数学２
繁分数式の計算を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
問
次の計算をせよ。
\begin{equation*}
(1) \quad \cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} }
\end{equation*}
\begin{equation*}
(2) \quad \cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}}
\end{equation*}
繁分数式の計算では、丁寧に記述しないと間違えやすいので注意しましょう。最初はスピードのことは考えず、丁寧に計算しましょう。
問(1)の解答・解説（割り算に戻す方法）
問(1)
次の計算をせよ。
\begin{equation*}
\quad \cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} }
\end{equation*}
まず、割り算に戻す方法を用いて計算します。繁分数式を割り算で表します。
問(1)の解答例 1⃣
\begin{equation*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } = \left( \frac{1+x}{1-x} – \frac{1-x}{1+x} \right) \div \left( \frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} \right)
\end{equation*}
割り算に戻したら、割られる式（繁分数式の分母）と割る式（繁分数式の分子）をそれぞれ整理します。これは割り算する前にしておきます。どちらの式にも分数が含まれるので、通分して１つの分数にまとめます。
問(1)の解答例 2⃣
\begin{align*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } &= \left( \frac{1+x}{1-x} – \frac{1-x}{1+x} \right) \div \left( \frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} \right) \\[ 15pt ]
&= \left\{ \frac{(1+x)^{\scriptsize{2}}}{(1-x)(1+x)} – \frac{(1-x)^{\scriptsize{2}}}{(1+x)(1-x)} \right\} \div \left\{ \frac{(1+x)^{\scriptsize{2}}}{(1-x)(1+x)} + \frac{(1-x)^{\scriptsize{2}}}{(1+x)(1-x)} \right\} \\[ 10pt ]
&= \left\{ \frac{(1+x)^{\scriptsize{2}}-(1-x)^{\scriptsize{2}}}{(1-x)(1+x)} \right\} \div \left\{ \frac{(1+x)^{\scriptsize{2}}+(1-x)^{\scriptsize{2}}}{(1-x)(1+x)} \right\} \\[ 10pt ]
&= \frac{4x}{(1-x)(1+x)} \div \frac{2+2x^{\scriptsize{2}}}{(1-x)(1+x)} \\[ 10pt ]
&= \frac{4x}{(1-x)(1+x)} \div \frac{2(1+x^{\scriptsize{2}})}{(1-x)(1+x)}
\end{align*}
割られる式と割る式の整理が終わったら、割り算を掛け算に置き換えます。このとき、約分できれば約分してから掛け算します。
問(1)の解答例 3⃣
\begin{align*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } &= \left( \frac{1+x}{1-x} – \frac{1-x}{1+x} \right) \div \left( \frac{1+x}{1-x} + \frac{1-x}{1+x} \right) \\[ 10pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= \frac{4x}{(1-x)(1+x)} \div \frac{2(1+x^{\scriptsize{2}})}{(1-x)(1+x)} \\[ 10pt ]
&= \frac{4x}{(1-x)(1+x)} \times \frac{(1-x)(1+x)}{2(1+x^{\scriptsize{2}})} \\[ 10pt ]
&= \frac{2x}{1+x^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}
計算のコツ
頻繁にではありませんが、意外と目にする計算があります。問(1)でも見られました。
展開するのが基本だが…
\begin{align*}
(1+x)^{\scriptsize{2}}-(1-x)^{\scriptsize{2}} &= 1+2x+x^{\scriptsize{2}}-(1-2x+x^{\scriptsize{2}}) \\[ 5pt ]
&= 1+2x+x^{\scriptsize{2}}-1+2x-x^{\scriptsize{2}}) \\[ 5pt ]
&= 4x
\end{align*}
ほとんどの人が展開して整理するのではないかと思います。ただ、今回のような計算では、展開すると項の数が増えるので、それだけで式が複雑に見えてしまいます。ですから、以下のような計算のやり方もあるのだと知っておくと、暗算で計算できます。
因数分解の方が楽なときもある
\begin{align*}
(1+x)^{\scriptsize{2}}-(1-x)^{\scriptsize{2}} &= \left\{ \left(1+x \right)+\left(1-x \right) \right\} \left\{ \left(1+x \right)-\left(1-x \right) \right\} \\[ 5pt ]
&= 2 \cdot 2x \\[ 5pt ]
&= 4x
\end{align*}
展開でも因数分解でも行数は変わりませんが、頭の中での負担は違います。カッコの中の式を足したものと引いたものを掛ければ良いので、慣れると暗算できるようになります。
項の数が増えると、記述するのが面倒なだけでなく、書き間違いなども起きやすくなります。できる限りミスの起きない記述を心掛けることが大切です。
問(1)の解答・解説（分母と分子に同じ式を掛ける方法）
次に、分母と分子に同じ式を掛ける方法を用いて計算します。分数が整式となるように、同じ式を分母と分子に掛け算します。
問(1)の別解例 1⃣
\begin{align*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } &= \cfrac{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) }{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) } \\[ 12pt ]
&= \frac{ (1+x)^{\scriptsize{2}}-(1-x)^{\scriptsize{2}} }{ (1+x)^{\scriptsize{2}}+(1-x)^{\scriptsize{2}} }
\end{align*}
分母と分子の分数が整式になりましたが、多項式のままなので、展開して同類項を整理します。
問(1)の別解例 2⃣
\begin{align*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } &= \cfrac{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) }{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) } \\[ 12pt ]
&= \frac{ (1+x)^{\scriptsize{2}}-(1-x)^{\scriptsize{2}} }{ (1+x)^{\scriptsize{2}}+(1-x)^{\scriptsize{2}} } \\[ 10pt ]
&= \frac{ 4x }{ 2+2x^{\scriptsize{2}} }
\end{align*}
最後に約分の確認をします。
問(1)の別解例 3⃣
\begin{align*}
\cfrac{ \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} }{ \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} } &= \cfrac{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}-\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) }{ \left( \cfrac{1+x}{1-x}+\cfrac{1-x}{1+x} \right) \times (1-x)(1+x) } \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= \frac{ 4x }{ 2+2x^{\scriptsize{2}} } \\[ 10pt ]
&= \frac{ 4x }{ 2(1+x^{\scriptsize{2}}) } \\[ 10pt ]
&= \frac{ 2x }{ 1+x^{\scriptsize{2}} }
\end{align*}
割り算に戻して計算する方法では、式が見やすいので計算ミスを防げそうです。しかし、通分するのが意外と面倒です。
それに対して、分母と分子に同じ式を掛ける方法では、見やすさはやや劣るかもしれません。しかし、式を掛けることで分数が減っていくので、気分的にこちらの方が使いやすいのではないかと思います。
問(2)の解答・解説（分母と分子に同じ式を掛ける方法）
問(2)
次の計算をせよ。
\begin{equation*}
\quad \cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}}
\end{equation*}
問(2)では分母と分子に同じ式を掛ける方法の方が計算しやすいだろうと予想できます。
解答例としては、分母と分子に同じ式を掛ける方法を優先します。なお、別解として、割り算に戻す方法での計算も紹介しておくので、どちらが自分に向いているか解き比べてみましょう。
問(2)の解答例 1⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x^{\scriptsize{2}}-1) \times (x-1)}{\left(x-\cfrac{2}{x-1} \right) \times (x-1)}} \\[ 12pt ]
&= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x^{\scriptsize{2}}-1)(x-1)}{x(x-1)-2}} \quad \text{（分母を展開して整理する）} \\[ 10pt ]
&= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x^{\scriptsize{2}}-1)(x-1)}{x^{\scriptsize{2}}-x-2}} \quad \text{（分母と分子を因数分解する）} \\[ 10pt ]
&= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x-1)(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-2)}} \quad \text{（約分する）} \\[ 10pt ]
&= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2}}
\end{align*}
２～４行目について、繁分数式の分母にある分数の分母だけを展開して整理しています。約分できる可能性や、まだ繁分数式のままであることを考えて、むやみに展開しないように気をつけましょう。
積の関係（単項式）になっていれば、できるだけそのままにしておく。多項式は同類項を整理して因数分解しよう。
まだ繁分数式なので、さらに分母と分子に同じ式を掛けます。
問(2)の解答例 2⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x^{\scriptsize{2}}-1) \times (x-1)}{\left( x-\cfrac{2}{x-1} \right) \times (x-1)}} \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2}} \\[ 10pt ]
&= \cfrac{1 \times (x-2)}{\left\{ x-\cfrac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2} \right\} \times (x-2)} \\[ 10pt ]
&= \frac{x-2}{x(x-2)-(x-1)^{\scriptsize{2}}}
\end{align*}
ようやく扱いやすい分数式になりました。分母が多項式なので、展開して整理します。
問(2)の解答例 3⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= \cfrac{1}{x-\cfrac{(x^{\scriptsize{2}}-1) \times (x-1)}{\left( x-\cfrac{2}{x-1} \right) \times (x-1)}} \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= \frac{x-2}{x(x-2)-(x-1)^{\scriptsize{2}}} \\[ 10pt ]
&= \frac{x-2}{x^{\scriptsize{2}}-2x-(x^{\scriptsize{2}}-2x+1)} \\[ 10pt ]
&= \frac{x-2}{-1} \\[ 10pt ]
&= -x+2
\end{align*}
展開して整理すると、分母が－１になりました。多項式があれば整理しましょう。
また、何度も分母と分子に同じ式を掛ける場合、どの分数式の分母と分子に式を掛けるのかを意識しましょう。
問(2)の解答・解説（割り算に戻す方法）
別解では、割り算に戻す方法を用いて計算します。繁分数式を割り算で表します。
問(2)の別解例 1⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= 1 \div \left( x-\frac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\frac{2}{x-1}} \right) \quad \text{（さらに分数式を割り算に戻す）} \\[ 12pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left( x – \frac{2}{x-1} \right) \right\} \right]
\end{align*}
割り算に戻したら、一番内側にあった分数から処理していきます。通分して整理します。
問(2)の別解例 2⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= 1 \div \left( x-\frac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\frac{2}{x-1}} \right) \\[ 12pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left( x – \frac{2}{x-1} \right) \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left\{ \frac{x(x-1)}{x-1} – \frac{2}{x-1} \right\} \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \frac{x(x-1)-2}{x-1} \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-2}{x-1} \right\} \right]
\end{align*}
割り算があるので、割り算を掛け算に置き換えます。また、掛け算する前に、約分できるように因数分解しておきます。
問(2)の別解例 3⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= 1 \div \left\{ x – (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left( x- \frac{2}{x-1} \right) \right\} \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \frac{x^{\scriptsize{2}}-x-2}{x-1} \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x^{\scriptsize{2}}-1) \times \frac{x-1}{x^{\scriptsize{2}}-x-2} \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left[ x – \left\{ (x-1)(x+1) \times \frac{x-1}{(x-2)(x+1)} \right\} \right] \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left\{ x – \frac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2} \right\}
\end{align*}
割る式がまだ多項式なので、割る式を整理してから割り算します。通分して分数式を１つにまとめます。
問(2)の別解例 4⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= 1 \div \left\{ x – (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left( x- \frac{2}{x-1} \right) \right\} \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left\{ x – \frac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2} \right\} \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left\{ \frac{x(x-2)}{x-2} – \frac{(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2} \right\} \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left\{ \frac{x(x-2)-(x-1)^{\scriptsize{2}}}{x-2} \right\} \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left\{ \frac{x^{\scriptsize{2}}-2x-(x^{\scriptsize{2}}-2x+1)}{x-2} \right\} \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left( \frac{-1}{x-2} \right)
\end{align*}
通分したら、分子を展開して整理しましょう。それが終わったら、割り算を掛け算に置き換えて計算します。
問(2)の別解例 5⃣
\begin{align*}
\cfrac{1}{x-\cfrac{x^{\scriptsize{2}}-1}{x-\cfrac{2}{x-1}}} &= 1 \div \left\{ x – (x^{\scriptsize{2}}-1) \div \left( x- \frac{2}{x-1} \right) \right\} \\[ 12pt ]
&= \quad \vdots \\[ 10pt ]
&= 1 \div \left( \frac{-1}{x-2} \right) \\[ 10pt ]
&= 1 \times \left( \frac{x-2}{-1} \right) \\[ 10pt ]
&= 1 \times (-x+2) \\[ 10pt ]
&= -x+2
\end{align*}
丁寧に記述すると計算過程が長くなりますが、最初のうちはそれで構いません。計算の流れが把握できるまでは、やることを１つずつにした方が結局は回り道しなくて済みます。
もし、慣れないうちにいくつかの手順をまとめてしまうと、習熟度が足りないせいで躓かなくて良いところで躓いてしまいます。なぜ躓いたのかも分かりにくくなるので、やり直しに時間が掛かります。
慣れるまでは、できるだけやることを単純化して、躓きに気付きやすくしよう。慣れるまでは手順を飛ばさないこと。
Recommended books
計算力は重要な要素となります。試験では考える時間を多く取るために、いかに計算を手早く行うかが重要です。
計算力の有無は、数学２・Ｂや数学３では顕著になります。計算に時間がかかりすぎては解けるものも解けません。後悔しないためにも日頃からしっかり鍛えておきましょう。
これから紹介する教材で気になるものがあれば、ぜひ一読してみて下さい。気に入ったら最後まで徹底的にこなしましょう。
さいごにもう一度まとめ
- 繁分数式は分母や分子に分数式のある式。
- 繁分数式の計算では、分母と分子をしっかり見極めよう。
- 繁分数式の計算では、割り算に戻して計算しよう。
- 繁分数式の計算では、分母と分子に同じ式を掛けて分数式を整式にしよう。
- どちらの計算方法でも、繁分数式を変形するイメージを持とう。
