整数の性質｜１次不定方程式について
今回は１次不定方程式について学習しましょう。この単元も頻出です。
マーク形式の入試でも１次不定方程式を扱った問題が出題されています。得点源にできると有利なので、十分に演習をこなしておきましょう。
１次不定方程式の単元で学習すること
この単元では、以下のような事柄を学習します。
１次不定方程式の単元で学習する事柄
- １次不定方程式について
- １次不定方程式の解き方と解の表し方
新しい用語や定理が出てきます。まずは文言通りに正しく覚えることが大切です。
１次不定方程式について
厳密に言えば、２元１次不定方程式です。この方程式は、２種類の文字を含む１次式を使った等式です。
中学では、方程式の解がただ１つに定まらない例として、連立方程式の単元で挙げられています。以下、単に１次不定方程式と記載します。
例えば、１次不定方程式は以下のような式です。
１次不定方程式の例
\begin{align*} &\quad 5x-2y=1 \\[ 7pt ] &\quad 5x+3y=4 \\[ 7pt ] &\quad 3x+4y=5 \end{align*}係数は基本的に整数です。ただし、応用問題になると、係数が分数や小数になるかもしれません。
このような１次不定方程式を満たす解は、ただ１つに定まらず、無数にあるのが特徴です。なお、連立方程式になると、解はただ１つに定まります。
１次不定方程式は、一般に以下のように定義されます。
１次不定方程式の定義
$a \ , \ b \ , \ c$ を整数の定数とするとき
\begin{align*} \quad ax+by=c \end{align*}で表される式。
ただし、$a \neq 0 \ , \ b \neq 0$
１次不定方程式の無数にある解の中でも、整数ｘ，ｙの組のことを整数解と言います。この整数解を求めることを１次不定方程式を解くと言います。
用語のまとめ
- １次不定方程式：２種類の文字ｘ，ｙを含む１次式を用いた等式。係数は０でない整数
- １次不定方程式の整数解：１次不定方程式を満たす整数ｘ，ｙの組
- １次不定方程式を解く：整数解を求めること
この単元では、１次不定方程式の解き方や整数解の表し方を中心に学習します。
１次不定方程式の解き方と解の表し方
１次不定方程式の解き方には少し工夫が必要です。なぜかと言うと、１次不定方程式の解は整数解であっても無数にあるからです。
１次不定方程式の整数解
\begin{align*} \quad 5x-2y=1 \end{align*}の整数解は
\begin{align*} \quad (x \ , \ y) = (1 \ , \ 2) \ , \ (3 \ , \ 7) \ , \ (5 \ , \ 12) \ , \cdots \end{align*}のように無数にある。
ただ１つに定まらない整数解をどのようにして求め、そしてどのようにして表すのか、ここが答案作成のポイントになります。
１次不定方程式の解き方
１次不定方程式と整数解の関係は、一般に以下のように表されます。
１次不定方程式と整数解の関係
$2$ つの整数 $a \ , \ b$ が互いに素であるならば、任意の整数 $c$ について
\begin{align*} \quad ax+by=c \end{align*}を満たす整数 $x \ , \ y$ が存在する。
また、整数解の $1$ つを
\begin{align*} \quad x=p \ , \ y=q \end{align*}とすると、すべての整数解は
\begin{align*} \quad x=bk+p \ , \ y=-ak+q \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}と表される。
２つの整数ａ，ｂが互いに素であることを忘れないようにしましょう。
また、すべての整数解は任意の整数ｋを用いて表されます。無数にある整数解を書き並べるには限界があるので、一般化するしかありません。
このように、すべての整数解は一般化された解で表され、一般解と言われます。
実際に具体例で確認してみましょう。
１次不定方程式の一般解を求めてみよう
例題
方程式 $5x-2y=1$ の整数解をすべて求めよ。
まず、１組の整数解を見つけることから始めましょう。
方程式のｘ，ｙに自分で整数を代入します。等式が成り立つのは、左辺の式の値が右辺と等しくなるときです。このときのｘ，ｙの値が方程式の整数解です。
整数解の１組くらいはすぐに見つかります。慌てずに代入して確かめてみましょう。
例題の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad 5x-2y=1 \quad \cdots \text{①} \end{align*}において、$x=1 \ , \ y=2$ のとき
\begin{align*} \quad (\text{左辺}) = 5 \cdot 1 -2 \cdot 2 = 1 \end{align*}より、等式が成り立つ。
よって、$x=1 \ , \ y=2$ は整数解の $1$ 組。
また、$x=1 \ , \ y=2$ を①に代入すると
\begin{align*} \quad 5 \cdot 1 -2 \cdot 2 = 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}整数解を見つけたら、この整数解を①式に代入します。このとき、②式の左辺は整数解を代入しただけにしておきましょう。
次に、①式を②式（整数解の１組を①に代入した式）で減算します。ここからが１次不定方程式の解き方で大切なところです。少しテクニカルですが、よく考えられており、興味深いところです。
例題の解答例 2⃣
\begin{align*} &\quad 5x-2y=1 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 5 \cdot 1 -2 \cdot 2 = 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}①－②より
\begin{align*} &5x& &-2y& &=1 \\ -) \quad &5 \cdot 1& &-2 \cdot 2& &= 1 \\ \hline \\ &5(x-1)& &-2(y-2)& &= 0 \end{align*}この減算によって、右辺が０になります。この式を変形します。
例題の解答例 3⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 5\left(x-1 \right)-2 \left(y-2 \right)= 0 \end{align*}これを変形すると
\begin{align*} \quad 5\left(x-1 \right)= 2\left(y-2 \right) \quad \cdots \text{③} \end{align*}①，②式を減算して右辺を０にすることで、③式を導出できます。整数解の１組を見つけたら、③式を導出しましょう。
１組の整数解 $(p \ , \ q)$ を見つけて
$\quad a(x-p)+b(y-q)=0$
を導出しよう。
③式を導出したら、左辺と右辺の関係を調べます。ここで上述した、２つの係数ａ，ｂの関係が効いてきます。
左辺は５の倍数で、右辺は２の倍数です。２と５は互いに素であるにもかかわらず、両辺が等しいことを表すのが③式です。
等式が成り立つには、右辺が２の倍数であれば、左辺も２の倍数であるはずです。また、左辺が５の倍数であれば、右辺も５の倍数であるはずです。
このような関係から、左辺のｘ－１は２の倍数であり、右辺のｙ－２は５の倍数であると言えます。
例題の解答例 4⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 5\left(x-1 \right)= 2\left(y-2 \right) \quad \cdots \text{③} \end{align*}③において、$2$ と $5$ は互いに素である。
よって、$x-1$ は $2$ の倍数である。
これより、$k$ を整数とすると
\begin{align*} \quad x-1 = 2k \quad \cdots \text{④} \end{align*}と表せるので
\begin{align*} \quad x = 2k +1 \end{align*}ｘの値を求めることができました。整数解は複数あるので、このように一般化した式で表す必要があります。
また、③，④式からｙの値を求めます。
例題の解答例 5⃣
\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 5\left(x-1 \right)= 2\left(y-2 \right) \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x-1 = 2k \quad \cdots \text{④} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x = 2k +1 \end{align*}④を③に代入すると
\begin{align*} \quad 5 \cdot 2k = 2\left(y-2 \right) \end{align*}これを $y$ について変形すると
\begin{align*} \quad y = 5k +2 \end{align*}したがって、求める整数解は
\begin{align*} \quad x = 2k +1 \ , \ y = 5k +2 \ \text{（ $k$ は整数）} \end{align*}きちんと定義通りの整数解を得ることができました。③式以降の流れでは、左辺と右辺の因数に注目しています。
このことは、公約数や公倍数を求めるとき、素因数分解して因数の関係を考えたことと同じようなことをしています。
１次不定方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃの一般解を求める手順をまとめておきましょう。
１次不定方程式ａｘ＋ｂｙ＝ｃの一般解を求める手順
- １組の整数解ｘ＝ｐ，ｙ＝ｑを見つける。
- 方程式に整数解を代入してａ・ｐ＋ｂ・ｑ＝ｃ（①式）をつくる。
- 方程式を①式で減算してａ(ｘ－ｐ)＋ｂ(ｙ－ｑ)＝０（②式）をつくる。
- ②式を変形してａ(ｘ－ｐ)＝－ｂ(ｙ－ｑ) （③式）とする。
- ③式とａ，ｂが互いに素であることからｘ－ｐ＝ｂｋ（ｋは整数）を導く。
- ｘ－ｐ＝ｂｋを③式に代入してｙ－ｑ＝－ａｋを導く。
- 手順５，６で得られた式を整理すると、一般解ｘ＝ｂｋ＋ｐ，ｙ＝－ａｋ＋ｑ（ｋは整数）
次は１次不定方程式を扱った問題を実際に解いてみましょう。