数学２
２つの解の関係をもとにした係数の決定を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
次の条件を満たす定数 $k$ の値と方程式の解をそれぞれ求めよ。
$(1) \quad 2$ 次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+kx+4=0$ の $1$ つの解が他の解の $4$ 倍
$(2) \quad 2$ 次方程式 $6x^{\scriptsize{2}}-kx+k-4=0$ の $2$ つの解の比が $3:2$
$(3) \quad 2$ 次方程式 $3x^{\scriptsize{2}}+6x+k-1=0$ の $2$ つの解の差が $4$
問(1)の解答・解説
問(1)
次の条件を満たす定数 $k$ の値と方程式の解をそれぞれ求めよ。
$2$ 次方程式 $x^{\scriptsize{2}}+kx+4=0$ の $1$ つの解が他の解の $4$ 倍
例題(1)とほとんど変わりません。２つの解を定義します。一方の解を決めることで、他方の解も決めることができます。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{2}}+kx+4=0 \\[ 7pt ]
&\text{$1$ つの解が他の解の $4$ 倍} \\[ 5pt ]
&\text{であるので、$2$ つの解は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \ , \ 4\alpha \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}
２つの解を定義できたので、解と係数の関係を利用します。α，ｋについての方程式を２つ導くことができます。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad x^{\scriptsize{2}}+kx+4=0 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \ , \ 4\alpha \\[ 7pt ]
&\text{解と係数の関係より、} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+4\alpha=-\frac{k}{1} \\[ 5pt ]
\alpha \cdot 4\alpha=\frac{4}{1}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = -k \quad \cdots \text{①} \\
4{\alpha}^{\scriptsize{2}} =4 \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right.
\end{align*}
①，②式を連立して解いて、α，ｋの値を求めます。②式の方から解きます。
問(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = -k \quad \cdots \text{①} \\
4{\alpha}^{\scriptsize{2}} =4 \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{②より} \\[ 5pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} =1 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \ \alpha = \pm 1
\end{align*}
②式を満たすαの値には、±１の２通りあります。それぞれの場合に分けて、定数ｋの値と他の解を求めます。
問(1)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = -k \quad \cdots \text{①} \\
4{\alpha}^{\scriptsize{2}} =4 \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad {\alpha}^{\scriptsize{2}} =1 \ \text{よって} \ \alpha = \pm 1 \\[ 7pt ]
&\text{$\alpha = -1$ のとき、①より} \\[ 5pt ]
&\quad k = -5 \cdot (-1) = 5 \\[ 7pt ]
&\text{$\alpha = 1$ のとき、①より} \\[ 5pt ]
&\quad k = -5 \cdot 1 = -5 \\[ 7pt ]
&\text{また、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = -1 \ \text{のとき} \ 4 \alpha = 4 \cdot (-1) = -4 \\[ 7pt ]
&\quad \alpha = 1 \ \text{のとき} \ 4 \alpha = 4 \cdot 1 = 4 \\[ 7pt ]
&\text{したがって、} \\[ 5pt ]
&\quad k=5 \ \text{のとき、$2$ つの解は} \ -1 \ , \ -4 \\[ 7pt ]
&\quad k=-5 \ \text{のとき、$2$ つの解は} \ 1 \ , \ 4
\end{align*}
②式は２次方程式なので、αの値は２つあります。場合分けしてｋの値を求めましょう。また、他の解も忘れずに求めましょう。
問(2)の解答・解説
問(2)
次の条件を満たす定数 $k$ の値と方程式の解をそれぞれ求めよ。
$2$ 次方程式 $6x^{\scriptsize{2}}-kx+k-4=0$ の $2$ つの解の比が $3:2$
２つの解の表し方で紹介したパターンです。紹介例を参考にして、２つの解を定義します。一方の解が決まると、他方の解も決まります。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad 6x^{\scriptsize{2}}-kx+k-4=0 \\[ 7pt ]
&\text{$2$ つの解の比が $3:2$ である} \\[ 5pt ]
&\text{ので、$2$ つの解は} \\[ 5pt ]
&\quad 3\alpha \ , \ 2\alpha \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}
２つの解を定義できたので、解と係数の関係を利用します。α，ｋについての方程式を導きます。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad 6x^{\scriptsize{2}}-kx+k-4=0 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 3\alpha \ , \ 2\alpha \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{解と係数の関係より、} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
3\alpha+2\alpha=-\frac{-k}{6} \\[ 5pt ]
3\alpha \cdot 2\alpha=\frac{k-4}{6}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = \frac{k}{6} \quad \cdots \text{①} \\
6{\alpha}^{\scriptsize{2}} =\frac{k-4}{6} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right.
\end{align*}
解と係数の関係を利用するとき、定数項が多項式ｋ－４であることに注意しましょう。
①，②式を連立して解いて、α，ｋの値を求めます。これまでと異なるのは、片方の方程式だけでαの値を求めることができないことです。
どちらの方程式も２種類の文字を含むので、加減法または代入法を利用して、αとｋのどちらかを消去します。ここでは、加減法だと上手くいかないので、代入法を利用します。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = \frac{k}{6} \quad \cdots \text{①} \\
6{\alpha}^{\scriptsize{2}} =\frac{k-4}{6} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{①より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{k}{30} \\[ 7pt ]
&\text{これと②より} \\[ 5pt ]
&\quad 6\left(\frac{k}{30} \right)^{\scriptsize{2}} =\frac{k-4}{6} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad k^{\scriptsize{2}}-25k+100 =0
\end{align*}
ｋについての２次方程式を導くことができました。もちろん、αについての方程式を導いても構いません。
新たに得られた２次方程式を解きます。
問(2)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = \frac{k}{6} \quad \cdots \text{①} \\
6{\alpha}^{\scriptsize{2}} =\frac{k-4}{6} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad k^{\scriptsize{2}}-25k+100 =0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad \left(k-5 \right) \left(k-20 \right) =0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad k=5 \ , \ 20
\end{align*}
ｋについての２次方程式の解は５，２０です。それぞれの場合に分けて、αの値と２つの解を求めます。
問(2)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
5\alpha = \frac{k}{6} \quad \cdots \text{①} \\
6{\alpha}^{\scriptsize{2}} =\frac{k-4}{6} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad k=5 \ , \ 20 \\[ 7pt ]
&\text{$k = 5$ のとき、①より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{5}{30} = \frac{1}{6} \\[ 7pt ]
&\text{$k = 20$ のとき、①より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \\[ 7pt ]
&\text{また、$2$ つの解は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = \frac{1}{6} \ \text{のとき} \ \frac{1}{2} \ , \ \frac{1}{3} \\[ 7pt ]
&\quad \alpha = \frac{2}{3} \ \text{のとき} \ 2 \ , \ \frac{4}{3} \\[ 7pt ]
&\text{したがって、} \\[ 5pt ]
&\quad k=5 \ \text{のとき、$2$ つの解は} \ \frac{1}{2} \ , \ \frac{1}{3} \\[ 7pt ]
&\quad k=20 \ \text{のとき、$2$ つの解は} \ 2 \ , \ \frac{4}{3}
\end{align*}
２つの解の比が３：２になっていることを確認しましょう。
問(2)で気を付けたいのは、２つの解を求めるときです。αの値が分かっても、それが解ではないからです。αをそれぞれ３倍、２倍したものが解になります。
αの値が分かっても、それがどちらの解でもない場合がある。
問(3)の解答・解説
問(3)
次の条件を満たす定数 $k$ の値と方程式の解をそれぞれ求めよ。
$2$ 次方程式 $3x^{\scriptsize{2}}+6x+k-1=0$ の $2$ つの解の差が $4$
２つの解の表し方で紹介したパターンです。紹介例を参考にして、２つの解を定義します。
問(3)の解答例 1⃣
\begin{align*}
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}+6x+k-1=0 \\[ 7pt ]
&\text{$2$ つの解の差が $4$ である} \\[ 5pt ]
&\text{ので、$2$ つの解は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha \ , \ \alpha+4 \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}
２つの解を定義できたので、解と係数の関係を利用します。α，ｋについての方程式を導きます。
問(3)の解答例 2⃣
\begin{align*}
&\quad 3x^{\scriptsize{2}}+6x+k-1=0 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \ , \ \alpha+4 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{解と係数の関係より、} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
\alpha+\left(\alpha+4 \right)=-\frac{6}{3} \\[ 5pt ]
\alpha \cdot \left(\alpha+4 \right)=\frac{k-1}{3}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
2\alpha+4 = -2 \quad \cdots \text{①} \\
\alpha \left(\alpha+4 \right)=\frac{k-1}{3} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right.
\end{align*}
解と係数の関係を利用するとき、定数項が多項式ｋ－１であることに注意しましょう。
①，②式を連立して解いて、α，ｋの値を求めます。①式の方から解きます。
問(3)の解答例 3⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \ , \ \alpha+4 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\left\{
\begin{array}{l}
2\alpha+4 = -2 \quad \cdots \text{①} \\
\alpha \left(\alpha+4 \right)=\frac{k-1}{3} \quad \cdots \text{②}
\end{array}
\right. \\[ 7pt ]
&\text{①より} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha = -3 \\[ 7pt ]
&\text{これと②より} \\[ 5pt ]
&\quad -3 \left(-3+4 \right)=\frac{k-1}{3} \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad k =-8
\end{align*}
α，ｋの値が分かったので、他の解を求めます。
問(3)の解答例 4⃣
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha \ , \ \alpha+4 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \alpha = -3 \\[ 7pt ]
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{また、他の解は} \\[ 5pt ]
&\quad \alpha+4 = -3 +4 = 1 \\[ 7pt ]
&\text{よって、$k=-8$、$2$ つの解は $-3 \ , \ 1$}
\end{align*}
αの値が分かっても、２次方程式の解でないことがあるので注意しましょう。
２つの解の関係には色々なパターンがありますが、基本的な流れは変わりません。せいぜい計算の中身が変わる程度です。
２つの解の関係から係数を決定する手順は以下の通りです。
２つの解の関係から係数を決定する手順
- ２つの解を定義する。
- 解と係数の関係を利用して方程式を導く。
- 連立方程式を解く。
- 解は定義したものを使って求める。
自分なりに覚えやすい表現を使って箇条書きにすると覚えやすくなります。
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さいごにもう一度まとめ
- ２つの解の関係が分かっていれば、できるだけ１種類の文字で２つの解を表す。
- ２つの解を定義したら、解と係数の関係を利用して方程式を導く。
- ２つの解を求めるとき、自分で定義した解を確認しよう。
- ２つの解の表し方にはパターンがあるので、きちんと覚えておこう。
- ２つの解の関係を満たす解の組合せは、１組だけとは限らない。
