図形と方程式｜２つの円の交点を通る円や直線について
２つの円の交点を通る円や直線を扱った問題を実際に解いてみよう
問
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \end{align*}の $2$ つの交点の座標を求めよ。また、$2$ つの交点と原点を通る円の中心と半径を求めよ。
問は、小問形式ではありませんが、「２つの円の交点の座標を求める問題」と「２つの交点と原点を通る円の中心と半径を求める問題」の２問からなる構成になっています。
ここでは、「２つの円の交点の座標を求める問題」を問前半とし、「２つの交点と原点を通る円の中心と半径を求める問題」を問後半とします。
問前半の解答・解説
問前半
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \end{align*}の $2$ つの交点の座標を求めよ。
問を解く前に作図しておきます。
与えられた円の方程式の一方は、平方完成しないと中心や半径を知ることができません。必要に応じて式変形しましょう。
２つの円の位置関係や交点の大まかな位置を把握しておきましょう。
２つの円の交点の座標を求めるには、２つの円の交点を通る直線の方程式を準備する必要があります。
定数ｋを用いて、２つの方程式を１つにまとめます。
問前半の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}$k$ を定数とすると、①，②から
\begin{align*} \quad k \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③は $2$ つの円①，②の交点を通る円、または直線を表す。
２つの円の交点を通る直線は、③式においてＫ＝－１のときの方程式です。③式にＫ＝－１を代入して整理します。
問前半の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③に $k=-1$ を代入すると
\begin{align*} \quad – \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \end{align*}これを整理すると
\begin{align*} &\quad 10-2x+6y+2 = 0 \\[ 7pt ] &\quad -2x+6y+12 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x-3y-6= 0 \\[ 7pt ] &\quad x = 3y+6 \ \cdots \ \text{④} \end{align*}これは $x \ , \ y$ の $1$ 次式であるので直線を表す。
円の方程式に代入しやすいように、直線の方程式を④式のように変形しておきましょう。
円と直線の方程式を連立して解きます。
問前半の解答例 3⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \ \cdots \ \text{②} \end{align*} \begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \ \cdots \ \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &x = 3y+6 \ \cdots \ \text{④} \end{align*}④を①に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad \left(3y+6 \right)^{2}+y^{2}=10 \\[ 7pt ] &\quad 10y^{2}+36y+36 = 10 \\[ 7pt ] &\quad 10y^{2}+36y+26 = 0 \\[ 7pt ] &\quad 5y^{2}+18y+13 = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(y+1 \right) \left(5y+13 \right) = 0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad y = -\frac{13}{5} \ , \ -1 \end{align*}$y=-\frac{13}{5}$ を④に代入すると
\begin{align*} \quad x &= 3 \cdot \left(-\frac{13}{5} \right)+6 \\[ 7pt ] &= -\frac{39}{5}+6 \\[ 7pt ] &= -\frac{9}{5} \end{align*}$y=-1$ を④に代入すると
\begin{align*} \quad x &= 3 \cdot \left(-1 \right)+6 \\[ 7pt ] &= -3+6 \\[ 7pt ] &= 3 \end{align*}よって、求める交点の座標は
\begin{align*} \quad \left(-\frac{9}{5} \ , \ -\frac{13}{5} \right) \ , \ \left(3 \ , \ -1 \right) \end{align*}例題の解法に合わせて解きましたが、Ｋ＝－１を代入する代わりに②式から①式を引き算して解いても構いません。
問前半の別解例
問前半の別解例
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \ \cdots \ \text{②} \end{align*}②－①より
\begin{align*} &\quad -2x+6y+2 = -10 \\[ 7pt ] &\quad -2x+6y+12 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x-3y-6 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x = 3y+6 \ \cdots \ \text{③} \end{align*}③を①に代入して解くと
\begin{align*} &\quad \left(3y+6 \right)^{2}+y^{2}=10 \\[ 7pt ] &\quad 10y^{2}+36y+36 = 10 \\[ 7pt ] &\quad 10y^{2}+36y+26 = 0 \\[ 7pt ] &\quad 5y^{2}+18y+13 = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(y+1 \right) \left(5y+13 \right) = 0 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad y = -\frac{13}{5} \ , \ -1 \end{align*}$y=-\frac{13}{5}$ を③に代入すると
\begin{align*} \quad x &= 3 \cdot \left(-\frac{13}{5} \right)+6 \\[ 7pt ] &= -\frac{39}{5}+6 \\[ 7pt ] &= -\frac{9}{5} \end{align*}$y=-1$ を③に代入すると
\begin{align*} \quad x &= 3 \cdot \left(-1 \right)+6 \\[ 7pt ] &= -3+6 \\[ 7pt ] &= 3 \end{align*}よって、求める交点の座標は
\begin{align*} \quad \left(-\frac{9}{5} \ , \ -\frac{13}{5} \right) \ , \ \left(3 \ , \ -1 \right) \end{align*}２つの円の交点の座標を求める問題であれば、別解例の解法で構いません。
ただ、問後半のことを考えると、模範解答例のように、２つの円の交点を通る円や直線を表す式を導出しておいた方が良いでしょう。
問後半の解答・解説
問後半
$2$ つの円
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \end{align*}また、$2$ つの交点と原点を通る円の中心と半径を求めよ。
２つの円の交点の他に、原点も通る円は図のようになります。
求める円の中心や半径を大まかに予想できます。
中心の座標は、ｘ座標が正で、ｙ座標が負になりそうです。
また、半径は、与えられた円の半径とそれほど変わらないようです。
問前半で導出した③式に原点の座標を代入して、ｋについての方程式を導出します。
問後半の解答例 1⃣
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}=10 \ \cdots \ \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-2x+6y+2=0 \ \cdots \ \text{②} \end{align*} \begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \ \cdots \ \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \end{align*}③が原点を通る円であるためには、③に $x=0 \ , \ y=0$ を代入したときに等式が成り立てばよい。
よって
\begin{align*} &\quad k \left(0^{2}+0^{2}-10 \right)+0^{2}+0^{2}-2 \cdot 0+6 \cdot 0+2 = 0 \\[ 7pt ] &\quad -10k+2 = 0 \\[ 7pt ] &\quad k = \frac{1}{5} \end{align*}ｋの値が決まったので、これを③式に代入します。
問後半の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \ \cdots \ \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &k = \frac{1}{5} \end{align*}これを③に代入すると
\begin{align*} &\quad \frac{1}{5} \left(x^{2}+y^{2}-10 \right)+x^{2}+y^{2}-2x+6y+2 = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}+y^{2}-10+5x^{2}+5y^{2}-10x+30y+10 = 0 \\[ 7pt ] &\quad 6x^{2}-10x+6y^{2}+30y = 0 \\[ 7pt ] &\quad x^{2}-\frac{5}{3}x+y^{2}+5y = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2} \right)^{2}-\frac{25}{36}-\frac{25}{4} = 0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2} \right)^{2} = \frac{250}{36} \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2} \right)^{2} = \left(\frac{5\sqrt{10}}{6} \right)^{2} \end{align*}よって、求める円の中心は
\begin{align*} \quad \left(\frac{5}{6} \ , \ -\frac{5}{2} \right) \end{align*}また、円の半径は
\begin{align*} \quad \frac{5\sqrt{10}}{6} \end{align*}解法としてはそれほど難しくありませんが、計算ミスを誘うような値が出てくる問題が多く出題されます。計算ミスのないように気を付けましょう。
なお、円の方程式を求めるとき、２つの円の交点と原点の３点の座標がすでに分かっています。このことを利用すれば、一般形を用いた解法でも解くことができます。
問後半の別解例
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] \quad &\left(-\frac{9}{5} \ , \ -\frac{13}{5} \right) \ , \ \left(3 \ , \ -1 \right) \end{align*}求める円の方程式を
\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0 \ \cdots \ \text{⑤} \end{align*}とおくと、円⑤は円①，②の交点と原点を通る。
⑤に $x=0 \ , \ y=0$ を代入すると
\begin{align*} &\quad 0^{2}+0^{2}+l \cdot 0+m \cdot 0+n=0 \\[ 7pt ] &\quad n=0 \ \cdots \ \text{⑥} \end{align*}⑥より⑤は
\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}+lx+my=0 \ \cdots \ \text{⑤’} \end{align*}⑤’に $x=-\frac{9}{5} \ , \ y=-\frac{13}{5}$ を代入すると
\begin{align*} &\quad \left(-\frac{9}{5} \right)^{2}+\left(-\frac{13}{5} \right)^{2}+l \cdot \left(-\frac{9}{5} \right)+m \cdot \left(-\frac{13}{5} \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad \frac{81}{25}+\frac{169}{25} -\frac{9}{5} l-\frac{13}{5} m=0 \\[ 7pt ] &\quad 10 -\frac{9}{5} l-\frac{13}{5} m=0 \\[ 7pt ] &\quad 9l+13m-50=0 \ \cdots \ \text{⑦} \end{align*}⑤’に $x=3 \ , \ y=-1$ を代入すると
\begin{align*} &\quad 3^{2}+\left(-1 \right)^{2}+l \cdot 3+m \cdot \left(-1 \right)=0 \\[ 7pt ] &\quad 9+1+3l-m=0 \\[ 7pt ] &\quad 3l-m+10=0 \ \cdots \ \text{⑧} \end{align*}⑦＋⑧×$13$
\begin{align*} &\quad 48l+80=0 \\[ 7pt ] &\quad l=-\frac{5}{3} \end{align*}これを⑧に代入すると
\begin{align*} &\quad 3 \cdot \left(-\frac{5}{3} \right)-m+10=0 \\[ 7pt ] &\quad -5-m+10=0 \\[ 7pt ] &\quad m=5 \end{align*}よって
\begin{align*} \quad l=-\frac{5}{3} \ , \ m=5 \end{align*}これらを⑤’に代入して整理すると
\begin{align*} &\quad x^{2}+y^{2}-\frac{5}{3}x+5y=0 \\[ 7pt ] &\quad \left(x-\frac{5}{6} \right)^{2}+\left(y+\frac{5}{2} \right)^{2} = \left(\frac{5\sqrt{10}}{6} \right)^{2} \end{align*}よって、求める円の中心は
\begin{align*} \quad \left(\frac{5}{6} \ , \ -\frac{5}{2} \right) \end{align*}また、円の半径は
\begin{align*} \quad \frac{5\sqrt{10}}{6} \end{align*}一般に、３点の座標を一般形に代入する解法では計算が煩雑になります。計算ミスを考慮すれば、上述の解法の方が無難でしょう。
別解例では利用していませんが、原点を通る円の一般形は以下のように表せます。これを利用すれば、３つの方程式を連立せずに済むので、もう少しすっきりした記述にすることができます。
原点を通る円の一般形
円が原点を通るとき、その一般形は
\begin{align*} \quad x^{2}+y^{2}+lx+my=0 \end{align*}と表せる。
【確認】一般形に $x=0 \ , \ y=0$ を代入すると
\begin{align*} &\quad 0^{2}+0^{2}+l \cdot 0+m \cdot 0+n=0 \\[ 7pt ] &\quad n=0 \end{align*}Recommended books
紹介するのは、高校数学の授業についていけずに焦っている人向けの教材です。授業についていけない原因は色々と考えられますが、その中でも中学で学習した内容を理解していないことが大半を占めているかもしれません。
高校１年生の場合、数学の内容はほとんどが中学の応用みたいなものです。ですから、予習が進まない、授業についていけない、などがあれば、中学の学習内容を確認することをお勧めします。確認すれば分かりますが、意外と理解していなかったことに気付くはずです。
高校２，３年生にとっては、今さら中学の復習なんかやってられないと思うかもしれません。しかし、理解できない箇所が出てくれば、嫌でも前の単元に戻らなければなりません。そうやって単元をさかのぼっていくと、結局、中学内容に行き着くことも少なくありません。
特に、苦手科目については効果的だと思います。高校での学習に行き詰っている人は、変なこだわりを捨てて、中学内容まで戻ってみると良いでしょう。案外、もっと早く取り組んでいれば良かったと思うかもしれません。
オススメ－『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズ
学習内容の理解の深度を知るには、問題を解くことが一番分かりやすいです。レベル別に問題を解けば、理解度をより詳細に知ることができるでしょう。このことは、中学内容だろうと高校内容だろうと変わりません。
『高校入試「解き方」が身につく問題集』シリーズは、高校入試対策用の問題集になりますが、頻出の問題を扱っているので、重要事項やその使い方を効率良く確認することができます。
高校入試「解き方」が身につく問題集シリーズ
入試レベルなので応用的な問題が多いですが、高校の授業についていくにはそのくらいの理解度が必要です。つまり、高校数学についていけないとすれば、中学数学の応用レベルに達していない箇所が足枷になっている可能性が高いです。
目安としては、高校入試レベルの問題が８割以上解けることを目標にすると良いでしょう。８割取れるようになれば、高校の学習において、多少の躓きはあっても遅れを取ることは少ないでしょう。
「暗記では解けない問題の解き方」を身につける！
★「出題頻度が高い」＆「解き方にコツがある」問題をマスターして得点アップ！
公立高校入試の問題は、難度の幅が広く、暗記で解ける問題と解き方（考え方）が必要な問題があります。一部の問題は演習量よりも、解き方を押さえてから演習したほうが効率的に点数を上げることができます。本書で選んだ問題をマスターすることで、入試の得点アップにつながります。
★徹底的に「解き方」に焦点を当てた解説！
「例題」「解き方チェック問題」「実践問題の解答解説」のすべてで「解き方」のチェックポイントに沿った解説をしています。
数学だけでなく、他の科目もあります。苦手科目だけでも取り組んでみると良いでしょう。
旺文社の公式サイト
ここで紹介する問題集に限りませんが、ページ数の少ない教材を選んで周回しましょう。あまり時間を掛けられないので、短期間で集中的に済ませる方が効率的です。
大事なことは、自分に合った教材を徹底的に活用することです。どの教材を選ぶにしても、自分の目で中身を確認し、納得してから購入することが大切です。
さいごにもう一度まとめ
- ２つの円の交点を通る円や直線は、２つの円の方程式を用いて表すことができる。
- 与えられた円の方程式の右辺が０であることを確認してから１つの式にまとめる。
- 円の方程式ならｋ≠－１のとき、直線の方程式ならｋ＝－１
- ２つの円の交点を通る円の方程式を求めるには、与えられた点の座標からｋの値を決定する。
- 計算が煩雑になりやすいので、計算ミスに気を付ける。