図形と方程式|共線や共点について

数学2

図形と方程式 直線

今回は、共線や共点について学習しましょう。複数の直線上にある点や、複数の点がのっている直線について学習します。

直線の方程式を求めたり、共有点の座標を求めたりします。不安な人は確認しながら進めましょう。

共線・共点

共線であること

与えられた点の集合がすべて同じ直線上にあるという性質を共線性と言います。また、与えられた点が共線性をもつとき、それらの点は共線であると言います。

与えられた点が1つの直線を共有する」と捉えると、共線性を覚えやすいかもしれません。

共線の図
3点A,B,Cは共線である

共線については、一般に3点が同じ直線上にあるときの話になります。3点が同じ直線上にあるというのは、言い換えると2点を通る直線上に第3の点があると考えることができます。

また、3点から2点を選んだときの傾きは3通りあります。3点が共線であるとき、3通りの傾きはすべて一致します。

上図において、たとえば2点A,Bを通る直線の傾きと、2点B,Cを通る直線の傾きとが一致すれば、2つの直線は一致します。このとき、3点は共線であると言えます。

共線性は点のもつ性質のことなので、共線であるかどうかは3点が同じ直線上にあるかどうかという意味です。共線という言葉から直線のイメージが湧きますが、に対する用語です。

「共線」という単語だけを覚えるのではなく、「3点が共線である」というフレーズで覚えましょう。

共線である

3点が同じ直線上にある=2点を通る直線上に第3の点がある(=2直線の傾きが一致する)

共点であること

点を共有するという性質のことを共点性と言います。同一の点を通る3本、または3本以上の直線が共点性をもつとき、それらの直線は共点であると言います。

与えられた直線が1つの点を共有する」と捉えると、共点性を覚えやすいかもしれません。

共点の図
3直線は共点である

共点については、一般に3直線が1点で交わるときの話になります。3直線が1点で交わるというのは、言い換えると2直線の交点が第3の直線上にあると考えることができます。

共点性は直線のもつ性質のことなので、共点であるかどうかは3直線が1点で交わるかどうかという意味です。共点という言葉から点のイメージが湧きますが、直線に対する用語です。

「共点」という単語だけを覚えるのではなく、「3直線が共点である」というフレーズで覚えましょう。

共点である

3直線が1点で交わる=2直線の交点が第3の直線上にある

共線や共点について考えてみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題

$(1) \quad 3$ 点 $A(a \ , \ -2) \ , \ B(3 \ , \ 2) \ , \ C(-1 \ , \ 4)$ が同じ直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。
$(2) \quad 3$ 直線 $2x+y+3=0 \ , \ x-y+6=0 \ , \ ax+y+24=0$ が $1$ 点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

例題(1)の解答・解説

例題(1)

$3$ 点 $A(a \ , \ -2) \ , \ B(3 \ , \ 2) \ , \ C(-1 \ , \ 4)$ が同じ直線上にあるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

例題(1)は「3点が共線である」ことに関する問題です。3点A,B,Cが共線であることから、3点は同一直線上にあるはずです。

座標の分かる2点B,Cから、直線BCの方程式を求め、この直線上に残りの点Aがあると考えます。2点B,Cの座標から直線BCの方程式を求めます。

例題(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\text{$2$ 点 $B \ , \ C$ を通る直線 $BC$ の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad y-2=\frac{4-2}{-1-3} \left(x-3 \right) \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x+2y-7=0 \end{align*}

ここでは、直線BCの方程式に分数が出てこないように、一般形で表しています。この直線上に点Aがあれば、3点が同じ直線上にあると言えます。

点Aの座標は直線BCの方程式の解であるので、直線BCの方程式に点Aの座標を代入すると等式が成り立つはずです。このことを利用すると、定数aについての方程式を導くことができます。

例題(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x+2y-7=0 \\[ 7pt ] &\text{直線 $BC$ 上に点 $A$ があるので} \\[ 5pt ] &\quad a+2 \cdot \left(-2 \right)-7=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=11 \end{align*}

例題(1)の別解・解説

初めから一般形を用いていれば分数が出てきません。分数を扱うのが苦手な場合は、以下の解法が良いでしょう。

例題(1)の別解例

\begin{align*} &\text{$2$ 点$B \ , \ C$ を通る直線 $BC$ の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \left(4-2 \right) \left(x-3 \right)-\left(-1-3 \right) \left(y-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad 2 \left(x-3 \right)+4 \left(y-2 \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{よって、} \\[ 5pt ] &\quad x+2y-7=0 \\[ 7pt ] &\text{直線 $BC$ 上に点 $A$ があるので} \\[ 5pt ] &\quad a+2 \cdot \left(-2 \right)-7=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=11 \end{align*}

2点を通る直線の方程式(公式)ですが、一般形で表すときの式です。

2点を通る直線の方程式

\begin{align*} &\text{異なる $2$ 点 $(x_{1} \ , \ y_{1}) \ , \ (x_{2} \ , \ y_{2})$ を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad \left(y_{2}-y_{1} \right) \left(x-x_{1} \right)-\left(x_{2}-x_{1} \right) \left(y-y_{1} \right)=0 \end{align*}

他の別解としては、「ABの傾き=BCの傾き」を利用しても良いでしょう。ただし、x軸に垂直な直線についての吟味が必要なので、あまりお勧めできません。

例題(1)の別解例

\begin{align*} &\text{$a=3$ のとき、直線 $AB$ は} \\[ 5pt ] &\quad x=3 \\[ 7pt ] &\text{このとき、点 $C$ は直線 $x=3$ 上にないので、} \\[ 5pt ] &\quad a \neq 3 \\[ 7pt ] &\text{$3$ 点 $A \ , \ B \ , \ C$ が同じ直線上にあるとき} \\[ 5pt ] &\quad \frac{2-(-2)}{3-a}=\frac{4-2}{-1-3} \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \frac{4}{3-a}=-\frac{1}{2} \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=11 \end{align*}

傾きを求めるとき、どうしても定数aを含む文字式が分母に出てきます。定数aを含む分母が0にならないことを示しておかなければなりません。この吟味が、x軸に垂直な直線についての吟味に相当します。

例題(2)の解答・解説

例題(2)

$3$ 直線 $2x+y+3=0 \ , \ x-y+6=0 \ , \ ax+y+24=0$ が $1$ 点で交わるとき、定数 $a$ の値を求めよ。

例題(2)は「3直線が共点である」ことに関する問題です。3直線が共点であることから、3直線は1点で交わるはずです。

係数の分かる2直線から、交点の座標を求め、この交点が残りの直線上にあると考えます。係数や定数項が明らかな直線が2つ与えられているので、それらから交点の座標を求めます。

例題(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad 2x+y+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x-y+6=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad ax+y+24=0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\text{とする。} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 直線①,②の交点を $P$ とすると、その座標は} \\[ 5pt ] &\text{方程式①,②を連立して解けばよいので} \\[ 5pt ] &\text{①+②より} \\[ 5pt ] &\quad x=-3 \\[ 7pt ] &\text{これと①より} \\[ 5pt ] &\quad y=3 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad P \ (-3 \ , \ 3) \end{align*}

2直線①,②の交点Pは、直線③の上にもあります。このとき、点Pの座標は直線③の方程式の解であるので、点Pの座標を直線③の方程式に代入すると等式が成り立つはずです。

このことを利用して、定数aについての方程式を導きます。

例題(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ax+y+24=0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad P \ (-3 \ , \ 3) \\[ 7pt ] &\text{点 $P$ は直線③上にもあるので、} \\[ 5pt ] &\quad a \cdot \left(-3 \right)+3+24=0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad a=9 \end{align*}

ここで終わりではありません。共点であるとは、3本または3本以上の直線が1点で交わることです。直線③が他の直線①,②と一致しないことを確認します。

例題(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad 2x+y+3=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad x-y+6=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\quad ax+y+24=0 \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a=9 \\[ 7pt ] &\text{このとき、直線③の方程式は} \\[ 5pt ] &\quad 9x+y+24=0 \\[ 7pt ] &\text{となり、直線①,②とは一致しない。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、求める $a$ の値は} \\[ 5pt ] &\quad \therefore \ a=9 \end{align*}

直線③が直線①または直線②と一致すると、「3本または3本以上の直線が1点で交わる」ことを満たしません。検算にもなるので、さいごの確かめを忘れないようにしましょう。

次は、共線や共点を扱った問題を実際に解いてみましょう。