図形と方程式|座標を利用した証明(垂心)について

数学2証明,図形と方程式,座標,垂心

座標を利用した証明(垂心)を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。


\begin{align*}
&\text{$xy$ 平面上に3点 $A(2 \ , \ -2) \ , \ B(5 \ , \ 7) \ , \ C(6 \ , \ 0)$ がある。} \\[ 5pt ]
&\text{△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。}
\end{align*}

問の解答・解説

問のように、各辺の垂直二等分線は1点で交わります。この点のことを外心と言います。問は、例題の垂心と異なり、外心ができることの証明です。

問題文を読みながら作図してみましょう。単なる垂線ではなく、各辺の中点を通る垂直二等分線を作図しなければなりません。

例題の三角形の外心の図

垂心のときと基本的な流れは変わりませんが、垂直二等分線の方程式なので、傾きだけでなく、中点の座標も必要になります。まず、直線ACの垂直二等分線を求めます。

問の解答例①
\begin{align*}
&\text{線分ACの中点の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{2+6}{2} \ , \ \frac{-2+0}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \bigl(4 \ , \ -1 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{直線ACの傾きは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{0-(-2)}{6-2}=\frac{1}{2} \\[ 7pt ]
&\text{よって、直線ACの垂直二等分線は点 $(4 \ , \ -1)$ を通り、} \\[ 5pt ]
&\text{その傾きは $-2$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、直線ACの垂直二等分線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y-\bigl(-1 \bigr)=-2 \bigl(x-4 \bigr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad y=-2x+7 \quad \text{…①}
\end{align*}

次は、直線ABの垂直二等分線を求めます。

問の解答例②
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{線分ABの中点の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{2+5}{2} \ , \ \frac{-2+7}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{7}{2} \ , \ \frac{5}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{直線ABの傾きは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{7-(-2)}{5-2}=3 \\[ 7pt ]
&\text{よって、直線ABの垂直二等分線は点 $(\frac{7}{2} \ , \ \frac{5}{2})$ を通り、} \\[ 5pt ]
&\text{その傾きは $-\frac{1}{3}$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、直線ABの垂直二等分線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y-\biggl(\frac{5}{2} \biggr)=-\frac{1}{3} \biggl(x-\frac{7}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x+3y-11=0 \quad \text{…②}
\end{align*}

直線ABの垂直二等分線の方程式(②式)が一般形となっているのは、傾きや切片が分数となるからです。①式と②式の連立方程式を解くとき、加減法ではなく、代入法で解けるので、①式に合わせなくても問題ありません。

直線ACの垂直二等分線と直線ABの垂直二等分線との交点の座標を求めます。①式と②式を連立して解きます。

問の解答例③
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{方程式①,②を連立させて解くと} \\[ 5pt ]
&\text{①を②に代入して} \\[ 5pt ]
&\quad x+3 \bigl(-2x+7 \bigr)-11=0 \\[ 7pt ]
&\text{より、$x=2$} \\[ 5pt ]
&\text{また、$y=3$} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、2直線①,②の交点の座標は $(2 \ , \ 3)$}
\end{align*}

さいごに、線分BCの垂直二等分線の方程式を求めます。

問の解答例④
\begin{align*}
&\text{線分BCの中点の座標は} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{5+6}{2} \ , \ \frac{7+0}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad \biggl(\frac{11}{2} \ , \ \frac{7}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{直線BCの傾きは} \\[ 5pt ]
&\quad \frac{0-7}{6-5}=-7 \\[ 7pt ]
&\text{よって、直線BCの垂直二等分線は点 $(\frac{11}{2} \ , \ \frac{7}{2})$ を通り、} \\[ 5pt ]
&\text{その傾きは $\frac{1}{7}$ である。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、直線BCの垂直二等分線の方程式は} \\[ 5pt ]
&\quad y-\biggl(\frac{7}{2} \biggr)=\frac{1}{7} \biggl(x-\frac{11}{2} \biggr) \\[ 7pt ]
&\text{すなわち} \\[ 5pt ]
&\quad x-7y+19=0 \quad \text{…③}
\end{align*}

直線BCの垂直二等分線の方程式も分数を嫌って一般形で表しています。先ほど得られた2直線①,②の交点の座標を代入して、方程式③の解であることを確かめます。直線の方程式を満たす解が、直線上にある点の座標です。

問の解答例⑤
\begin{align*}
&\quad \vdots \\[ 7pt ]
&\text{③の左辺に $x=2 \ , \ y=3$ を代入すると} \\[ 5pt ]
&\quad 2-7 \cdot 3+19=2-21+19=0 \\[ 7pt ]
&\text{となり、$x=2 \ , \ y=3$ は③を満たすので} \\[ 5pt ]
&\text{点 $(2 \ , \ 3)$ は直線③上にある。} \\[ 5pt ]
&\text{したがって、△ABCの各辺の垂直二等分線は} \\[ 5pt ]
&\text{1点 $(2 \ , \ 3)$ で交わる。}
\end{align*}

証明するために、2直線の垂直条件中点の座標など、すでに学習した事項を適切に利用しなければなりません。忘れた事柄がないか確認しながら進めていきましょう。

3直線が交わることの証明
2直線の交点の座標を求めて、残りの直線上にあることを示すのが一般的。
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さいごにもう一度まとめ

  • 垂心や外心の証明では、2直線の垂直条件から傾きを求めよう。
  • 外心の証明では、線分の中点の座標を求めよう。
  • 直線の方程式を求めるときには、傾きと1点の座標を用いることが多い。
  • 直線の方程式を表すとき、係数によっては一般形を利用しよう。
  • 3直線が1点で交わることの証明では、2直線の交点が残りの直線上にあることを示そう。