図形と方程式｜円上の点における接線について

08/07/2022数学２

円上の点における接線を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

(1) 円 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ 上の点 $(4, 6)$ における、この円の接線の方程式を求めよ。

(2) 円 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 13$ 上の点 $(- 1, 0)$ における、この円の接線の方程式を求めよ。

入試レベルでは、問(1)のように一般形で与えられることがほとんどです。きちんと変形できるようにしておきましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

円 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0$ 上の点 $(4, 6)$ における、この円の接線の方程式を求めよ。

与式のままでは中心が分からないので、与式を変形します。

問(1)の解答例 1⃣

与式を変形すると

\begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y - 20 = 0 \\ {(x - 1)}^{2} - 1 + {(y - 2)}^{2} - 4 - 20 = 0 \\ {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25 \end{aligned}

よって、円の中心は $(1, 2)$ である。

円の中心が分かったので、中心が原点にくるように円を平行移動します。これに伴って、接点の座標が変わるので注意しましょう。

問(1)の解答例 2⃣

中心 $(1, 2)$ が原点にくるように平行移動すると、接点は $(4 - 1, 6 - 2)$ に移る。

この接点における接線の方程式は

\begin{array}{r} (4 - 1) x + (6 - 2) y = 25 \end{array}

と表せる。

平行移動後の接線は、原点を中心とする円の接線です。これをもとの位置に平行移動します。

はじめにｘ軸方向に－１だけ、ｙ軸方向に－２だけ平行移動したので、その反対のぶんだけ移動させます。つまり、ｘ軸方向に＋１だけ、ｙ軸方向に＋２だけ平行移動させると、元の位置に戻ります。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{aligned} ⋮ \\ (4 - 1) x + (6 - 2) y = 25 \\ ⋮ \end{aligned}

この接線を $x$ 軸方向に $1$ 、 $y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動したものが、円上の点 $(4, 6)$ における接線の方程式である。

よって、その方程式は

\begin{array}{r} (4 - 1) (x - 1) + (6 - 2) (y - 2) = 25 \end{array}

これを整理すると

\begin{array}{r} 3 x + 4 y - 36 = 0 \end{array}

ここでは、例題に合わせて解きましたが、一般には以下のように解きます。

問(1)の別解例

与式を変形すると

\begin{array}{r} {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25 \dots ① \end{array}

円①上の点 $(4, 6)$ における接線の方程式は

\begin{array}{r} (4 - 1) (x - 1) + (6 - 2) (y - 2) = 25 \end{array}

これを整理すると

\begin{array}{r} 3 x + 4 y - 36 = 0 \end{array}

公式に代入してしまうので、記述はほとんどしなくて済みます。代入する数と文字との対応関係を間違わないように気を付けましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

円 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 13$ 上の点 $(- 1, 0)$ における、この円の接線の方程式を求めよ。

問(2)では、円の方程式が基本形で与えられています。基本形であれば、円の中心や半径が方程式からすぐに分かります。

問(1)と同様に、与えられた円が原点中心の円となるように平行移動します。平行移動に伴って、接点の座標も変わるので気を付けましょう。

問(2)の解答例 1⃣

与式から、円の中心は $(- 3, 3)$ であり、これが原点にくるように平行移動すると、接点は $(- 1 + 3, 0 - 3)$ に移る。

この接点における接線の方程式は

\begin{array}{r} (- 1 + 3) x + (0 - 3) y = 13 \end{array}

と表せる。

平行移動後の接線は、原点を中心とする円の接線です。これをもとの位置に平行移動します。

はじめにｘ軸方向に３だけ、ｙ軸方向にー３だけ平行移動したので、その反対のぶんだけ移動させます。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{aligned} ⋮ \\ (- 1 + 3) x + (0 - 3) y = 13 \\ ⋮ \end{aligned}

この接線を $x$ 軸方向に $- 3$ 、 $y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動したものが、円上の点 $(- 1, 0)$ における接線の方程式である。

よって、その方程式は

\begin{array}{r} (- 1 + 3) {x - (- 3)} + (0 - 3) (y - 3) = 13 \end{array}

これを整理すると

\begin{aligned} 2 (x + 3) - 3 (y - 3) = 13 \\ 2 x + 6 - 3 y + 9 = 13 \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} 2 x - 3 y + 2 = 0 \end{array}

原点中心の円以外での、円の接線の求め方を理解するために、例題通りに解きました。図形の平行移動がポイントになることが理解できたのではないでしょうか。

一般には、原点中心でなくても接線の公式があるので、それを利用して求めます。

問(2)の別解例

与式を①とする

\begin{array}{r} {(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 13 \dots ① \end{array}

円①上の点 $(- 1, 0)$ における接線の方程式は

\begin{array}{r} (- 1 + 3) (x + 3) + (0 - 3) (y - 3) = 13 \end{array}

これを整理すると

\begin{aligned} 2 (x + 3) - 3 (y - 3) = 13 \\ 2 x + 6 - 3 y + 9 = 13 \end{aligned}

よって

\begin{array}{r} 2 x - 3 y + 2 = 0 \end{array}

公式を利用すれば簡単に求めることができますが、どのような過程で公式が得られるのかを理解しておくことが大切です。入試レベル、特に共通テストでは、導出の過程を問われることが意外と多いので注意しましょう。

円の接線の方程式の覚え方

円の接線の方程式を覚えるのは、それほど難しくありません。特徴的なので演習をいくつかこなせばすぐに覚えてしまうでしょう。

円の接線の方程式(原点中心)

\begin{array}{r} x^{2} + y^{2} = r^{2} \dots ① \end{array}

円①上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式

$x, y$ の累乗表記をばらして

\begin{array}{r} x x + y y = r^{2} \end{array}

一方の $x, y$ に接点を代入すると

\begin{array}{r} x_{1} x + y_{1} y = r^{2} \end{array}

円の接線の方程式(原点中心以外)

\begin{array}{r} {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} \dots ② \end{array}

円②上の点 $(x_{1}, y_{1})$ における接線の方程式は

$x, y$ の累乗表記をばらして

\begin{array}{r} (x - a) (x - a) + (y - b) (y - b) = r^{2} \end{array}

一方の $x, y$ に接点を代入すると

\begin{array}{r} (x_{1} - a) (x - a) + (y_{1} - b) (y - b) = r^{2} \end{array}

公式を覚えるときは、導出の過程にも注目しよう。

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