図形と方程式｜直線に関して対称な点について
今回は、直線に関して対称な点について学習しましょう。直線に関して対称なので、線対称な図形の話です。
作図しながら考えると、理解しやすいでしょう。
直線に関して対称な点
直線ℓに関して点Aと対称な点Bを図示すると、以下のようになります。
点Aと点Bは、直線ℓに関して対称なので、対応する点となります。線対称な図形では、対称の軸がありますが、これは直線ℓのことです。
対称の軸である直線ℓは、線分ABに対して、垂直に、かつ二等分するように交わります。ですから、直線ℓは、線分ABの垂直二等分線となります。直線ℓと直線ABは垂直に交わるので、2直線の垂直条件を利用できます。
線分ABと直線ℓとの交点をHとすると、線分AHと線分BHの長さは等しく(AH=BH)なります。ですから、点Hは線分ABの中点となります。ですから、両端にある2点A,Bの座標を用いて表すことができます。
また、点Hは2直線の交点でもあるので、直線ℓ上にも直線AB上にもある点です。ですから、どちらの方程式に代入しても等式が成り立ちます。
このような性質を利用して問題を解くことになりますが、最低でも次の2点を覚えておきましょう。
- 直線ABは直線ℓに垂直。
⇒2直線の垂直条件が成り立つ。 - 線分ABの中点は、直線ℓ上にある。
⇒直線ℓの方程式に座標を代入しても良い。
直線に関して対称な点を求めてみよう
直線に関して対称な点を求めてみましょう。
\begin{align*}
&\text{直線ℓ：$x+y+1=0$ に関して、点P $(3 \ , \ 2)$ と対称な} \\
&\text{点Qの座標を求めよ。}
\end{align*}
例題の解答・解説
作図は以下の通りです。
線対称な図形の性質を利用して解きましょう。点Qの座標を求めるので、座標を定義しておきます。ちなみに点Qの座標は、2直線の垂直条件や中点の座標を利用するときに必要です。
点Qの座標を定義して、2直線の傾きをそれぞれ求めます。
\begin{align*}
&\text{点Qの座標を $(a \ , \ b)$ とする。} \\[ 5pt ]
&\text{直線ℓの傾きは与式から} \\[ 5pt ]
&\quad y=-x-1 \\[ 7pt ]
&\text{であるので $-1$} \\[ 5pt ]
&\text{ここで、直線PQは $x$ 軸に垂直でないので} \\[ 5pt ]
&\quad a \neq 3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、直線PQの傾きは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{b-2}{a-3}
\end{align*}
直線PQの傾きは分数で表されますが、分母に文字が含まれます。ですから、念のため、直線PQが x 軸に垂直でないことを断っています。
直線PQは直線ℓに垂直なので、2直線の垂直条件を利用して、a, b についての方程式を導きます。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{直線PQが直線ℓに垂直であるので} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(-1 \bigr) \cdot \frac{b-2}{a-3}=-1 \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad a-b-1=0 \quad \text{…①}
\end{align*}
2直線の傾きによる垂直条件を利用しています。
\begin{align*}
&\text{2直線} \\[ 5pt ]
&\quad y=m_{1}x+n_{1} \\[ 7pt ]
&\quad y=m_{2}x+n_{2} \\[ 7pt ]
&\text{が垂直であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad m_{1} m_{2}=-1 \quad \text{(垂直条件)}
\end{align*}
次に、線分PQの中点の座標を求めます。線分PQの両端にある2点P,Qの座標を利用します。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{また、線分PQの中点の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl( \frac{a+3}{2} \ , \ \frac{b+2}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{であり、これが直線ℓ上にあるので、方程式に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{a+3}{2}+\frac{b+2}{2}+1=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad a+b+7=0 \quad \text{…②}
\end{align*}
中点は直線ℓ上にあることを利用して、中点の座標を直線ℓの方程式に代入します。これで、a, b についての方程式を導くことができます。
a, b についての方程式を2つ得ることができたので、連立方程式を解きます。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{①,②を連立させて解くと} \\[ 5pt ]
&\text{①＋②より} \\[ 5pt ]
&\quad a=-3 \\[ 7pt ]
&\text{これと①より} \\[ 5pt ]
&\quad b=-4 \\[ 7pt ]
&\text{したがって、点Qの座標は} \\[ 5pt ]
&\quad Q \bigl( -3 \ , \ -4 \bigr)
\end{align*}
点Qの座標を求めるには、x 座標と y 座標を求める必要があります。未知のものが2つなので、方程式も2つ必要になります。
- 2直線の垂直条件から2直線の傾きを「傾きの積＝-1」に代入して方程式を導く。
- 直線ℓ上にある線分PQの中点の座標を、直線ℓの方程式に代入して方程式を導く。
- 連立方程式を導くと、点Qの座標が分かる。
例題の別解例
作図が丁寧だと、かなりの精度で求めたい座標が分かることがあります。
直線PQが直線ℓに垂直であるので、垂直条件から直線PQの傾きが1となることはすぐに分かります。点Pを通り、直線ℓに垂直な直線を作図してみると、直線ℓと y 軸との交点(0,-1)が線分PQの中点になりそうだと予想できます。
点Pと点(0,-1)で傾きを求めてみると、直線PQの傾きと一致します。点(0,-1)は直線PQ上にも直線ℓ上にもある点となるので、線分PQの中点であると言えます。
線分PQの中点の座標が分かれば、あとは簡単です。点Pと点Qは対応する点なので、上図のように合同な直角三角形を利用することができます。これで点Qの座標を図形的に求めることができます。点Qは、点Pから左に6、下に6移動した点となります。
あまり褒められた解法ではありませんが、上手くはまれば簡単に解くことができます。マーク形式の試験であれば過程を記述する必要がないので、このような解法でも良いかもしれません。
次は、直線に関して対称な点を扱った問題を実際に解いてみましょう。