２次関数｜２次不等式の解法について（基本編）
今回は２次不等式の解法について学習しましょう。
２次不等式を解くためには、２次関数や２次方程式の知識が必要です。忘れてしまった人は復習しておきましょう。
こちらの記事で復習できます。
２次不等式について
２次不等式とは２次の項をもつ不等式のことです。たとえば、以下のような式が２次不等式です。
２次不等式の例
\begin{align*} &\quad {x}^{2}-3x+4 \leqq 0 \\[ 7pt ] &\quad {x}^{2}-3x-1 \geqq 0 \end{align*}このような２次不等式は、残念ながら１次不等式と同じように不等式の性質を利用して解けません。ですから別の手段で解きます。この別の手段が２次関数や２次方程式です。
２次不等式の解法は２次関数と２次方程式の合わせ技
２次不等式を解くとき、２次関数と２次方程式の知識を持ち合わせて解きます。
しかし、２次不等式は、不等式とあるように、２次関数や２次方程式などの等式とは異なります。
このままでは、２次関数と２次方程式を利用することができません。そのために、２次不等式に手を加えます。
２次不等式を関数化する
たとえば、以下のような２次不等式を解く場合を考えます。
例題
次の２次不等式の解を求めよ。
\begin{equation*} \quad {x}^{2}-2x-3 \lt 0 \end{equation*}この問題を２次関数や２次方程式を扱った問題に置き換えます。
例題の言い換え
次の $2$ 次関数の定義域を求めよ。
$2$ 次関数
\begin{equation*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \end{equation*}について、$y \lt 0$ を満たす
このように、２次不等式の問題は、２次関数の定義域や値域に関する問題に置き換えることができます。
置き換えから分かるように、２次不等式の解は、２次関数の値域を満たす定義域のことになります。
２次不等式の問題は、２次関数の定義域を求める問題にすり替えてしまおう。
（２次不等式）＝（２次関数＋値域）
２次不等式のままでは関数ではないので、左辺の２次式を「ｙ＝」でつないで２次関数の式にします。たったこれだけで２次不等式を関数にすることができます。
２次不等式から２次関数の式へ
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 \lt 0 \end{align*}与えられた不等式において
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \end{align*}とおくと
\begin{align*} \quad y \lt 0 \end{align*}よって、与式は
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \quad \left( y \lt 0 \right) \end{align*}と置き換えできる。
２次関数ができれば、式の右辺を平方完成してグラフを描くことができるようになります。
ただし、与式は不等式だったので、グラフを描くときに値域の条件（ｙ＜０）を忘れないようにしましょう。
２次関数の値域を忘れずに
２次不等式から２次関数へ置き換えるとき、２次関数の値域の条件が出てきます。値域は、不等式の左辺をｙとおいたときに得られる範囲です。
値域の条件を忘れずに
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 \lt 0 \end{align*}与えられた不等式において
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \quad \cdots \text{①} \end{align*}とおくと
\begin{align*} \quad y \lt 0 \end{align*}これは①の値域である。
関数に値域が存在するとき、それに対応する定義域が存在します。
この定義域は、値域を満たすｘの値の範囲です。そして、この定義域が２次不等式を満たすｘの範囲、すなわち２次不等式の解になります。
これまでから分かるように、「２次不等式を解く」というのは「値域を満たす定義域を求める」ということを意味します。
定義域はグラフとｘ軸との共有点から求める
２次不等式から置き換えた２次関数で解く
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 \lt 0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \quad \left( y \lt 0 \right) \end{align*}例で言えば、値域ｙ＜０に対応する定義域が分かれば、２次不等式の解が分かります。
グラフを描くと、値域がｙ＜０のとき、グラフはｘ軸よりも下の部分が残ります。
２次不等式を解くとき、２次関数に置き換えると、基本的にグラフがｘ軸の上か下のどちらが残るかを考えるだけで良くなる。値域がｙ＜０のとき、グラフはｘ軸よりも下の部分が残る。
値域の不等号（＜）からｘ軸（ｙ＝０のとき）との共有点が含まれないことは分かります。しかし、値域ｙ＜０に対応する定義域を求めるには、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を知る必要があります。
グラフとｘ軸との共有点のｘ座標は、２次関数の式においてｙ＝０のときの２次方程式を解くことで得られます。
ここで２次方程式の登場です。グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求めるために２次方程式を利用します。
２次関数から２次方程式へ
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 \lt 0 \end{align*}より
\begin{align*} \quad y = {x}^{2}-2x-3 \quad \left( y \lt 0 \right) \end{align*}ここで、$y=0$ のとき
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 = 0 \end{align*}２次方程式を作ったら、それを解いて共有点のｘ座標を求めます。２次方程式を解くとき、因数分解または解の公式を利用します。求めた座標が定義域に必要な値です。
２次方程式を解く
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 = 0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 &= 0 \\[ 7pt ] \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) &= 0 \\[ 7pt ] \therefore \ x &= -1 \ , \ 3 \end{align*}共有点のｘ座標をグラフに追記し、グラフを見ながら値域に対応する定義域を調べます。この定義域が２次不等式の解となります。
値域に対応する定義域を求める
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad {x}^{2}-2x-3 &= 0 \\[ 7pt ] \left( x+1 \right)\left( x-3 \right) &= 0 \\[ 7pt ] \therefore \ x &= -1 \ , \ 3 \end{align*}よって、$y \lt0 $ を満たすのは
\begin{align*} \quad -1 \lt x \lt 3 \end{align*}これが $2$ 次不等式の解になる。
定義域を見ると、下限値や上限値が共有点のｘ座標になっていることに気付きます。このことは、グラフを描くとよく分かるでしょう。
関数の値域や定義域は、グラフを描いて求めよう。
以上のようにして２次不等式を解きます。２次不等式を解く流れをまとめてみましょう。
２次不等式を解く流れ
- ２次不等式を、２次関数と値域に置き換える。
- ２次方程式を作り、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求める。
- グラフ・値域・共有点のｘ座標を使って定義域（＝２次不等式の解）を求める。
こうして２次不等式の解法を見てみると、「２次不等式を解く」と言うよりも「２次関数とその値域から定義域を求めている」と言った方がしっくりします。
２次不等式では、２次方程式と同じように２次関数のグラフに絡めた問題が多く出題されます。
ですから、方程式・不等式に限らず２次式を見たら２次関数のグラフをイメージすると、解決の糸口をつかめるかもしれません。
数学２になると、三角関数や指数・対数関数、そして３次関数などを学習する。これらも２次関数に帰結させて解くことが多い。今のうちに２次関数・２次方程式・２次不等式をしっかりとマスターしておきたい。
次は、２次不等式の解法をパターン別にみていきましょう。