式と証明｜複数の文字に関する恒等式について

06/06/2021数学２

複数の文字に関する恒等式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

\begin{align*} &(1) \quad x^{\scriptsize{2}}+axy+by^{\scriptsize{2}} = (cx+y)(x-4y) \\[ 10pt ] &(2) \quad x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+ax-y+1 = (x+y+b)(x-2y+c) \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+axy+by^{\scriptsize{2}} = (cx+y)(x-4y) \end{equation*}

問(1)は、例題と同じ形式の問題です。文字が複数あっても、両辺の同類項の係数を比較することができます。

与式の右辺を展開して整理します。右辺を整理するとき、左辺を参考します。

問(1)の解答例 1⃣

右辺を展開して整理すると

\begin{align*} \text{(右辺)} &= (cx+y)(x-4y) \\[ 7pt ] &= cx^{\scriptsize{2}}+(-4c+1)xy-4y^{\scriptsize{2}} \end{align*}

よって、与式は

\begin{align*} &x^{\scriptsize{2}}+axy+by^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad = cx^{\scriptsize{2}}+(-4c+1)xy-4y^{\scriptsize{2}} \end{align*}

両辺の同類項の係数を比較します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &x^{\scriptsize{2}}+axy+by^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad = cx^{\scriptsize{2}}+(-4c+1)xy-4y^{\scriptsize{2}} \end{align*}

この等式が $x \ , \ y$ についての恒等式となるのは、両辺の各項の係数が等しいときであるので

\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} 1 =c \quad \cdots \text{①} \\ a =-4c+1 \quad \cdots \text{②} \\ b =-4 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}

連立方程式を解きます。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} 1 =c \quad \cdots \text{①} \\ a =-4c+1 \quad \cdots \text{②} \\ b =-4 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{①，②から} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=-3 \ , \ b=-4 \ , \ c=1 \end{align*}

例題レベルなので、解法の手順を確認しながら解きましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。

\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+ax-y+1 = (x+y+b)(x-2y+c) \end{equation*}

問(2)も(1)と同じ要領で解きます。

与式の右辺を展開して整理します。右辺を整理するとき、左辺を参考します。

問(2)の解答例 1⃣

右辺を展開して整理すると

\begin{align*} \text{(右辺)} &= (x+y+b)(x-2y+c) \\[ 7pt ] &= x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+(b+c)x+(-2b+c)y+bc \end{align*}

よって、与式は

\begin{align*} &x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+ax-y+1 \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+(b+c)x+(-2b+c)y+bc \end{align*}

両辺の同類項の係数を比較します。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+ax-y+1 \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}-xy-2y^{\scriptsize{2}}+(b+c)x+(-2b+c)y+bc \end{align*}

この等式が $x \ , \ y$ についての恒等式となるのは、両辺の各項の係数が等しいときであるので

\begin{align*} \quad \left\{ \begin{array}{l} b+c =a \quad \cdots \text{①} \\ -2b+c =-1 \quad \cdots \text{②} \\ bc =1 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}

連立方程式を解きます。計算が少し難しいかもしれませんが、文字を１つずつ消去していきます。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} b+c =a \quad \cdots \text{①} \\ -2b+c =-1 \quad \cdots \text{②} \\ bc =1 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{②，③から $c$ を消去すると} \\[ 5pt ] &\quad b(2b-1)=1 \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad 2b^{\scriptsize{2}}-b-1=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad (b-1)(2b+1)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=-\frac{1}{2} \ , \ 1 \\[ 7pt ] &\text{①，③から} \\[ 5pt ] &\text{$b=-\frac{1}{2}$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad c=-2 \ , \ a=-\frac{5}{2} \\[ 7pt ] &\text{$b=1$ のとき} \\[ 5pt ] &\quad c=1 \ , \ a=2 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &(a \ , \ b \ , \ c) = \left(-\frac{5}{2} \ , \ -\frac{1}{2} \ , \ -2 \right) \ , \ (2 \ , \ 1 \ , \ 1) \end{align*}

計算ミスをしやすいので注意しましょう。

これまでは定数の値と言えば、１組しか出てきませんでした。しかし、問(2)のように、連立方程式から２次方程式や３次方程式などが得られる場合があります。

このような場合、解が複数組になることもあります。定数の値は１組とは限らないので注意しましょう。