数学の公式・定理集｜空間のベクトル
目次
空間のベクトル：１．ベクトルの分解、成分
ベクトルの分解、相等、大きさ
ベクトルの分解
同じ平面上にない４点 $O \ , \ A \ , \ B \ , \ C$ に対して
\begin{equation*}
\quad \overrightarrow { OA } = \vec {a} \ , \ \overrightarrow { OB } = \vec {b} \ , \ \overrightarrow { OC } = \vec {c}
\end{equation*}
とする。
このとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s \ , \ t \ , \ u$ を用いてただ１通りに
\begin{equation*}
\quad \vec {p} = s \vec {a} + t \vec {b} + u \vec {c}
\end{equation*}
の形に表される。
ベクトルの相等
\begin{align*}
&( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ ) \\[ 10pt ]
&\iff \ a_{\tiny{1}} = b_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} = b_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} = b_{\tiny{3}}
\end{align*}
ベクトルの大きさ
$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \vert \vec{a} \vert = \sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{3}}}^{\scriptsize{2}} }
\end{equation*}
$\overrightarrow { AB }$ の成分と大きさ
$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{align*}
\quad \overrightarrow { AB } &= \left( b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ – a_{\tiny{3}} \right) \\[ 10pt ]
\quad \vert \overrightarrow { AB } \vert &= \sqrt{ {\left( b_{\scriptsize{1}} \ – a_{\scriptsize{1}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{2}} \ – a_{\scriptsize{2}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{3}} \ – a_{\scriptsize{3}} \right)}^{\scriptsize{2}} }
\end{align*}
空間のベクトル：２．ベクトルの内積、ベクトルの応用
ベクトルの内積
内積と成分
$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき
\begin{equation*}
\quad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} + a_{\tiny{3}} \ b_{\tiny{3}}
\end{equation*}
ベクトルの応用
同じ平面上にある条件
$s \ , \ t \ , \ u$ を実数とする。
点 $P( \ \vec{p} \ )$ が３点 $A( \ \vec{a} \ ) \ , \ B( \ \vec{b} \ ) \ , \ C( \ \vec{c} \ )$ の定める平面上にある。
\begin{align*}
&\iff \ \overrightarrow { CP } = s\overrightarrow { CA } + t\overrightarrow { CB } \\[ 10pt ]
&\iff \ \vec { p } = s\vec{ a } + t\vec { b } + u\vec { c } \ , \ s + t + u = 1
\end{align*}
球面の方程式
点 $( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ を中心とする半径 $r$ の球面の方程式
\begin{equation*}
\quad {\left(x-a \right)}^{2} + {\left(y-b \right)}^{2} + {\left(z-c \right)}^{2} = r^{2}
\end{equation*}
一般形
\begin{equation*}
x^{2} + y^{2} + z^{2} + hx + ky + lz + d = 0
\end{equation*}
ただし
\begin{equation*}
h^{2} + k^{2} + l^{2} -4d \gt 0
\end{equation*}
中心が $C( \ \vec {c} \ )$、半径が $r$ の球面のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vert \ \vec { p } \ – \vec{c} \ \vert = r
\end{equation*}
直線・平面の方程式
直線のベクトル方程式
$t$ を実数とする。
点 $A( \ \vec {a} \ )$ を通り、$\vec {d} \ (\neq \vec {0})$ に平行な直線のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { p } = \vec { a } + t\vec { d }
\end{equation*}
$A( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ , \ z_{\tiny{1}} \ ) \ , \ \vec {d} = ( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ のときの直線の方程式
\begin{align*}
&\text{①} \quad x = x_{\tiny{1}} + at \ , \ y = y_{\tiny{1}} + bt \ , \ z = z_{\tiny{1}} + ct \\[ 10pt ]
&\text{②} \quad \frac{x \ – x_{\tiny{1}}}{a} = \frac{y \ – y_{\tiny{1}}}{b} = \frac{z \ – z_{\tiny{1}}}{c} \quad ( \ abc \neq 0 \ )
\end{align*}
平面の方程式
点 $A( \ \vec{a} \ )$ を通り、$\vec {n} \ (\neq \vec{0})$ に垂直な平面のベクトル方程式
\begin{equation*}
\quad \vec { n } \cdot ( \ \vec{p} \ – \vec{a} \ ) = 0
\end{equation*}
$A( \ x_{\tiny{1}} \ , \ y_{\tiny{1}} \ , \ z_{\tiny{1}} \ ) \ , \ \vec {n} = ( \ a \ , \ b \ , \ c \ )$ のときの平面の方程式
\begin{equation*}
\quad a ( x – x_{\tiny{1}} ) + b ( y – y_{\tiny{1}} ) + c ( z – z_{\tiny{1}} ) = 0
\end{equation*}
平面の方程式の一般形
\begin{equation*}
\quad ax + by + cz + d = 0
\end{equation*}
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