \mathrm{[m]}$ の導線に $I \ \mathrm{[A]}$ の電流を流したとき、導線が受ける力 $F \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad F=IBl \sin {\theta}
\end{equation*}
力の向きは、フレミングの左手の法則によって決める。
フレミングの左手の法則
電流が磁場から受ける力の向きを知りたいときの手順は以下の通り。
- 左手の親指、人差し指、中指を互いに垂直に開いておく（Ｌ字型になるように開く）。
- 中指を電流 $I$、人差し指を磁場 $B$ の向きに合わせて向ける。
- 親指の向いた向きが、電流が磁場から受ける力の向きを示す。
ローレンツ力
$q \ \mathrm{[C]}$ の電荷をもつ粒子が、磁束密度 $B \ \mathrm{[T]}$ の磁場中を、磁場と垂直に $\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ の速さで運動するとき、粒子が受けるローレンツ力の大きさ $F \ \mathrm{[N]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad F=q \upsilon B
\end{equation*}
ローレンツ力の向きは、正の荷電粒子の運動方向を電流の向きとみなして、フレミングの左手の法則に当てはめて決めればよい。
電磁誘導と交流
電磁誘導の法則
磁束密度 $B \ \mathrm{[T]}$ の磁場中に断面積 $S \ \mathrm{[m^{\scriptsize{2}}]}$ のコイルを、コイル面を磁場に垂直に置いたとき、コイルを貫く磁束 $\varPhi \ \mathrm{[Wb]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad \varPhi=BS
\end{equation*}
また、コイルを貫く磁束が変化すると、コイルに誘導起電力が生じる。$N$ 回巻きのコイルを貫く磁束が、短い時間 $\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ の間に $\varDelta \varPhi \ \mathrm{[Wb]}$ だけ変化すると、そのときの誘導起電力 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次のように表される。
\begin{equation*}
\quad V=-N \frac{\varDelta \varPhi}{\varDelta t}
\end{equation*}
磁場中を運動する導線の誘導起電力
磁束密度 $B \ \mathrm{[T]}$ の磁場中を、磁場に垂直に、長さ $l \ \mathrm{[m]}$ の導線が $\upsilon \ \mathrm{[m/s]}$ の速さで運動するとき、導線の両端に生じる誘導起電力の大きさ $V \ \mathrm{[V]}$ は、次のように表される。
\begin{equation*}
\quad V=\upsilon Bl
\end{equation*}
自己誘導と相互誘導
自己誘導起電力
コイルを流れる電流が変化すると、そのコイル自身に誘導起電力を生じる。コイルを流れる電流が短い時間 $\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ に $\varDelta I \ \mathrm{[A]}$ だけ変化したときの自己誘導起電力 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V=-L \frac{\varDelta I}{\varDelta t}
\end{equation*}
ただし、$L$ は自己インダクタンスと呼ばれ、それぞれのコイルに特有の比例定数で、その単位はヘンリー $\mathrm{[H]}$
相互誘導起電力
２つのコイルを接近させ、１次コイルに生じた磁束が２次コイルをも貫くようにすると、１次コイルの電流の変化によって２次コイルに誘導起電力を生じる。１次コイルの電流が短い時間 $\varDelta t \ \mathrm{[s]}$ に $\varDelta I_{\scriptsize{1}} \ \mathrm{[A]}$ だけ変化したとき、２次コイルに生じる相互誘導起電力 $V_{\scriptsize{2}} \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V_{\scriptsize{2}}=-M \frac{\varDelta I_{\scriptsize{1}} }{\varDelta t}
\end{equation*}
ただし、$M$ は相互インダクタンスと呼ばれ、２つのコイルの組み合わせ方などによって決まる比例定数で、その単位はヘンリー $\mathrm{[H]}$
コイルの磁気エネルギー
自己インダクタンス $L \ \mathrm{[H]}$ のコイルに $I \ \mathrm{[A]}$ の電流が流れているとき、コイルは、次の式で表される磁気エネルギーを蓄えている。
\begin{equation*}
\quad E=\frac{1}{2} LI^{\scriptsize{2}}
\end{equation*}
交流
交流電圧
交流電圧 $V \ \mathrm{[V]}$ は、最大値を $V_{\scriptsize{0}} \ \mathrm{[V]}$、発電機の回転角速度を $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ とすると、時間 $t \ \mathrm{[s]}$ に対して次の式で示される変化をする。
\begin{equation*}
\quad V=V_{\scriptsize{0}} \sin {\omega t}
\end{equation*}
交流電流
上の式で表される交流電圧が抵抗に加わったときに流れる交流電流 $I \ \mathrm{[A]}$ は、最大値を $I_{\scriptsize{0}} \ \mathrm{[A]}$ とすると、時間 $t \ \mathrm{[s]}$ に対して次の式で示される変化をする。
\begin{equation*}
\quad I=I_{\scriptsize{0}} \sin {\omega t}
\end{equation*}
実効値
交流電圧および交流電流の実効値は、それぞれの最大値 $V_{\scriptsize{0}} \ , \ I_{\scriptsize{0}}$ の $1 / \scriptsize{\sqrt{2}}$ である。
交流回路
コイルのリアクタンス
自己インダクタンス $L \ \mathrm{[H]}$ のコイルに各周波数 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ の交流電流 $I \ \mathrm{[A]}$ が流れるとき、コイルの両端の電圧 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V=\omega LI
\end{equation*}
ただし、電流の位相は電圧の位相より $\pi \ / \ 2$ だけ遅れている。
コンデンサーのリアクタンス
電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーに角周波数 $\omega \ \mathrm{[rad/s]}$ の交流電流 $I \ \mathrm{[A]}$ が流れるとき、コンデンサーに加わる電圧 $V \ \mathrm{[V]}$ は、次の式で表される。
\begin{equation*}
\quad V=\frac{1}{\omega C}
\end{equation*}
ただし、電流の位相は電圧の位相より $\pi \ / \ 2$ だけ進んでいる。
電気振動
自己インダクタンス $L \ \mathrm{[H]}$ のコイルと電気容量 $C \ \mathrm{[F]}$ のコンデンサーからなる電気振動回路の固有周波数 $f \ \mathrm{[Hz]}$ は、次のように表される。
\begin{equation*}
\quad f=\frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}
\end{equation*}
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