図形と方程式｜２つの円の交点を通る円や直線について
今回は、２つの円の交点を通る円や直線について学習しましょう。
２つの円の交点を通る円や直線に関する問題は、一見すると難しくて面倒そうな感じのする問題です。しかし、決まったパターンで解くことができるので、比較的早く習得することができます。
入試でもたびたび出題されますが、確実に解ける問題にしておいて得点源にしましょう。
２つの円の交点を通る円や直線
２つの円の交点を通る円や直線は、以下の式で表されます。
２つの円の交点を通る円や直線 1⃣
異なる $2$ 点 $P \ , \ Q$ で交わる $2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 \ \cdots \ \text{(※)} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}に対し、$k$ を定数とすると、方程式
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1} \right)+x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}は、$2$ つの円の交点を通る円または直線を表す。
この式は２つの円の交点を通る円や直線を表しますが、どのようにして得られたのかピンとこない人もいるでしょう。
そこで、２つの円の交点の座標を考えます。交点の座標を求めるには、２つの円の方程式を連立して解きます。この連立方程式から上述の式を導出することができます。
２つの円の交点を通る円や直線の導出
異なる $2$ 点 $P \ , \ Q$ で交わる $2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}に対し、$2$ 点 $P \ , \ Q$ の座標は連立方程式
\begin{align*} \left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \ \cdots \ \text{②} \end{array} \right. \end{align*}の解である。ここで、$k$ を定数とすると、①$\times k+$②より
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1} \right)+x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}つまり、連立方程式のように別々に記述していたものから、１つの式にまとめたものだと解釈できます。１つにまとめてしまいましたが、交点の座標を代入すると等式が成り立つので全く問題ありません。
また、上式では、カッコの中の式は(※)式の左辺ですが、他方の左辺でも問題ありません。たとえば、以下の２つの式で考えてみましょう。
２つの円の交点を通る円や直線の例 1⃣
異なる $2$ 点 $P \ , \ Q$ で交わる $2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-4=0 \end{align*}に対し、$k$ を定数とすると、方程式
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}+6x-4y+4 \right)+x^{2}+y^{2}-4=0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}または
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}-4 \right)+x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \ \cdots \ \text{④} \end{align*}は、$2$ つの円の交点を通る円または直線を表す。
例のように、２つの円の交点を通る円や直線の表し方は２通りあります。③式と④式のどちらを採用するかは、それぞれ展開したときを考えると分かります。
カッコのある項を展開したとき、定数ｋが５つの項に掛けられる③式よりも、３つの項に掛けられる④式の方が扱いやすいでしょう。
カッコの中の式は、できるだけ項の少ない方にしよう。
上式は２つの円の交点を通る円や直線を表しますが、円の方程式だけを知りたい場合が出てくるでしょう。逆に、直線の方程式を知りたい場合もあるでしょう。そこでポイントになるのが、定数ｋの値です。
２つの円の交点を通る円や直線 2⃣
異なる $2$ 点 $P \ , \ Q$ で交わる $2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0 \ \cdots \ \text{(※)} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}に対し、$k$ を定数とすると、方程式
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}+l_{1}x+m_{1}y+n_{1} \right)+x^{2}+y^{2}+l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0 \end{align*}は、$2$ つの円の交点を通る円または直線を表す。特に
$\quad k \neq -1$ のとき、$2$ つの交点 $P \ , \ Q$ を通る円（(※)を除くすべての円）
$\quad k = -1$ のとき、$2$ つの交点 $P \ , \ Q$ を通る直線
ｋの値が－１以外であれば、(※)式以外の円を表すことができます。ただし、２つの円のうち、(※)式の円を表すことはできません。
また、ｋ＝０のときであれば、他方の円を表すことができるので注意しましょう。
２つの円の交点を通る円や直線の例 2⃣
異なる $2$ 点 $P \ , \ Q$ で交わる $2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-4=0 \end{align*}に対し、$k$ を定数とすると、方程式
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}-4 \right)+x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \end{align*}は、$2$ つの円の交点を通る円または直線を表す。
ここで、$k=0$ を代入すると
\begin{align*} \quad 0 \times \left(x^{2}+y^{2}-4 \right)+x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \end{align*}これはもとの $2$ つの円のうちの $1$ つである。
また、$k=-1$ を代入すると
\begin{align*} \quad -1 \times \left(x^{2}+y^{2}-4 \right)+x^{2}+y^{2}+6x-4y+4=0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad 6x-4y+8=0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad 3x-2y+4=0 \end{align*}これは $2$ つの円の交点を通る直線を表す。
ｋ≠－１であるのは、円の方程式がｘ，ｙの２次の項をそれぞれもつからです。
また、２つの円の交点を通る直線は１次式なので、これを満たすのはｋ＝－１のときだけです。
ｋ≠－１であれば円の方程式、ｋ＝－１であれば直線の方程式を表す。
２つの曲線の交点を通る曲線
２つの円の交点を通る円や直線を表す式を一般化すると、以下のように表されます。
２つの曲線の交点を通る曲線
$2$ つの曲線
\begin{align*} &f \left(x \ , \ y \right)=0 \\[ 7pt ] &g \left(x \ , \ y \right)=0 \end{align*}に対し、$k$ を定数とすると、方程式
\begin{align*} \quad k f \left(x \ , \ y \right)+g \left(x \ , \ y \right)=0 \end{align*}は、$2$ つの曲線の交点を通る曲線を表す。
ｆ(ｘ，ｙ)＝０やｇ(ｘ，ｙ)＝０は、ｘ，ｙを変数にもつ方程式を表します。ここで扱う円や直線の方程式の左辺を想像すると良いでしょう。
次は例題を解きながら、２つの円の交点を通る円や直線を求めてみましょう。
２つの円の交点を通る円や直線を調べてみよう
次の例題を解いてみましょう。
例題
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}について
$(1) \quad 2$ つの円は、異なる $2$ 点で交わることを示せ。
$(2) \quad 2$ つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。
$(3) \quad 2$ つの円の交点と点 $(0 \ , \ 3)$ を通る円の中心と半径を求めよ。
例題(1)の解答・解説
例題(1)
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}について
$\quad 2$ つの円は、異なる $2$ 点で交わることを示せ。
例題を解く前に作図しておきましょう。
交点の位置や円の中心・半径などをおおまかに予想することができます。
作図から、２つの円が異なる２点で交っていることが分かります。
例題(1)は、２つの円が異なる２点で交わることを示す問題です。一般に、連立方程式を解けば、交点の座標を求めることができます。
「交点の座標を求めよ」とは指示されていませんが、交点の座標を２組求めることができれば何とかなりそうです。
ここで厄介なことがあります。扱う２つの方程式が円の方程式であるということです。この場合、連立方程式を解く方法では上手くいきそうにありません。
そこで思い出したいのが、２つの円の位置関係です。
２つの円の位置関係
半径がそれぞれ $r \ , \ r’$ である円の中心間の距離を $d$ とすると
$(1) \ 2$ つの円が外接する
\begin{align*} \quad d=r+r’ \end{align*}$(2) \ 2$ つの円が内接するか、一致する場合
\begin{align*} \quad d=\left| r-r’ \right| \end{align*}$(1) \ , \ (2)$ を合わせて、$2$ つの円が共有点をもつ場合
\begin{align*} \quad \left| r-r’ \right| \leqq d \leqq r+r’ \end{align*}例題(１)では異なる２点で交わるときを考えるので、外接するときと内接するときを除きます。つまり、等号のない不等式が成り立てば良いということです。
２つの円の位置関係
半径がそれぞれ $r \ , \ r’$ である円の中心間の距離を $d$ とすると
$2$ つの円が異なる $2$ つの共有点をもつ場合
\begin{align*} \quad \left| r-r’ \right| \lt d \lt r+r’ \end{align*}が成り立つ。
これを踏まえて例題(1)を解きます。
例題(1)の解答例
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}円①の半径は $\sqrt{5}$、②の半径は $2$ である。
また、円①の中心は $(0 \ , \ 0)$、円②の中心は $(1 \ , \ 2)$ である。
中心間の距離を $d$ とすると
\begin{align*} \quad d=\sqrt{1^{2} + 2^{2}}=\sqrt{5} \end{align*}であるので
\begin{align*} \quad \left| \sqrt{5}-2 \right| \lt d \lt \sqrt{5}+2 \end{align*}が成り立つ。
よって、$2$ 円①，②は異なる $2$ 点で交わる。
連立方程式を解くよりも容易に証明することができました。性質を上手に利用できるようにしましょう。
例題(2)の解答・解説
例題(2)
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}について
$\quad 2$ つの円の交点を通る直線の方程式を求めよ。
例題(2)は、２つの円の交点を通る直線を求める問題です。
作図すると、２つの円の交点を通る直線を予想できます。
作図によれば、傾きが負の直線になりそうです。
定数ｋを用いて、２つの方程式を１つにまとめます。
例題(2)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}$k$ を定数とすると、①，②から
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③は $2$ つの円①，②の交点を通る円、または直線を表す。
２つの円の交点を通る円や直線を表す③式を導出することができました。カッコの中の式は②式でも構いませんが、後々のことを考えると①式の方が良いでしょう。
ここで注意したいのは、①，②式の右辺を０にしてから③式を導出するということです。
例題(2)のよくある間違い
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}$k$ を定数とすると、①，②から
\begin{align*} \quad k \left( \underline{x^{2}+y^{2}} \right)+\underline{\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}} = 0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③に $2$ つの円①，②の交点座標を代入しても等式は成り立たないので不適。
正しくは①，②式の右辺を $0$ にした式を使う。
①より
\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}-5 = \underline{0} \end{align*}②より
\begin{align*} \quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4= \underline{0} \end{align*}$k$ を定数とすると
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \end{align*}例題のように①，②式の右辺が０であることを確認してから１つにまとめましょう。
この単元の解法はワンパターンで簡単なこともあり、このような引っ掛け問題であるのが特徴です。ここで間違えることが非常に多いので注意しましょう。
１つにまとめるのは、円の方程式の右辺を０にしてから。
２つの円の交点を通る直線は、③式においてＫ＝－１のときの方程式です。③式にＫ＝－１を代入して整理します。
例題(2)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③に $k=-1$ を代入すると
\begin{align*} \quad – \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \end{align*}これを整理すると
\begin{align*} &\quad 5-2x+1-4y+4-4 = 0 \\[ 7pt ] &\quad -2x-4y+6 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x+2y-3= 0 \end{align*}これは $x \ , \ y$ の $1$ 次式であるので直線を表す。
よって、求める直線の方程式は
\begin{align*} \quad x+2y-3= 0 \end{align*}ｋ＝－１を代入するのは、ｘ，ｙの２次の項を消去するためです。ですから、式を整理するとき、ｘ，ｙの２次の項を記述していません。
予想通りに傾きが負となるような方程式が得られました。作図しておくと検算にも役立ちます。
例題(3)の解答・解説
例題(3)
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}について
$\quad 2$ つの円の交点と点 $(0 \ , \ 3)$ を通る円の中心と半径を求めよ。
例題(3)は、２つの円の交点を通る円の方程式を求める問題です。
例題(2)の③式において、ｋ≠－１であれば、２つの円の交点を通る円になります。
しかし、点(０，３)を通る円かどうかは分かりません。
点(０，３)を通る円となるために、ｋの値を適切に決める必要があります。
例題(2)の③式は、２つの円の交点の座標を代入すると等式が成り立つ方程式です。ですから、あとは点(０，３)を③式に代入しても等式が成り立つことを考えます。
③式に点(０，３)を代入して、ｋについての方程式を導出します。
例題(3)の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \ \cdots \ \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \end{align*}③が点 $(0 \ , \ 3)$ を通る円であるためには、③に $x=0 \ , \ y=3$ を代入したときに等式が成り立てばよい。
よって
\begin{align*} \quad k \left(0^{2}+3^{2}-5 \right)+\left(0-1 \right)^{2}+\left(3-2 \right)^{2}-4 = 0 \end{align*}これを整理すると
\begin{align*} \quad 4k+1+1-4 &= 0 \\[ 7pt ] k &= \frac{1}{2} \end{align*}ｋの値を得ることができました。これが２つの円の交点だけでなく、点(０，３)も通るときのｋの値です。
円の中心と半径を求めるために、求めたｋの値を③式に代入します。
例題(3)の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \ \cdots \ \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k= \frac{1}{2} \end{align*}これを③に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad \frac{1}{2} \left(x^{2}+y^{2}-5 \right)+\left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}-4 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-5+2 \left(x-1 \right)^{2}+2 \left(y-2 \right)^{2}-8 = 0 \\[ 7pt ] &\quad 3x^{2}-4x+3y^{2}-8y-5+2+8-8 = 0 \\[ 7pt ] &\quad 3x^{2}-4x+3y^{2}-8y-3 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}-\frac{4}{3}x+y^{2}-\frac{8}{3}y-1 = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{2}{3} \right)^{2}+\left(y-\frac{4}{3} \right)^{2}-\frac{4}{9}-\frac{16}{9}-1 = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{2}{3} \right)^{2}+\left(y-\frac{4}{3} \right)^{2}-\frac{29}{9} = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{2}{3} \right)^{2}+\left(y-\frac{4}{3} \right)^{2} = \frac{29}{9} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{2}{3} \right)^{2}+\left(y-\frac{4}{3} \right)^{2} = \left(\frac{\sqrt{29}}{3} \right)^{2} \end{align*}よって、求める円の中心は
\begin{align*} \quad \left(\frac{2}{3} \ , \ \frac{4}{3} \right) \end{align*}また、円の半径は
\begin{align*} \quad \frac{\sqrt{29}}{3} \end{align*}ｋの値が分数だったので、少し丁寧に式変形しています。
ここでは、平方完成をする前に２次の項の係数を１にしています。３でくくるよりも、両辺を３で割った方が計算ミスをしにくいだろうと考えたからです。
そのせいで式変形がやや煩雑になっています。そうは言っても、入試では分数を必ず扱うので、式変形に慣れておきましょう。
２つの円の交点の座標を求めるには
余談になりますが、２つの円の交点の座標を求めることを考えてみましょう。
例題(1)の解説で、２つの円の方程式を連立して解くことは難しい（できないと考えて良い）と述べました。このような場合、２つの円の方程式を連立するのではなく、円と直線の方程式を連立します。
２つの円の交点を通る直線の方程式を求めるには、例題(2)の解法を利用します。
例題(2)の解法を用いて、２つの円の交点を通る直線の方程式を求めたら、これとどちらか一方の円の方程式を連立します。ここでは、円①の方程式と連立した方が良いでしょう。
２つの円の交点を通る直線を求める
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=5 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{2}+\left(y-2 \right)^{2}=4 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}円①，②の交点を通る直線の方程式は、$(2)$ より
\begin{align*} \quad x+2y-3=0 \end{align*}$x$ について整理すると
\begin{align*} \quad x=-2y+3 \end{align*}これと①より
\begin{align*} \quad \left(-2y+3 \right)^{2}+y^{2}=5 \end{align*}これを整理すると
\begin{align*} &\quad 5y^{2}-12y+9=5 \\[ 7pt ] &\quad 5y^{2}-12y+4=0 \\[ 7pt ] &\quad 5y^{2}-2 \cdot 6y+4=0 \end{align*}解の公式より
\begin{align*} \quad y &=\frac{-\left(-6 \right) \pm \sqrt{\left(-6 \right)^{2}-5 \cdot 4}}{5} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \pm \sqrt{16}}{5} \\[ 7pt ] &= \frac{6 \pm 4}{5} \\[ 7pt ] &= \frac{2}{5} \ , \ 2 \end{align*}$y=\frac{2}{5}$ のとき
\begin{align*} \quad x &= -2 \cdot \frac{2}{5}+3 \\[ 7pt ] &= -\frac{4}{5}+3 \\[ 7pt ] &= \frac{11}{5} \end{align*}$y=2$ のとき
\begin{align*} \quad x &= -2 \cdot 2+3 \\[ 7pt ] &= -4+3 \\[ 7pt ] &= -1 \end{align*}よって、$2$ つの円の交点の座標は
\begin{align*} \quad \left(\frac{11}{5} \ , \ \frac{2}{5} \right) \ , \ \left(-1 \ , \ 2 \right) \end{align*}直線の方程式を変形するとき、ｙについて変形してから①式に代入しても構いません。
ただし、係数が分数になってしまうので良い解法とは言えません。
なお、分数が出てくると何だか不安になりますが、図で確認してみると良いでしょう。
それほどおかしな座標ではないようです。
次は、２つの円の交点を通る円や直線を扱った問題を実際に解いてみましょう。