図形と方程式｜座標を利用した証明(垂心)について
今回は、座標を利用した証明について学習しましょう。座標を利用した証明についてはすでに学習していますが、ここでは垂線を扱う垂心に関わる証明です。
座標を用いることで証明しやすくなるのですが、上手に座標平面に図形を設置できなければ、かえって難しくなります。そうならないように、ポイントをしっかり押さえましょう。
座標を利用した証明(垂心)
垂心は五心の1つです。ただ、内心・外心・重心に比べると、垂心を扱った問題はあまり見かけません。
垂心は、三角形の3つの頂点から対辺にそれぞれ下した垂線の交点です。
証明問題としては、3つの頂点からそれぞれ下した垂線が1点で交わることを証明する問題が出題されます。この証明を図形的にやろうと思えば、かなり難しく、そして面倒です。
このような証明あっても、座標平面上に三角形を設置することで簡単に証明できるようになります。座標を利用した証明はすでに学習していますが、ここでは、座標軸が予め定められています。座標軸を自分で設定する問題よりも取り組みやすいでしょう。
座標を利用して証明してみよう(垂心)
\begin{align*}
&\text{座標平面上の3点 $O(0 \ , \ 0) \ , \ A(2 \ , \ 5) \ , \ B(6 \ , \ 0)$ を頂点とする△OABの} \\[ 5pt ]
&\text{各頂点から対辺に下した垂線は1点で交わることを証明せよ。}
\end{align*}
例題の解答・解説
例題では、三角形の頂点の座標が予め与えられているので、座標軸は自分で設定する必要はありません。問題文に合わせて作図しましょう。
3直線が1点で交わることを証明するには、2直線の交点が残りの直線上にあることを示すことが一般的です。しかし、例題では、作図すると分かるように、頂点Aから下した垂線が x 軸に垂直な直線です。このことを利用すると一般的な証明よりも簡単になります。
まず、直線ABの傾きから垂線OCの方程式を求めます。
\begin{align*}
&\text{直線ABの傾きは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{0-5}{6-2}=-\frac{5}{4} \\[ 7pt ]
&\text{より、頂点Oから対辺ABに下した垂線BDの傾きは $\frac{4}{5}$} \\[ 5pt ]
&\text{よって、頂点Oから対辺ABに下した垂線OCの方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y=\frac{4}{5} x \quad \text{…①}
\end{align*}
垂線OCは原点を通る直線なので、切片はありません。また、傾きを求めるために、2直線の垂直条件を利用しています。
\begin{align*}
&\text{2直線} \\[ 5pt ]
&\quad y=m_{1}x+n_{1} \\[ 7pt ]
&\quad y=m_{2}x+n_{2} \\[ 7pt ]
&\text{が垂直であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad m_{1} m_{2}=-1 \quad \text{(垂直条件)} \\[ 7pt ]
&\text{また、2直線} \\[ 5pt ]
&\quad a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0 \\[ 7pt ]
&\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0 \\[ 7pt ]
&\text{が垂直であるとき} \\[ 5pt ]
&\quad a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}=0 \quad \text{(垂直条件)}
\end{align*}
同じ要領で、直線OAの傾きから垂線BDの方程式も求めます。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{また、直線OAの傾きは $\frac{5}{2}$ より} \\[ 5pt ]
&\text{頂点Bから対辺OAに下した垂線BDの傾きは $-\frac{2}{5}$} \\[ 5pt ]
&\text{よって、垂線BDの方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y-0=-\frac{2}{5} \bigl(x-6 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad y=-\frac{2}{5} x+\frac{12}{5} \quad \text{…②}
\end{align*}
垂線BDの方程式を求めるために、1点Bと傾きを利用しています。
\begin{align*}
&\text{[1] 点 $(x_{1} \ , \ y_{1})$ を通り、傾きを $m$ とする直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y-y_{1}=m \bigl( x-x_{1} \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{[2] 点 $(x_{1} \ , \ y_{1})$ を通り、x軸に垂直な直線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x=x_{1}
\end{align*}
これで、2つの垂線OC,BDの方程式が分かりました。次は一般的な解法であれば、2直線の方程式から連立方程式を解いて、交点の座標を求めます。ここでは、垂線AEが x 軸に垂直な直線であることを利用します。
垂線OCと垂線AEの交点の座標と、垂線BDと垂線AEの交点の座標とを比べます。こちらの方が、垂線OCと垂線BDの交点の座標を求めるよりもはるかに簡単です。
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{頂点Aから対辺OBに下した垂線AEの方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad x=2 \quad \text{…③} \\[ 7pt ]
&\text{①に $x=2$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad y=\frac{4}{5} \cdot 2=\frac{8}{5} \\[ 7pt ]
&\text{②に $x=2$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad y=-\frac{2}{5} \cdot 2+\frac{12}{5}=\frac{8}{5} \\[ 7pt ]
&\text{よって、3直線①,②,③は1点} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(2 \ , \ \frac{8}{5} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{で交わる。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、△OABの各頂点から対辺に下した} \\[ 5pt ]
&\text{3つの垂線は1点で交わる。}
\end{align*}
垂線OCと垂線AEの交点の座標や、垂線BDと垂線AEの交点の座標を求めるには、交点の x 座標が2であることを利用します。このとき、垂線OC,BDの方程式に $x=2$ を代入することによって、交点の y 座標を求めることができます。
それに対して、垂線OCと垂線BDの交点の座標を求めるには、垂線OCと垂線BDの方程式を連立して解く必要があります。どちらが楽な計算かは明らかです。また、垂線が出てくるのは、垂心に限ったことではありません。外心の証明でも出てくるので解いておきましょう。
次は、座標を利用した証明(垂心)を扱った問題を実際に解いてみましょう。