数学の公式・定理集｜空間のベクトル

同じ平面上にない４点 $O \ , \ A \ , \ B \ , \ C$ に対して

$$\begin{equation*} \quad \overrightarrow { OA } = \vec {a} \ , \ \overrightarrow { OB } = \vec {b} \ , \ \overrightarrow { OC } = \vec {c} \end{equation*}$$

とする。

このとき、任意のベクトル $\vec{p}$ は、実数 $s \ , \ t \ , \ u$ を用いてただ１通りに

$$\begin{equation*} \quad \vec {p} = s \vec {a} + t \vec {b} + u \vec {c} \end{equation*}$$

の形に表される。

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ )$ のとき

$$\begin{equation*} \quad \vert \vec{a} \vert = \sqrt{ {a_{\scriptsize{1}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{2}}}^{\scriptsize{2}} + {a_{\scriptsize{3}}}^{\scriptsize{2}} } \end{equation*}$$

$A ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ B ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき

$$\begin{align*} \quad \overrightarrow { AB } &= \left( b_{\tiny{1}} \ – a_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ – a_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ – a_{\tiny{3}} \right) \\[ 10pt ] \quad \vert \overrightarrow { AB } \vert &= \sqrt{ {\left( b_{\scriptsize{1}} \ – a_{\scriptsize{1}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{2}} \ – a_{\scriptsize{2}} \right)}^{\scriptsize{2}} + {\left( b_{\scriptsize{3}} \ – a_{\scriptsize{3}} \right)}^{\scriptsize{2}} } \end{align*}$$

$\vec{a} = ( \ a_{\tiny{1}} \ , \ a_{\tiny{2}} \ , \ a_{\tiny{3}} \ ) \ , \ \vec{b} = ( \ b_{\tiny{1}} \ , \ b_{\tiny{2}} \ , \ b_{\tiny{3}} \ )$ のとき

$$\begin{equation*} \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = a_{\tiny{1}} \ b_{\tiny{1}} + a_{\tiny{2}} \ b_{\tiny{2}} + a_{\tiny{3}} \ b_{\tiny{3}} \end{equation*}$$

$s \ , \ t \ , \ u$ を実数とする。

点 $P( \ \vec{p} \ )$ が３点 $A( \ \vec{a} \ ) \ , \ B( \ \vec{b} \ ) \ , \ C( \ \vec{c} \ )$ の定める平面上にある。

$$\begin{align*} &\iff \ \overrightarrow { CP } = s\overrightarrow { CA } + t\overrightarrow { CB } \\[ 10pt ] &\iff \ \vec { p } = s\vec{ a } + t\vec { b } + u\vec { c } \ , \ s + t + u = 1 \end{align*}$$