数学の公式・定理集｜平面上のベクトル

08/30/2023公式・定理,数学Ｂ

1. 平面上のベクトル：１．ベクトルの演算
- 1.1. ベクトルの演算の基本
- 1.2. ベクトルの平行、分解
2. 平面上のベクトル：２．ベクトルの成分
- 2.1. ベクトルの相等、大きさ
- 2.2. 点の座標とベクトルの成分
3. 平面上のベクトル：３．ベクトルの内積
- 3.1. 内積の定義、内積と成分
- 3.2. 内積と平行・垂直条件
4. 平面上のベクトル：４．ベクトルと平面図形
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平面上のベクトル：１．ベクトルの演算

ベクトルの演算の基本

□と▲には、A, B 以外で、同じアルファベットが入る。

$\begin{align*} \overrightarrow { A\text{□} } + \overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { AB } \\[ 10pt ] \overrightarrow { \text{□}A } -\overrightarrow { \text{□}B } &= \overrightarrow { BA } \end{align*}$

$\begin{align*} \overrightarrow { \text{□▲} } &= -\overrightarrow { \text{▲□} } \\[ 10pt ] \overrightarrow { \text{□□} } &= \vec { 0 } \end{align*}$

ベクトルの平行、分解

ベクトルの平行条件

$\begin{align*} &\vec{a} \neq \vec { 0 } \ , \ \vec{b} \neq \vec { 0 } \ \text{のとき} \\[ 10pt ] &\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \ \iff \ \vec{b} = k \vec{a} \\[ 10pt ] &\text{となる実数 $k$ がある。} \end{align*}$

ベクトルの分解

$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0} \ , \ \vec{a} \nparallel \vec{b}$ （平行でない）のとき、任意のベクトル

$\vec{p}$ は、実数

$s \ , \ t$ を用いてただ１通りに

$\vec{p} = s \vec{a} + t \vec{b}$ の形に表される。

平面上のベクトル：２．ベクトルの成分

ベクトルの相等、大きさ

ベクトルの相等

$\begin{align*} &( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \\[ 10pt ] &\iff \ a_{\tiny{1}} = b_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} = b_{\tiny{2}} \end{align*}$

ベクトルの大きさ

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ )$ のとき

$\begin{equation*} \quad \left| \ \vec{a} \ \right| = \sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} } \end{equation*}$

点の座標とベクトルの成分

$\overrightarrow { AB }$ の成分と大きさ

$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき

$\begin{align*} \quad \overrightarrow { AB } &= \left( b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \right) \\[ 10pt ] \quad \left| \ \overrightarrow { AB } \ \right| &= \sqrt{ {\left( b_{\scriptsize{1}} \ – a_{\scriptsize{1}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{2}} \ – a_{\scriptsize{2}} \right)}^{\scriptsize{2}} } \end{align*}$

平面上のベクトル：３．ベクトルの内積

内積の定義、内積と成分

$\vec{a} \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} \neq \vec{0}$ 、 $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta \ (0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ})$ とする。

内積の定義

$\begin{equation*} \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \ \vec{a} \ \right| \left| \ \vec{b} \ \right| \cos \theta \end{equation*}$

内積と成分

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ )$ のとき

$\begin{align*} \quad \vec{a} \cdot \vec{b} &= a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} \\[ 10pt ] \quad \cos \theta &= \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \ \vec{a} \ \right| \left| \ \vec{b} \ \right|} \\[ 10pt ] &= \frac{a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}}}{\sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} } \ \sqrt{ {b_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {b_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}}} } \end{align*}$

内積と平行・垂直条件

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0} \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ ) \neq \vec{0}$ とする。

平行条件

$\begin{align*} &\quad \vec{a} \ /\,/ \ \vec{b} \\[ 10pt ] &\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{1}} = 0 \end{align*}$

垂直条件

$\begin{align*} &\quad \vec{a} \perp \vec{b} \\[ 10pt ] &\iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \\[ 10pt ] &\iff a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} = 0 \end{align*}$

平面上のベクトル：４．ベクトルと平面図形

位置ベクトルと共点条件

分点の位置ベクトル

２点 $A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ に対し、線分 AB を $m : n$ に分ける点の位置ベクトル

内分点の位置ベクトル

$\begin{equation*} \quad \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \end{equation*}$

外分点の位置ベクトル

$\begin{equation*} \quad \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m -n} \end{equation*}$

共点条件

異なる３本以上の直線が１点で交わるための条件を共点条件と言う。

例）３点 P, Q, R の共点条件：位置ベクトルの一致を示す

$\begin{equation*} \quad \overrightarrow { OP } = \overrightarrow { OQ } = \overrightarrow { OR } \end{equation*}$

ベクトル方程式

直線のベクトル方程式

s, t を実数とする。

点

$A(\vec{a})$ を通り、

$\vec{d} \ ( \neq \vec{0} )$ に平行な直線のベクトル方程式

$\begin{equation*} \quad \vec { p } = \vec { a } + t\vec { d } \end{equation*}$

異なる２点

$A(\vec{a}) \ , \ B(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式

$\begin{equation*} \quad \vec { p } = (1 -t) \vec { a } + t\vec { b } \end{equation*}$

または

$\begin{equation*} \quad \vec { p } = s\vec { a } + t\vec { b } \ , \ s + t = 1 \end{equation*}$

内積を使った直線のベクトル方程式

点

$A(\vec{a})$ を通り、

$\vec{n} \ ( \neq \vec{0} )$ に垂直な直線のベクトル方程式

$\begin{equation*} \quad \vec { n } \cdot ( \vec{p} – \vec{a} ) = 0 \end{equation*}$

平面上の点の存在範囲

△OAB に対して

$\begin{equation*} \quad \overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB } \end{equation*}$

のとき、点 P の存在範囲は①～③の３通り。

① 直線 AB

$\begin{equation*} \iff \ s+t=1 \end{equation*}$

特に、線分 AB

$\begin{equation*} \iff \ s+t=1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0 \end{equation*}$

② △OAB の周および内部

$\begin{equation*} \iff \ s+t \leqq 1 \ , \ s \geqq 0 \ , \ t \geqq 0 \end{equation*}$

③ 平行四辺形 OACB の周および内部

$\begin{equation*} \iff \ 0 \leqq s \leqq 1 \ , \ 0 \leqq t \leqq 1 \end{equation*}$

円のベクトル方程式

中心

$C ( \ \vec{c} \ )$ 、半径

$r$ の円のベクトル方程式

$\begin{equation*} \quad \left| \ \vec { p } \ – \vec{c} \ \right| = r \end{equation*}$

ベクトルの応用

共線条件

異なる３個以上の点が同じ直線上にあるための条件を共線条件と言う。

点 C が直線 AB 上にある

$\begin{equation*} \iff \ \overrightarrow { AC } = k\overrightarrow { AB } \end{equation*}$

となる実数

$k$ がある

点 P が直線 AB 上にある

$\begin{equation*} \iff \ \overrightarrow { OP } = s\overrightarrow { OA } + t\overrightarrow { OB } \ , \ s+t=1 \end{equation*}$