数列の極限｜漸化式と極限 -極限値を視覚的に見よう-

07/09/2021数学３

今回は、漸化式と極限について学習しましょう。

漸化式は数学Ｂ「数列」で学習します。特に、隣接２項間の漸化式は入試でも頻出なので、しっかりマスターしておきたいところです。

今回は極限の話がメインなので、隣接2項間の漸化式についての詳しい解説は後述します。忘れた人はご確認下さい。

数学の公式・定理集｜数列

漸化式と極限を扱った問題を解いてみよう

次の問題を考えてみましょう。

例題１

$\begin{align*} &\quad a_1 = 5 \ , \ a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n + 1 \\[ 7pt ] &\qquad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 7pt ] &\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について} \\[ 5pt ] &\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n \\[ 7pt ] &\text{を求めよ。} \end{align*}$

例題１の解答・解説

例題１は、数列｛ａ_n｝の一般項ａ_n の極限を求める問題です。極限を求めるためには、漸化式から数列｛ａ_n｝の一般項ａ_nを求める必要があります。

特性方程式を用いて漸化式を変形し、新しい数列の一般項から数列｛ａ_n｝の一般項ａ_nを求めます。

例題１の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{漸化式を変形すると} \\[ 5pt ] &\quad a_{n+1} – 3 = \frac{2}{3} \left( a_n – 3 \right) \\[ 7pt ] &\text{数列 $\{ a_n – 3 \}$ は} \\[ 5pt ] &\quad \text{初項} \ a_1-3 = 5-3 =2 \\[ 7pt ] &\quad \text{公比} \ {\scriptsize {\frac{2}{3}}} \\[ 7pt ] &\text{の等比数列であるので、その一般項は} \\[ 5pt ] &\quad a_n – 3 = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} \\[ 7pt ] &\text{よって、数列 $\{ a_n \}$ の一般項 $a_n$ は} \\[ 5pt ] &\quad a_n = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3 \end{align*}$

数列｛ａ_n｝の一般項ａ_nを求めたら、極限値を求めます。

例題１の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a_n = 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3 \\[ 7pt ] &\text{よって} \end{align*}$

$\begin{align*} \quad &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n \\[ 7pt ] = \ &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \biggl\{ 2 \cdot {\left( \frac{2}{3} \right)}^{n-1} +3 \biggr\} \\[ 7pt ] = \ &3 \end{align*}$

漸化式と極限の関係

例題１の結果から、一般項ａ_nの極限値について以下のことが分かります。

特性方程式の解と極限値との関係

$\begin{align*} &\text{特性方程式} \\[ 5pt ] &\quad \alpha = \frac{2}{3} \alpha + 1 \\[ 7pt ] &\text{の解は $\alpha = 3$ であり、また} \\[ 5pt ] &\quad a_1 = 5 \ , \ a_{n+1} = \frac{2}{3} a_n + 1 \\[ 7pt ] &\text{の $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ も} \\[ 5pt ] &\quad a_n \to \alpha = 3 \\[ 7pt ] &\text{となる。} \end{align*}$

以上のことから、漸化式ａ_n+1＝ｐａ_n＋ｑ（ｐ，ｑは定数，ｐ≠１）で表される数列｛ａ_n｝では、その一般項ａ_nの極限値は特性方程式の解αの値に近づくことが分かります。

このことを知っていると、極限値を予測したうえで問題に取り組むことが可能になります。

極限値を視覚的に見て予測する

次は一般項ａ_nの極限値を視覚的に捉えてみましょう。特性方程式のαをｘに置き換えてみます。

特性方程式のαをｘに置き換える

$\begin{align*} &\text{特性方程式の $\alpha$ を $x$ に置き換えると} \\[ 5pt ] &\quad x = \frac{2}{3} x + 1 \end{align*}$

特性方程式がｘについての方程式になりました。この式は以下のように解釈することができます。

グラフの交点の話に置き換える

$\begin{align*} &\quad x = \frac{2}{3} x + 1 \\[ 7pt ] &\text{は、$2$ つのグラフ} \\[ 5pt ] &\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = \frac{2}{3} x + 1 \end{array} \right. \\[ 10pt ] &\text{の交点の $x$ 座標を求める式である。} \end{align*}$

以上のことから、特性方程式の代わりにグラフの交点の話に置き換えると、漸化式の変形を以下のように解釈できます。

漸化式をグラフを利用して変形

$\begin{align*} &\text{$1$ 次型の漸化式 } \\[ 5pt ] &\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 7pt ] &\qquad ( p \ , \ q \ \text{は定数} \ , \ p \neq 1 ) \\[ 7pt ] &\text{は、$2$ つのグラフ} \\[ 5pt ] &\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = px + q \end{array} \right. \\[ 10pt ] &\text{の交点の $x$ 座標を $x = \alpha$ とすると} \\[ 5pt ] &\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 7pt ] &\qquad \iff a_{n+1} – \alpha = p \left( a_{n} – \alpha \right) \\[ 7pt ] &\text{と変形できる。} \end{align*}$

さらに先ほどの極限値の話も加えると、漸化式と極限の関係をグラフを使って以下のように解釈できます。

極限とグラフの関係

$\begin{align*} &\text{$1$ 次型の漸化式 } \\[ 5pt ] &\quad a_{n+1} = pa_{n} + q \\[ 7pt ] &\qquad ( p \ , \ q \ \text{は定数} \ , \ p \neq 1 ) \\[ 7pt ] &\text{の $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ は、$2$ つのグラフ} \\[ 5pt ] &\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = px + q \end{array} \right. \\[ 10pt ] &\text{の交点の $x$ 座標を $x = \alpha$ とすると} \\[ 5pt ] &\text{$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n$ は} \\[ 5pt ] &\quad a_n \to \text{交点の $x$ 座標 $\alpha$} \\[ 7pt ] &\text{となる。} \end{align*}$

このことから、一般項ａ_nは、ｎ→∞のとき、２つのグラフの交点のｘ座標に近づくことが分かります。

このように漸化式をグラフと関連付けることは、極限値が視覚的に見える（予測できる）というメリットがあります。

高校数学では抽象的な数式を扱うことが多いので、イメージの湧かない人が多いかもしれません。ですから、グラフで視覚化できると、問題に取り組みやすくなるのではないかと思います。

次は、いくつかの例をグラフを使って考えてみましょう。

極限値を予測してみよう

例題２

$\begin{align*} &\quad a_1 = 1 \ , \ a_{n+1} = \sqrt{ 2a_n + 3 } \\[ 7pt ] &\qquad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \end{align*}$

で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、 $\alpha$ の値を求めよ。

扱いの難しそうな漸化式ですが、グラフを使えば極限値を予測することができます。

極限値をグラフで予測する

$\begin{align*} &\text{漸化式より、$2$ つのグラフ} \\[ 5pt ] &\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = \sqrt{ 2x + 3 } \end{array} \right. \\[ 10pt ] &\text{の交点の $x$ 座標を考える。} \end{align*}$

２つのグラフを図示すると以下のようになります。

図からことが予想されます。これより、 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 3$ と予測できます。

グラフを用いずに極限値を予測するとすれば以下のようにします。

例題２の解答例

$\begin{align*} &\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha \ \text{とすると} \\[ 5pt ] &\quad \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n+1} = \alpha \\[ 7pt ] &\text{より、漸化式から} \\[ 5pt ] &\quad \alpha = \sqrt{2 \alpha +3} \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{①の両辺を $2$ 乗すると} \\[ 5pt ] &\quad {\alpha}^{2} = 2 \alpha +3 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad \alpha = -1 \ , \ 3 \\[ 7pt ] &\text{$\alpha = -1$ は①を満たさないので} \\[ 5pt ] &\quad \alpha = 3 \end{align*}$

一般項ａ_nの極限値が３であると予測したうえで答案を作成します。実際の記述では、一般項ａ_nを求めてから、ｎ→∞のときの極限値を求めます。

次の問題でも極限値を予測してみましょう。

例題３

$\begin{align*} &\quad a_1 = 3 \ , \ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{1}{a_n} \right) \\[ 7pt ] &\qquad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \end{align*}$

で定義される数列 $\{ a_n \}$ について、数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、 $\alpha$ の値を求めよ。

こちらも一見して扱いにくそうな漸化式です。こんな漸化式でもグラフを使えば極限値を予測できます。

極限値をグラフで予測する

$\begin{align*} &\text{漸化式より、$2$ つのグラフ} \\[ 5pt ] &\left\{ \begin{array}{l} y = x \\ y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right) \end{array} \right. \\[ 10pt ] &\text{の交点の $x$ 座標を考える。なお} \\[ 5pt ] &\quad {\scriptsize {y = \frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{x} \right)}} \\[ 7pt ] &\text{のグラフは} \\[ 5pt ] &\quad y=\frac{1}{2} x \ , \ y= \frac{1}{2x} \\[ 7pt ] &\text{のグラフを足し合わせて図示する。} \end{align*}$

２つのグラフを図示すると以下のようになります。

図からことが予想されます。これより、 $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = 1$ と予測できます。

例題のような隣接２項間の漸化式であれば、グラフを用いて極限値を予測できます。極限値を予測したうえで問題に取り組めるので、ほとんどの場合で答案を手際よく作成できるようになります。

ただし、実際には漸化式から一般項を求めたり、証明が必要だったりするので、あくまでも予測として利用しましょう。

例題２，３は誘導型の小問形式で出題

例題２，３のような問題は、一般に誘導型の問題になっています。たとえば例題３は、以下のような小問形式で出題されます。

例題２，３は実際は小問形式

$\begin{align*} &\quad a_1 = 3 \ , \ a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{1}{a_n} \right) \\[ 7pt ] &\qquad (n = 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \ , \cdots ) \\[ 7pt ] &\text{で定義される数列 $\{ a_n \}$ について} \\[ 5pt ] &(1) \ \text{数列 $\{a_n\}$ が極限値 $\alpha$ をもつとき、$\alpha$ の値を求めよ。} \\[ 7pt ] &(2) \ (1) \ \text{の $\alpha$ について、$a_n \geqq 1 \ , \ a_{n+1} -1 \leqq \frac{1}{2} \left( a_{n} -1 \right)$ を示せ。} \\[ 7pt ] &(3) \ \displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n = \alpha \ \text{であることを示せ。} \end{align*}$

小問(2)，(3)はグラフを見れば明らかですが、きちんと証明する必要があります。

また、小問をひとまとめにして出題される場合もあります。そのような場合でも、小問形式の問題をしっかりマスターしておけばきちんと対応できるでしょう。

次ページでは隣接２項間の漸化式について解説しています。数学Ｂの数列では頻出なので、少しでも足しになれば幸いです。

数学３極限,数列,漸化式,特性方程式

Posted by kiri

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