図形の性質|円に内接する四角形について

数学A

数学A 図形の性質

今回は円に内接する四角形について学習しましょう。円に内接する図形では三角形を扱う方が多いですが、高校では四角形も扱うようになります。

また、この単元では証明問題もよく出題されるので、積極的に取り組んで記述の能力を向上させましょう。

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円に内接する四角形

円に内接する四角形は、いくつか性質をもちます。

円に内接する四角形の性質

  • 対角の和は180°である。
  • 1つの内角とその対角の外角は等しい。

また、四角形が円に内接するためには、いくつか条件があります。どちらかを満たせば、四角形は円に内接します。

四角形が円に内接するための条件

  • 対角の和が180°であること。
  • 1つの内角とその対角の外角が等しいこと。

証明問題では、主に四角形が円に内接していることを証明します。このとき、四角形が円に内接するための条件を満たしていることを示します。

また、円周角の定理の逆を利用することもあるので、これまでに学習した内容もしっかりと復習しておくことが大切です。

円に内接する四角形の性質
円に内接する四角形の性質

次は円に内接する四角形の性質を導出してみましょう。

円に内接する四角形の性質を導出しよう

円に内接する四角形の性質を実際に導出してみましょう。自力で導出できるか、力試しにチャレンジしてみましょう。

対角の和は180°であることの証明

図のような点Oを中心とする円に内接する四角形ABCDがあるとします。

点Cを含む弧BDにおいて、∠BADと∠BODは1つの弧に対してできた円周角中心角です。これより、円周角の定理が成り立つので、以下のように表せます。

点Cを含む弧BDに対する∠BADと∠BODの関係

点 $C$ を含む弧 $BD$ において、円周角の定理より

\begin{align*} \quad \angle BOD = 2 \angle BAD \quad \cdots \text{①} \end{align*}
四角形の対角の和を求める図
円に内接する四角形ABCD

また、点Aを含む弧BDにおいても円周角の定理が成り立つので、以下のように表せます。

点Aを含む弧BDに対する∠BCDと∠BODの関係

点 $A$ を含む弧 $BD$ において、円周角の定理より

\begin{align*} \quad \angle BOD = 2 \angle BCD \quad \cdots \text{②} \end{align*}
四角形の対角の和を求める図
円に内接する四角形ABCD

2つの中心角∠BODの和が360°になることを利用します。①,②式から、四角形の対角の関係を導くことができます。

∠BADと∠BCDの関係

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BOD &= 2 \angle BAD \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BOD &= 2 \angle BCD \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad 2 \angle BAD + 2 \angle BCD = 360^{\circ} \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \quad \cdots \text{③} \end{align*}
四角形の対角の和を求める図
円に内接する四角形ABCD

四角形の対角である∠BADと∠BCDの関係は、③式のように表せます。これより、円に内接する四角形の対角の和が180°であることを示すことができました。

円に内接する四角形の対角の和の証明
円に内接する四角形の対角の和について

1つの内角とその対角の外角は等しいことの証明

1つの内角とその対角の外角は等しいことの証明は、円に内接する四角形の対角の和が180°であることを利用します。

図のように、四角形ABCDが円に内接するとき、辺BCの延長線上に点Eをとります。このとき、円に内接する四角形の対角の和を利用します。

円に内接する四角形の対角の和を利用

四角形 $ABCD$ は円に内接するので

\begin{align*} \quad \angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ} \quad \cdots \text{①} \end{align*}
1つの内角はその対角の外角に等しいことを証明する図
円に内接する四角形ABCD

次に、∠DCEが∠BCDの外角であることを利用します。

内角とその外角の関係を利用

また、四角形の内角とその外角の関係から

\begin{align*} \quad \angle BCD + \angle DCE = 180^{\circ} \quad \cdots \text{②} \end{align*}
1つの内角はその対角の外角に等しいことを証明する図
円に内接する四角形ABCD

①,②式から、∠BADと∠BCDの関係を導きます。

∠BADと∠BCDの関係

\begin{align*} &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BAD &+ \angle BCD = 180^{\circ} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\vdots \\[ 7pt ] \quad \angle BCD &+ \angle DCE = 180^{\circ} \quad \cdots \text{②} \end{align*}

①,②より

\begin{align*} \quad \angle BAD + \angle BCD = \angle BCD + \angle DCE \end{align*}

よって

\begin{align*} \quad \angle BAD = \angle BCD \quad \cdots \text{③} \end{align*}
1つの内角はその対角の外角に等しいことを証明する図
円に内接する四角形ABCD

∠BADは円に内接する四角形の1つの内角です。また、∠BCDは∠BADの対角の外角です。

∠BADと∠DCEの関係は、③式のように表せます。これより、1つの内角とその対角の外角が等しいことを示すことができました。

1つの内角はその対角の外角に等しいことの証明
1つの内角とその対角の外角について

性質の証明は意外と易しく感じるかもしれません。しかし、これが他の図形の性質と絡むと複雑になります。演習して慣れておきましょう。

次は、円に内接する四角形を扱った問題を実際に解いてみましょう。