複素数と方程式｜係数に虚数のある２次方程式について

05/24/2021数学２

係数に虚数のある２次方程式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$x$ の方程式} \\[ 5pt ] &\quad \left( 1+i \right)x^{\scriptsize{2}}+\left(k-i \right)x+\left(k-i+2i \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{が実数解をもつように、実数 $k$ の値を定めよ。} \end{align*}

問題文を注意深く読み、与式をよく観察しましょう。

方程式の係数や定数項には、虚数単位ｉが含まれています。与式をｘについての２次方程式と見なしたり、判別式を用いたりすることがないように気を付けましょう。

問の解答・解説

「方程式が実数解をもつ」という文言から、実数解を自分で定義します。この実数解を方程式に代入しても、等式が成り立つことを利用します。

等式の左辺は複素数として扱い、等式を実部と虚部に分けて整理します。

問の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{方程式の実数解を $\alpha$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad \left( 1+i \right){\alpha}^{\scriptsize{2}}+\left(k-i \right){\alpha}+\left(k-i+2i \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{これを整理して} \\[ 5pt ] &\quad \left( {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 \right)+ \left( {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 \right)i =0 \end{align*}

２次方程式の実数解の話から複素数の話へ置き換えます。次は、実部と虚部がそれぞれ実数であることを利用します。

問の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left( {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 \right)+ \left( {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 \right)i =0 \\[ 7pt ] &\text{$\alpha \ , \ k$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 \ , \ {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 \\[ 7pt ] &\text{も実数である。よって} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 =0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 =0 \quad \cdots \text{②} \end{align*}

複素数の相等を利用をして、①，②式を導きます。実部と虚部に相等する式が実数であることを必ず記述しておきましょう。

あとは、①，②式を連立して解きます。加減法や代入法を利用する前に、②式を因数分解できることに注目しましょう。

問の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 =0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 =0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{②より} \\[ 5pt ] &\quad \left( {\alpha}+1 \right) \left( {\alpha}-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ {\alpha} = -1 \ , \ 2 \end{align*}

②式から、自分で定義した実数解の値を求めることができます。これらを場合分けして、実数ｋの値をそれぞれ求めます。

問の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}+k{\alpha}-k+1 =0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}}-{\alpha}-2 =0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ {\alpha} = -1 \ , \ 2 \\[ 7pt ] &[1] \ \alpha=-1 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\text{①から} \\[ 5pt ] &\quad 2-2k =0 \quad \text{よって} \quad k=1 \\[ 7pt ] &[2] \ \alpha=2 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\text{①から} \\[ 5pt ] &\quad 5+k =0 \quad \text{よって} \quad k=-5 \\[ 7pt ] &[1] \ , \ [2] \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad k=1 \ , \ -5 \end{align*}

本問では、実数解αを先に求めることができました。この実数解を用いて、そのときの実数ｋの値を求めています。

それに対して例題では、実数ｋの値が定まったとき（ｋ＝１のとき）については、方程式の解が実数解かどうか分かりません。ですから、場合分けという感覚よりも、方程式が本当に実数解をもつかどうかを確認している意味合いがあります。確認してみると、ｋ＝１のとき与式は実数解をもたないので、不適となりました。

Recommended books

おすすめというよりも、個人的にちょっと気になる書籍を紹介します。気になる人はぜひ一読してみて下さい。

オススメ『NEW ACTION LEGENDシリーズ』

数学の参考書兼問題集と言えば、ほとんどの人が「チャート式」と答えるかもしれません。他には「Focus Gold（フォーカスゴールド）」も挙がるかもしれません。

チャート式数学１＋Ａ改訂版

created by Rinker

チャート式数学２＋Ｂ改訂版ベクトル・数列

created by Rinker

Focus Gold数学１＋Ａ 4th Edition

created by Rinker

Focus Gold数学２＋Ｂ 4th Edition

created by Rinker

おすすめに挙げた「NEW ACTION LEGENDシリーズ」は東京書籍から出版された教材です。チャートやフォーカスゴールドと同じくらい良い教材だと思います。個人的には本書の方が好きかもしれません。もともとは高校専用だったようですが、市販が解禁されています。

個人的に好感が持てるのは、数学的思考についての解説に紙面を割いているところです。解説も丁寧な感じがします。数学が得意な人にとっては、無意識にしていることなので、それほどありがたみのない情報かもしれません。ただ、苦手な人にとっては知らないことなので、とても貴重な情報だと思います。

新しい大学入試に対応するためには、思考力・表現力・判断力を日頃から養う必要があります。数学であれば、数学的な思考力です。数学的な思考をするために、日常学習で必要なことを身に付けられないと効率が良くありません。本書なら、そういったことを解決する助けになるかもしれません。

本書のサンプルが東京書籍のサイトにあります。雰囲気を掴めむことはできますが、詳しくは書店で確認すると良いでしょう。

NEW ACTION LEGEND 数学Ｉ＋Ａのサンプル

系統性を重視し、思考力を磨く！

各例題には「思考のプロセス」（解答に至るまでの考え方）を示しています。
- 「条件の言い換え」「既知の問題に帰着」「具体的に考える」などのキーワードを挙げ、生徒に数学的思考法を意識させ、その後の問題解決において活用を促します。
- 既習例題との対比や試行錯誤の過程などを図解で示すことで、生徒に強く印象づけます。
- 途中を穴埋めにしたり、最後を質問で終えたりして、生徒に考える余地を残しています。
分野を越えて効果的な思考法（「逆向きに考える」「対称性」「動かす・固定する」など）について解説と例題で整理した「思考の戦略編」を、巻末に設けました。生徒の思考力を高めるとともに，入試への対応力をさらに一歩引き上げます。
例題の問題文をまとめた、本体から取り外せる小冊子「例題一覧」を設けました。問題の検索性が向上するとともに、問題集としての活用もしやすくなります。
各節冒頭の「まとめ」では，定義・定理・公式のまとめに加えて，「概要」を設けました。「概要」では、内容をイメージさせる解説をしたり、定理の証明の流れを示すとともに、大学入試における定理の証明問題の出題状況などを紹介したりしました。