図形と方程式|2直線の交点を通る直線について

数学2直線,図形と方程式,交点

今回は、2直線の交点を通る直線について学習しましょう。この単元では、とても便利な方程式が出てきます。なお、これと同様の式があとの単元でも出てきます。

直線の方程式と直線上にある点の座標との関係を理解していればそれほど難しく感じません。不安のある人はこれまでに学習した内容を確認しながら取り組みましょう。

2直線の交点を通る直線

2点を通る直線の方程式の求め方

2直線の方程式が与えられ、それらの交点と他の1点を通る直線の方程式を求めるとします。このとき、以下の手順で求めるのがこれまでの解法です。

2直線の交点と他の1点を通る直線の方程式の求め方

  1. 2直線の交点の座標を、2直線の方程式を連立して求める。
  2. 2点を通る直線の方程式を利用して求める。

なお、2点を通る直線の方程式は以下の通りです。きちんと覚えておきましょう。

2点を通る直線の方程式
\begin{align*}
&\text{異なる2点 $(x_{1} \ , \ y_{1}) \ , \ (x_{2} \ , \ y_{2})$ を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\text{[1] $x_{1} \neq x_{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad y-y_{1}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \bigl( x-x_{1} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{[2] $x_{1}=x_{2}$ のとき} \\[ 5pt ]
&\quad x=x_{1} \\[ 7pt ]
&\text{[1],[2]の両方を満たす式} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( y_{2}-y_{1} \bigr) \bigl( x-x_{1} \bigr)-\bigl( x_{2}-x_{1} \bigr) \bigl( y-y_{1} \bigr)=0
\end{align*}

2直線の交点を通る直線の方程式

これまでの解法であれば、上述のような手順で進めていきますが、ここでは違った視点から直線の方程式を求めます。

2直線の交点は、一方の直線上にあって、なおかつ他方の直線上にある点です。直線上にある点の座標は、その直線の方程式の解でした。したがって、交点の座標は、2直線の方程式、つまり連立方程式の解となります。ここがこの単元の要点です。

これまでであれば、2直線の方程式を連立していましたが、これを1つの方程式で表すことを考えてみましょう。

2直線の交点を通る直線の方程式は、以下のように表せます。

2点を通る直線の方程式
\begin{align*}
&\text{交わる2直線} \\[ 5pt ]
&\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \\[ 7pt ]
&\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \\[ 7pt ]
&\text{に対し、$k$ を定数とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2直線の交点を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad k \bigl(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \bigr)+\bigl( a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

なぜ、上述の方程式が、2直線の交点を通る方程式となるのかを考えてみましょう。

2点を通る直線の方程式の確認
\begin{align*}
&\text{交わる2直線} \\[ 5pt ]
&\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{に対し、$k$ を定数とする。} \\[ 5pt ]
&\text{このとき、2直線の交点を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad k \bigl(a_{1}x+b_{1}y+c_{1} \bigr)+\bigl( a_{2}x+b_{2}y+c_{2} \bigr)=0 \quad \text{…③} \\[ 10pt ]
&\text{2直線①,②の交点を $p$ とし、その座標を} \\[ 5pt ]
&\quad P \bigl(\alpha \ , \ \beta \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{とすると、直線①,②上の点であるので} \\[ 5pt ]
&\quad a_{1} \alpha+b_{1} \beta+c_{1}=0 \\[ 7pt ]
&\quad a_{2} \alpha+b_{2} \beta+c_{2}=0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つ。} \\[ 5pt ]
&\text{ところで、方程式③は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(k a_{1}+a_{2} \bigr)x+\bigl(k b_{1}+b_{2} \bigr)y+\bigl(k c_{1}+c_{2} \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{の形になるので、直線を表す。} \\[ 5pt ]
&\text{また、方程式③に点 $P(\alpha \ , \ \beta)$ の座標を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad k \bigl(a_{1} \alpha+b_{1} \beta+c_{1} \bigr)+\bigl( a_{2} \alpha+b_{2} \beta+c_{2} \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{が成り立つので、$x=\alpha \ , \ y=\beta$ は方程式③の解である。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、直線③は交点 $P(\alpha \ , \ \beta)$ を通る直線の方程式である。} \\[ 5pt ]
&\text{ただし、直線①を表す $k$ の値は存在しない。}
\end{align*}

交点を通る直線と言えば、その方程式は無数に存在します。それを表すのが直線③の方程式です。

2直線の交点を通る直線

直線③の方程式では、2直線①,②上の交点以外の点の座標を代入しても等式が成り立ちません。定数 k の値が定まっていないので、等式が成り立つのは、2直線①,②の交点の座標を代入したときだけです。直線③の方程式が交点の座標を解にもつ、つまり直線③は、2直線①,②の交点を通ることだけは確実に言えるわけです。

2直線の交点を通る直線の方程式は、定数 k を用いて一般化された形で表されます。なお、特定の直線の方程式は、定数 k の値が定まることによって得られます。定数 k の値は、他の1点を通るなどの情報が与えられるので、それを利用して定めます。

2直線の交点を通る直線の方程式を求める手順

  1. 2直線の交点を通る直線の方程式を考える。(定数 k を用いて表す)
  2. 他の1点の座標を利用して、定数 k の値を定める。

2変数で表される式の表し方

直線の方程式には、xy の2つの変数が使われています。このような式を以下のように表すことがあります。

2変数で表される式の表し方
\begin{align*}
&\text{一般に、変数 $x \ , \ y$ で表される式を} \\[ 5pt ]
&\quad f \bigl( x \ , \ y \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{などと表す。} \\[ 5pt ]
&\text{たとえば、直線の方程式であれば} \\[ 5pt ]
&\quad f \bigl( x \ , \ y \bigr)=0 \ , \ g \bigl( x \ , \ y \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{などと表す。}
\end{align*}

この表し方を利用すると、2直線の交点を通る直線は以下のように表せます。

2直線の交点を通る直線の方程式
\begin{align*}
&\text{2直線 $f(x \ , \ y)=0 \ , \ g(x \ , \ y)=0$ の交点を通る直線は、} \\[ 5pt ]
&\text{$k$ を定数とすると} \\[ 5pt ]
&\quad kf \bigl( x \ , \ y \bigr)+g \bigl( x \ , \ y \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{と表せる。}
\end{align*}

直線の方程式をそのまま使うよりも簡潔に記述できます。また、直線以外の図形(たとえば円)を方程式で表すことがありますが、他の図形にも通用するのがこの表し方の利点です。

2直線の交点を通る直線の方程式を求めてみよう

次の例題を考えてみましょう。

例題
\begin{align*}
&\text{次の2直線} \\[ 5pt ]
&\quad 2x+3y=7 \quad \text{…①} \\[ 7pt ]
&\quad 4x+11y=19 \quad \text{…②} \\[ 7pt ]
&\text{の交点を通り、点 $(5 \ , \ 4)$ を通る} \\[ 5pt ]
&\text{直線の方程式を求めよ。}
\end{align*}

例題の解答・解説

まず、2直線①,②の交点を通る直線を表します。ただし、与えられた2直線の方程式が、中途半端な形になっているので注意しましょう。一般形で表す場合、「~=0」の形で表しましょう。

例題の解答例①
\begin{align*}
&\text{$k$ を定数とすると} \\[ 5pt ]
&\quad k \bigl(2x+3y-7 \bigr)+\bigl( 4x+11y-19 \bigr)=0 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{は、直線①,②の交点を通る直線を表す。}
\end{align*}

定数 k の値が定まっていないので、2直線①,②の交点を通る直線はいくつもある状態です。

2直線の交点を通る直線(例題)

特定の点(5,4)を通るので、この点の座標を利用します。

例題の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{直線③が点 $(5 \ , \ 4)$ を通るとすると、} \\[ 5pt ]
&\text{方程式③に $x=5 \ , \ y=4$ を代入して} \\[ 5pt ]
&\quad k \bigl(2 \cdot 5+3 \cdot 4-7 \bigr)+\bigl( 4 \cdot 5+11 \cdot 4-19 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad 15k+45=0 \\[ 7pt ]
&\text{これを解くと} \\[ 5pt ]
&\quad k=-3
\end{align*}

定数 k の値が定まりました。$k=-3$ のとき、点(5,4)の座標を直線の方程式③に代入すると等式が成り立ちます。点(5,4)の座標を代入したときに等式が成り立つ定数 k の値を求めたので明らかです。

定数 k の値を直線③の方程式に代入して、点(5,4)を通る直線の方程式を求めます。

例題の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\quad k=-3 \\[ 7pt ]
&\text{これを③に代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad -3 \bigl(2x+3y-7 \bigr)+\bigl( 4x+11y-19 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{整理すると} \\[ 5pt ]
&\quad x-y-1=0
\end{align*}

得られた直線の方程式に、交点や点(5,4)の座標を代入してみましょう。等式が成り立つことから、交点や点(5,4)の座標がちゃんと方程式の解になっています。このことから、得られた直線は、交点や点(5,4)を通ることが分かります。

この解法では「2直線の交点の座標を求めなくて良い」ことが最大の利点です。計算量をかなり減らせるので、積極的に利用したい解法です。

これまでの知識で解くと、以下の通りです。

例題の別解例
\begin{align*}
&\text{2直線①,②の交点の座標は、方程式①,②を連立して} \\[ 5pt ]
&\text{①×2-②} \\[ 5pt ]
&\quad y=1 \\[ 7pt ]
&\text{これと①より、$x=2$} \\[ 5pt ]
&\text{よって、2点 $(2 \ , \ 1) \ , \ (5 \ , \ 4)$ を通る直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl( 4-1 \bigr) \bigl( x-2 \bigr)-\bigl( 5-2 \bigr) \bigl( y-1 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad 3 \bigl( x-2 \bigr)-3 \bigl( y-1 \bigr)=0 \\[ 7pt ]
&\text{よって} \\[ 5pt ]
&\quad x-y-1=0
\end{align*}

別解の方が素直な解法ではありますが、計算量が多くなります。

次は、2直線の交点を通る直線を扱った問題を実際に解いてみましょう。