２次関数｜２次方程式の解法について
今回は、２次方程式の解法について学習しましょう。中学で扱った２次方程式では、そのほとんどが乗法公式を利用した因数分解で解くことができました。
しかし、高校数学では、乗法公式では因数分解のできない式の方が多くなります。もちろん、乗法公式を利用して因数分解できる式もありますが、たすき掛けを利用する場合が多いです。
全体的に扱う式が複雑になるので、式をよく観察して、どのような解法で解を求めれば良いのか判断できるようになりましょう。
２次方程式の解法は２パターン
方程式とは１つ以上の変数を含む等式のことです。この方程式のうち、２次の多項式を扱ったものを２次方程式と言います。
２次方程式の解法には２パターンあります。
２次方程式の解法
- 因数分解して解を求める
- 解の公式を使って解を求める
式を見てすぐに判断できるようになりましょう。
２次方程式を因数分解で解く
２次方程式を因数分解するとき、その方法には２通りあります。
因数分解の方法は２通り
- 共通因数でくくる因数分解
- 乗法公式を利用した因数分解
(２次式)＝０という２次方程式を因数分解すると、左辺の２次式は因数の積の形で表されます。この積は右辺が０であることから、因数のいずれかは必ず０になります。
因数分解した後に等式の性質を利用することで、解を求めることができるようになります。
「方程式は左辺と右辺が等しい」という等式の性質を利用。
たとえば、２次方程式をたすき掛けで因数分解すると、左辺が１次式の積で表されます。
左辺の２次式を１次式の積に因数分解
\begin{align*} \quad ac{x}^{2} +\left(ad + bc \right)x +bd &=0 \\[ 7pt ] \left(ax+b \right) \left(cx+d \right) &=0 \end{align*}左辺は $2$ つの $1$ 次式 $ax+b \ , \ cx+d$ の積で表される。
等式の性質から、左辺は右辺と等しいので０になるはずです。左辺の積が０になるということは、１次式ａｘ＋ｂ，ｃｘ＋ｄのどちらかは必ず０にならなければなりません。
このことから、以下のような等式を２つ導くことができます。
等式の性質から新たな方程式を導出
\begin{align*} \quad \left(ax+b \right) \left(cx+d \right) =0 \end{align*}等式の性質から
\begin{align*} \quad ax+b=0 \end{align*}または
\begin{align*} \quad cx+d =0 \end{align*}が成り立つ。これらを解くと
\begin{align*} \quad x=-\frac{b}{a} \end{align*}または
\begin{align*} \quad x=-\frac{d}{c} \end{align*}よって、与式の解は
\begin{align*} \quad x=-\frac{b}{a} \ , \ -\frac{d}{c} \end{align*}２次方程式を因数分解して等式の性質を利用すると、１次方程式を導くことができます。これらを変数ｘについて解いた結果が２次方程式の解です。
どちらの１次式の値も０になりうるので「または」の関係。「集合と論理」の単元でも問われる知識。
因数分解での解法をまとめると以下のようになります。
２次方程式を解の公式で解く
因数分解による解法は、等式の性質から解を求めました。それに対して、解の公式を利用した解法は、２次方程式の係数や定数項を利用します。
因数分解よりも直接的な解法なので、式変形に自信がなくても解を求めることができるのが利点です。
解の公式は以下のようになります。
２次方程式の解の公式
$2$ 次方程式
\begin{align*} \quad a{x}^{2} +bx +c =0 \end{align*}について、この $2$ 次方程式の解は
\begin{align*} \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \end{align*}の右辺に $a \ , \ b \ , \ c$ の値を代入することで求めることができる。
解の公式を見て分かるように、係数ａ，ｂや定数項ｃの値を用いることによって解（変数ｘの値）を一気に求めることができます。
高校数学では、解の公式の応用版もあります。上手に使い分けると、計算がラクになります。
解の公式で解を求めると、約分が必要なときがあります。
このようなときは基本的な解の公式ではなく、応用版を使うと約分なしで解を求めることができます。
基本版と応用版の使い分けは、１次の項の係数が偶数かどうかで判断します。
以上のように２通りの方法で、２次方程式を解くことができます。
基本的には、与えられた式に応じて解き方を使い分ける方針の方が良いでしょう。式の扱いに慣れるには、解の公式よりも因数分解の方が適切だからです。
まずは因数分解できないかを考えよう。解の公式は最終手段で。
解の公式を導出してみよう
ところで、解の公式はどのように導出されるのでしょうか？
分かれば大したことではないのですが、導出するにはこれまでの知識を活用する必要があります。少し面倒ですが、公式の導出にチャレンジしてみましょう。
解の公式の導出には平方完成を利用します。
平方完成は、２次関数ではお馴染みの変形です。この平方完成を利用すると、変数ｘについて解くことができます。
解の公式の導出
\begin{align*} a{x}^{2}+bx+c &= 0 \\[ 7pt ] a\left({x}^{2}+\frac{b}{a} x \right) +c &= 0 \\[ 7pt ] a\left\{ \left(x+\frac{b}{2a} \right)^{2}-\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}} \right\} +c &= 0 \\[ 7pt ] a{\left(x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}-\frac{{b}^{2}}{4a} +c &= 0 \\[ 7pt ] a{\left(x+\frac{b}{2a} \right)}^{2}-\frac{{b}^{2}-4ac}{4a} &= 0 \\[ 7pt ] a{\left(x+\frac{b}{2a} \right)}^{2} &= \frac{{b}^{2}-4ac}{4a} \\[ 7pt ] {\left(x+\frac{b}{2a} \right)}^{2} &= \frac{{b}^{2}-4ac}{4{a}^{2}} \\[ 7pt ] x+\frac { b }{ 2a } &= \pm \frac{\sqrt {{b}^{2}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] x &= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] x &= \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \end{align*}また、$b=2b’$ のとき
\begin{align*} \quad x &= \frac{-2b’ \pm \sqrt{\left(2b’ \right)^{2}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] &= \frac{-2b’ \pm \sqrt{4{b’}^{2}-4ac}}{2a} \\[ 7pt ] &= \frac{-2b’ \pm \sqrt{4\left({b’}^{2}-ac \right)}}{2a} \\[ 7pt ] &= \frac{-2b’ \pm 2\sqrt{{b’}^{2}-ac}}{2a} \\[ 7pt ] &= \frac{-b’ \pm \sqrt{{b’}^{2}-ac}}{a} \end{align*}決して難しいわけではありません。丁寧に変形していけば、きちんと導出することができます。
特に理系志望ならば理系科目を得点源にしたいところです。そのためにも、公式を自分で導出できるようにしておくべきでしょう。
解の公式に限らず、公式の導出ではこれまでに学習してきたことを利用します。そのおかげで知識の定着度合いを確認できたり、他の単元との関わりに気付けたりします。
上手な式の扱い方も身に付けることができるので、受ける恩恵が多いのが公式の導出です。
入試レベルになると、係数や定数項に文字を含む整式を扱うことになる。意外と複雑な式を扱うので、日頃から式の扱いに慣れておこう。
２次方程式の解の意味を考えてみよう
２次方程式の解き方については中学でも学習しているので、ある程度は問題ないかと思います。ここでは、２次方程式を解いて得られる解について考えてみましょう。
２次方程式やその解は、ただの計算問題やその答えだけではありません。たとえば、問題で与えられた関係を数式化したものだったり、個数や長さをもつ数量であったりします。
２次方程式やその解にはそれなりに意味があるということです。では、関数やグラフとの関係はどうでしょうか。
２次方程式が関数やグラフと関係するのは、関数の式においてｙ＝０のときです。
このときの２次方程式は、グラフとｘ軸との交点（共有点と言う）について考えている式です。ですから、この場合の解は、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標になります。
２次方程式と関数やグラフとの関係
- （２次方程式）＝（関数の式においてｙ＝０のときの式）
- （２次方程式を解く）＝（グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求める)
- （２次方程式の解）＝（グラフとｘ軸との共有点のｘ座標)
このように２次方程式は関数やグラフと密接な関係があるので、２次方程式を単独で解くような問題よりも、関数やグラフの問題の中で解くことの方が多くなります。
ですから、２次方程式に出会ったら、ただの計算ではなく、関数やグラフとの関係を意識しながら扱いましょう。
２次方程式の解についてまとめると以下のようになります。
次は、２次方程式を実際に解いてみましょう。
２次方程式に関する問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
式を良く観察して方針を立ててから解きましょう。
問１の解答・解説
問１
次の $2$ 次方程式を解け。
\begin{align*} \quad 2x^{2}-x-1=0 \end{align*}左辺は３項からなる２次式です。このような２次式の場合、乗法公式による因数分解か、解の公式かの二択になります。
問１では、左辺をたすき掛けで因数分解できるので、解の公式を使わずに解きます。
問１の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad 2x^{2}-x-1 &=0 \\[ 7pt ] \left(x-1 \right)\left(2x+1 \right) &=0 \end{align*}左辺の２次式を因数分解すると、１次式どうしの積の形になります。
等式の性質を利用して、新たな方程式を導出して解を求めます。
問１の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad &\vdots \\[ 7pt ] \quad \left(x-1 \right) &\left(2x+1 \right) =0 \end{align*}等式の性質から
\begin{align*} \quad x-1=0 \ \text{または} \ 2x+1=0 \end{align*}これらを解くと
\begin{align*} \quad x=1 \ \text{または} \ x=-\frac{1}{2} \end{align*}よって、求める解は
\begin{align*} \quad x=-\frac{1}{2} \ , \ 1 \end{align*}たすき掛けに慣れていれば、中学レベルとほとんど変わりません。解答例では、「または」という文言を用いて丁寧に記述しましたが、慣れてくるとほぼ記述されなくなります。
問１のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
たすき掛けに慣れてきたら、暗算で因数分解できるようになろう。計算はスピード感が大切。
問２の解答・解説
問２
次の $2$ 次方程式を解け。
\begin{align*} \quad 2x^{2}+5x+1=0 \end{align*}問１と同じように、左辺は３項からなる２次式です。しかし、今回はたすき掛けでは因数分解できないようです。
問２では、伝家の宝刀「解の公式」で解を求めます。
解の公式
$2$ 次方程式 $a{x}^{2}+bx+c=0$ の解は
\begin{align*} \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \end{align*}与式と公式を見比べて、２次式の係数や定数項の対応関係を把握します。
対応関係が分かったら、公式の右辺に対応する数を代入します。代入では符号ミスが多いので気を付けましょう。
問２の解答例 1⃣
与式と公式の対応関係を調べると
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c &=0 \\[ 7pt ] \quad 2x^{2}+5x+1 &=0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad a = 2 \ , \ b = 5 \ , \ c = 1 \end{align*}これらを解の公式に代入すると
\begin{align*} \quad x = \frac{-5 \pm \sqrt{{5}^{2}-4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2} \end{align*}右辺を整理して
\begin{align*} \quad x = \frac{-5 \pm \sqrt{17}}{4} \end{align*}与式と公式の対応関係を正しく把握することが大切です。
問２のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
初めのうちは公式を覚えるために、暗算せずに数に置き換えて解こう。また、－ｂのところで符号ミスをしやすいので気を付けよう。
問３の解答・解説
問３
次の $2$ 次方程式を解け。
\begin{align*} \quad 3x^{2}+2x-2=0 \end{align*}問３の式も因数分解できないので、解の公式を使って解きます。ただし、１次の項の係数が偶数なので、解の公式の応用版を使います。
解の公式
$2$ 次方程式 $a{x}^{2}+bx+c=0$ の解は
\begin{align*} \quad x = \frac{-b \pm \sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a} \end{align*}また、$b=2b’$ のとき
\begin{align*} \quad x = \frac{-b’ \pm \sqrt{{b’}^{2}-ac}}{a} \end{align*}与式と公式を見比べて、２次式の係数や定数項の対応関係を把握します。
対応関係が分かったら、公式の右辺に対応する数を代入します。代入では符号ミスが多いので気を付けましょう。
問３の解答例 1⃣
与式と公式の対応関係を調べると
\begin{align*} \quad a{x}^{2}+bx+c &=0 \\[ 7pt ] \quad 3x^{2}+2x-2 &=0 \end{align*}より
\begin{align*} &\quad a = 3 \ , \ b = 2 \ \left(= 2 \cdot 1 \right) \ , \\[ 7pt ] &\quad c = -2 \end{align*}これらを解の公式に代入すると
\begin{align*} \quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{{1}^{2}-3 \cdot \left(-2 \right)}}{3} \end{align*}右辺を整理して
\begin{align*} \quad x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3} \end{align*}基本的な公式と比べて小さな数で計算できるようになり、計算量が格段に減ります。
ただし、もとの公式と変わる部分に注意しないと計算ミスをします。演習をこなして使いこなせるレベルまで仕上げておきましょう。
問３のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
解の公式では、ｂの値を代入するときが一番ミスが多くなります。応用版では特にミスしやすくなるので、さらに気を付けましょう。
そうは言っても、使いながら覚えていくのが一番効率が良いので、計算ミスを恐れずにどんどん使っていきましょう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- ２次方程式の解法は、因数分解または解の公式による解法の２つ。
- 因数分解による解法は、等式や積の性質を利用して求める。
- 解の公式による解法は、２次式の係数や定数項を利用して求める。
- １次の項の係数が偶数のときなら、簡略化した解の公式を利用できる。