図形と方程式|円の方程式の一般形と図形について

数学2

図形と方程式 円、円と直線、2つの円

今回は、円の方程式の一般形と図形の関係について学習しましょう。円の方程式の基本形を展開したものが一般形です。この一般形が表す図形について出題されることがあります。

一般に、基本形よりも一般形が与えられる場合が多いので、基本形への変形に慣れておきましょう。

円の方程式の基本形と一般形

円の方程式の基本形

円の方程式は、円という図形の性質から導かれます。円は、ある1点からの距離がつねに一定となる点の集まりです。このある1点が円の中心です。

円の定義
円の定義

円の方程式(基本形)

中心が $(a \ , \ b)$ で、半径が $r$ の円の方程式
\begin{equation*} \quad \left(x-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y-b \right)^{\scriptsize{2}}=r^{\scriptsize{2}} \end{equation*}

基本形の導出については、前回の記事(図形と方程式|円の方程式の基本形と一般形について)で解説済みなので、ここでは省略します。特に、原点が中心の場合、基本形は以下のようになります。

円の中心が原点の場合

円の方程式
\begin{equation*} \quad \left(x-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y-b \right)^{\scriptsize{2}}=r^{\scriptsize{2}} \end{equation*}
において、$a=0 \ , \ b=0$ であるから
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}=r^{\scriptsize{2}} \end{equation*}

円の方程式の一般形

円の方程式の基本形を展開したものが一般形です。

円の方程式(一般形)

円の方程式の一般形は
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+lx+my+n=0 \end{equation*}

一般形から基本形への変形の過程は以下のようになります。

一般形から基本形への変形

円の方程式を
\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+lx+my+n=0 \end{equation*}
とする。
$x \ , \ y$ について平方完成すると
\begin{equation*} \quad \left(x+\frac{l}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-\frac{l^{\scriptsize{2}}}{4}+\left(y+\frac{m}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-\frac{m^{\scriptsize{2}}}{4}+n=0 \end{equation*}
整理すると
\begin{equation*} \quad \left(x+\frac{l}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+\frac{m}{2} \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}{4} \end{equation*}

一般形から基本形に変形すると、方程式が円を表すための条件が分かります。

一般形から基本形に変形して分かること

\begin{equation*} \quad \left(x+\frac{l}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+\frac{m}{2} \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}{4} \end{equation*}
$l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n \gt 0$ のとき
\begin{equation*} \quad \text{中心} \ \left(-\frac{l}{2} \ , \ -\frac{m}{2} \right) \ , \ \text{半径} \ \frac{\sqrt{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}}{2} \end{equation*}
$l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n = 0$ のとき
\begin{equation*} \quad \text{円は点} \ \left(-\frac{l}{2} \ , \ -\frac{m}{2} \right) \ \text{を表す} \end{equation*}
$l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n \lt 0$ のとき
\begin{equation*} \quad \text{表す図形はない} \end{equation*}

方程式が円を表すには、上の①の場合でなければなりません。

一般形が円を表すための条件

\begin{align*} &\text{方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+lx+my+n=0 \\[ 5pt ] &\text{が円の方程式となるには} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+\frac{l}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+\frac{m}{2} \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}{4} \\[ 5pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n \gt 0 \\[ 5pt ] &\text{を満たせばよい。} \\[ 5pt ] &\text{このとき} \\[ 5pt ] &\quad \text{中心} \ \left(-\frac{l}{2} \ , \ -\frac{m}{2} \right) \\[ 5pt ] &\quad \text{半径} \ \frac{\sqrt{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}}{2} \\[ 5pt ] &\text{の円を表す。} \end{align*}

一般形から基本形に変形できることを優先しましょう。変形できるようになったら、上述の条件を用いて基本形を導くと良いでしょう。

一般形を変形してみよう

一般形で与えられた方程式を変形し、その方程式の表す図形を考えてみましょう。

例題

(1) 方程式 $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+9=0$ はどんな図形を表すか。
(2) 方程式 $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+2px+3py+13=0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

一般形から基本形への変形では平方完成を利用しましょう。

例題(1)の解答・解説

例題(1)

方程式 $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+9=0$ はどんな図形を表すか。

例題(1)の方程式には、文字x,yについて2次の項がそれぞれあります。これらから円の方程式だろうと推測できます。推測通りなのかを実際に変形して確かめましょう。

例題(1)の解答例

\begin{align*} &\text{与式より} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+9=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x^{\scriptsize{2}}+6x+9 \right)-9+\left( y^{\scriptsize{2}}-8y+16 \right)-16+9=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x+3 \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y-4 \right)^{\scriptsize{2}}=16 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \text{中心} \ (-3 \ , \ 4 ) \\[ 5pt ] &\quad \text{半径} \ 4 \\[ 5pt ] &\text{の円を表す。} \end{align*}

方程式が円を表すときの条件から求めることもできます。この解法は、マーク形式の問題で効果的です。

方程式が円を表すための条件

\begin{align*} &\text{方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+lx+my+n=0 \\[ 5pt ] &\text{が} \\[ 5pt ] &\quad l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n \gt 0 \\[ 5pt ] &\text{を満たすとき} \\[ 5pt ] &\quad \text{中心} \ \left(-\frac{l}{2} \ , \ -\frac{m}{2} \right) \\[ 5pt ] &\quad \text{半径} \ \frac{\sqrt{l^{\scriptsize{2}}+m^{\scriptsize{2}}-4n}}{2} \\[ 5pt ] &\text{の円を表す。} \end{align*}

これを用いて例題(1)を解いてみましょう。

例題(1)の別解例

\begin{align*} &\text{与式より} \\[ 5pt ] &\quad 6^{\scriptsize{2}}+\bigl( -8 \bigr)^{\scriptsize{2}}-4 \cdot 9 \\[ 5pt ] &=36+64-36 \\[ 5pt ] &=64 > 0 \\[ 5pt ] &\text{より、方程式は円を表す。} \\[ 5pt ] &\text{このとき、中心の座標は} \\[ 5pt ] &\quad -\frac{6}{2}=-3 \\[ 5pt ] &\quad -\frac{-8}{2}=4 \\[ 5pt ] &\text{また、半径は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{\sqrt{64}}{2}=4 \\[ 5pt ] &\text{よって、方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \text{中心} \ (-3 \ , \ 4 ) \\[ 5pt ] &\quad \text{半径} \ 4 \\[ 5pt ] &\text{の円を表す。} \end{align*}

記述形式では、基本形への変形を示した方が良いでしょう。別解の解法は検算に利用しましょう。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

方程式 $x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+2px+3py+13=0$ が円を表すとき、定数 $p$ の値の範囲を求めよ。

例題(2)では、与えられた方程式の係数の一部に文字pが含まれています。係数が決まらないので、方程式が円を表すとは言い切れません。そこで例題(2)では、方程式が円を表すためのpの条件を求めよ、という問題になっています。

このような問題であっても、基本形に変形してから考えます。係数に文字pが含まれるので、変形ミスに気を付けましょう。

例題(2)の解答例

\begin{align*} &\text{与式より} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+2px+3py+13=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x^{\scriptsize{2}}+2px+p^{\scriptsize{2}} \right)-p^{\scriptsize{2}}+\left\{ y^{\scriptsize{2}}+3py+\left( \frac{3}{2} p \right)^{\scriptsize{2}} \right\}-\left( \frac{3}{2} p \right)^{\scriptsize{2}}+13=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x+p \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y+\frac{3}{2} p \right)^{\scriptsize{2}}=p^{\scriptsize{2}}+\left( \frac{3}{2} p \right)^{\scriptsize{2}}-13 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left( x+p \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y+\frac{3}{2} p \right)^{\scriptsize{2}}=\frac{13}{4} p^{\scriptsize{2}}-13 \\[ 5pt ] &\text{この方程式が円をみたすための条件は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{13}{4} p^{\scriptsize{2}}-13 \gt 0 \\[ 5pt ] &\text{これを整理して解くと} \\[ 5pt ] &\quad p^{\scriptsize{2}}-4 \gt 0 \\[ 5pt ] &\quad \left(p+2 \right) \left(p-2 \right) \gt 0 \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad p \lt -2 \ , \ 2 \lt p \end{align*}

入試レベルの場合、係数に文字が含まれることの方が多いです。ですから、このくらいの変形には充分に慣れておきましょう。

方程式が表す図形は円とは限らない

方程式が表す図形は、例題のように円だけとは限りません。円になるだろうと予想できますが、確認してみないと分かりません。

方程式が表す図形の例1

\begin{align*} &\text{方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+25=0 \\[ 5pt ] &\text{が表す図形} \end{align*}

例題(1)の方程式に似ていますが、定数項が異なります。例題のときと同じように、基本形に変形します。

方程式が表す図形の例1

\begin{align*} &\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+25=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x^{\scriptsize{2}}+6x+9 \right)-9+\left( y^{\scriptsize{2}}-8y+16 \right)-16+25=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x+3 \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y-4 \right)^{\scriptsize{2}}=0 \end{align*}

右辺が0になってしまいました。文字x,yは実数なので、実数の性質を利用して解きます。

方程式が表す図形の例1

\begin{align*} &\quad \left( x+3 \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y-4 \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 5pt ] &\text{これを満たす実数 $x \ , \ y$ は} \\[ 5pt ] &\quad x=-3 \ , \ y=4 \\[ 5pt ] &\text{だけである。} \\[ 5pt ] &\text{よって、方程式が表す図形は} \\[ 5pt ] &\quad \text{点} \ ( -3 \ , \ 4 ) \end{align*}

ちなみに、実数の性質は以下の通りです。

実数の性質

\begin{align*} &\text{A,Bが実数のとき} \\[ 5pt ] &\quad A^{\scriptsize{2}}+B^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 5pt ] &\text{また、等号は} \\[ 5pt ] &\quad A=B=0 \\[ 5pt ] &\text{のときに限り成り立つ。} \end{align*}

方程式が円ではなく、1点を表す例でした。次を考えてみましょう。

方程式が表す図形の例2

\begin{align*} &\text{方程式} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+30=0 \\[ 5pt ] &\text{が表す図形} \end{align*}

同様にして、基本形に変形します。

方程式が表す図形の例2

\begin{align*} &\text{与式を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}}+6x-8y+30=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x^{\scriptsize{2}}+6x+9 \right)-9+\left( y^{\scriptsize{2}}-8y+16 \right)-16+30=0 \\[ 5pt ] &\quad \left( x+3 \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y-4 \right)^{\scriptsize{2}}=-5 \end{align*}

右辺を見ると、負の数になっています。これを考慮すると以下のようになります。

方程式が表す図形の例2

\begin{align*} &\quad \left( x+3 \right)^{\scriptsize{2}}+\left( y-4 \right)^{\scriptsize{2}}=-5 \\[ 5pt ] &\text{これを満たす実数 $x \ , \ y$ は存在しない。} \\[ 5pt ] &\text{よって、方程式が表す図形はない。} \end{align*}

2つの例のように、円を表さない方程式もあるので注意しましょう。

次は、円の方程式の基本形と一般形を扱った問題を実際に解いてみましょう。