図形と方程式|共線や共点について

数学2直線,図形と方程式,共線,共点

共線や共点を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&(1) \quad \text{3点 $A(a \ , \ -1) \ , \ B(1 \ , \ 3) \ , \ C(4 \ , \ -2)$ が同じ直線上にあるとき、} \\[ 5pt ]
&\qquad \text{定数 $a$ の値を求めよ。} \\[ 7pt ]
&(2) \quad \text{3直線 $2x-y-1=0 \ , \ 3x+2y-2=0 \ , \ y=\frac{1}{2}x+k$ が1点 $A$ で} \\[ 5pt ]
&\qquad \text{交わるとき、$k$ の値と点 $A$ の座標を求めよ。}
\end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)
\begin{align*}
&(1) \quad \text{3点 $A(a \ , \ -1) \ , \ B(1 \ , \ 3) \ , \ C(4 \ , \ -2)$ が同じ直線上にあるとき、} \\[ 5pt ]
&\qquad \text{定数 $a$ の値を求めよ。}
\end{align*}

問(1)は、例題(1)と同じく「3点が共線である」ことに関する問題です。例題(1)の模範解答通りに解いても良いのですが、ここでは別解の解法を採用します。

2点を通る直線の方程式
\begin{align*}
&\text{異なる2点 $(x_{1} \ , \ y_{1}) \ , \ (x_{2} \ , \ y_{2})$ を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( y_{2}-y_{1} \bigr) \bigl( x-x_{1} \bigr)-\bigl( x_{2}-x_{1} \bigr) \bigl( y-y_{1} \bigr)=0
\end{align*}

2点B,Cを通る直線の方程式を求めます。

問(1)の解答例①
\begin{align*}
&\text{2点B,Cを通る直線BCの方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( -2-3 \bigr) \bigl( x-1 \bigr)-\bigl( 4-1 \bigr) \bigl( y-3 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad -5 \bigl( x-1 \bigr)-3 \bigl( y-3 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって、} \\[ 5pt ]
&\quad 5x+3y-14=0
\end{align*}

傾きと切片が分かる式であれば、分数が出てくるので一般形の方が扱いやすいでしょう。

3点が共線であるので、直線BCの上にも点Aがあるはずです。つまり、3点が同じ直線上にあるということです。直線BCの方程式に点Aの座標を代入して、定数 a の値を求めます。

問(1)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad 5x+3y-14=0 \\[ 7pt ]
&\text{直線BC上に点Aがあるので} \\[ 5pt ]
&\quad 5 \cdot a+3 \cdot \bigl(-1 \bigr)-14=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad a=\frac{17}{5}
\end{align*}
点が直線上にある
=点の座標は直線の方程式の解
=直線の方程式に座標を代入しても等式が成り立つ
⇒直線上の点の座標を、直線の方程式に代入しても良い

問(2)の解答・解説

問(2)
\begin{align*}
&(2) \quad \text{3直線 $2x-y-1=0 \ , \ 3x+2y-2=0 \ , \ y=\frac{1}{2}x+k$ が1点 $A$ で} \\[ 5pt ]
&\qquad \text{交わるとき、$k$ の値と点 $A$ の座標を求めよ。}
\end{align*}

問(2)は、例題(2)と同じく「3直線が共点である」ことに関する問題です。例題(2)と同じ要領で解きましょう。

2直線の交点が残りの直線上にあると考えます。3直線のうち係数や定数項が明らかな2直線の方程式を選び、交点の座標を求めます。

問(2)の解答例①
\begin{align*}
&\quad 2x-y-1=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad 3x+2y-2=0 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\quad y=\frac{1}{2}x+k \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{とする。} \\[ 5pt ]
&\text{2直線①,②の交点の座標は、方程式①,②を} \\[ 5pt ]
&\text{連立して解けばよいので} \\[ 5pt ]
&\text{①×2+②より} \\[ 5pt ]
&\quad x=\frac{4}{7} \\[ 7pt ]
&\text{これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad y=\frac{1}{7} \\[ 7pt ]
&\text{よって、求める交点の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{4}{7} \ , \ \frac{1}{7} \biggr)
\end{align*}

3直線が共点であるので、2直線①,②の交点は、直線③の上にもあるはずです。ですから、この交点が点Aとなります。交点の座標を直線③の方程式に代入して、k の値を求めます。

問(2)の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad \biggl(\frac{4}{7} \ , \ \frac{1}{7} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{交点は直線③上にもあるので、} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{1}{7}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{7}+k \\[ 7pt ]
&\text{$k$ について解くと} \\[ 5pt ]
&\quad k=-\frac{1}{7}
\end{align*}

ここで終わりにせず、3直線の方程式を確認をします。

共点であるためには、3直線が1点で交わることが条件です。直線③が他の直線①,②と一致しないことを確認します。

問(2)の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad k=-\frac{1}{7} \\[ 7pt ]
&\text{このとき、直線③の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{7} \\[ 7pt ]
&\text{となり、直線①,②とは一致しない。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、求める $k$ の値と点Aの座標は} \\[ 5pt ]
&\quad k=-\frac{1}{7} \ , \ A \biggl(\frac{4}{7} \ , \ \frac{1}{7} \biggr)
\end{align*}

直線③が直線①または直線②と一致すると、「3直線が1点で交わる」という条件を満たしません。検算にもなるので、さいごの確認を忘れないようにしましょう。

また、直線の方程式は、これまで傾きと切片を用いた形で表されていましたが、一般形でも扱えるようにしておいた方が良いでしょう。一般形をわざわざ変形するのも面倒です。場合によっては吟味も必要になります。一般形では吟味を省けるので、扱うだけのメリットが十分にあります。

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さいごにもう一度まとめ

  • 3点が同じ直線上にあることを共線であると言う。
  • 共線に関する問題は、2点から直線の方程式を求めて、その直線上に残り1点もあることを利用する。
  • 3直線が1点で交わることを共点であると言う。
  • 共点に関する問題は、2直線の交点を求めて、その交点が残りの直線上にあることを利用する。
  • 直線の方程式を求める手段をいくつか持っておこう。特に、一般形でも表せるようにしておこう。