データの分析｜データの散らばりについてその２

07/11/2021数学１

分散や標準偏差などを扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問１

$10$ 個の自然数からなるデータ

$\begin{equation*} \quad 13 \ , \ 9 \ , \ a \ , \ 12 \ , \ 9 \ , \ 13 \ , \ 11 \ , \ b \ , \ 8 \ , \ 9 \end{equation*}$

がある。これらの平均値が $10$ で、標準偏差が $2$ であるとき、 $a \ , \ b$ の値を求めよ。

ただし、 $a \lt b$ とする。

問１の解答・解説

問１は、平均値や標準偏差からもとのデータの値を求める問題です。公式を用いて、ａ，ｂについての方程式を導出できるかがポイントです。

平均値や分散を求めやすいように、表を利用します。

問１の解答例 1⃣

$\begin{align*} \begin{array}{c|c|c} x_{\scriptsize{k}} & x_{\scriptsize{k}} \ – \overline{x} & \bigl(x_{\scriptsize{k}} \ – \overline{x} \bigr)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] \hline 13 & 3 & 9 \\[ 5pt ] \hline 9 & -1 & 1 \\[ 5pt ] \hline a & a-10 & (a-10)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] \hline 12 & 2 & 4 \\[ 5pt ] \hline 9 & -1 & 1 \\[ 5pt ] \hline 13 & 3 & 9 \\[ 5pt ] \hline 11 & 1 & 1 \\[ 5pt ] \hline b & b-10 & (b-10)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] \hline 8 & -2 & 4 \\[ 5pt ] \hline 9 & -1 & 1 \\[ 5pt ] \hline \scriptsize{\text{計}} & a + b -16 & (a-10)^{\scriptsize{2}} + (b-10)^{\scriptsize{2}} + 30 \end{array} \end{align*}$

平均値がすでに分かっているので、偏差や偏差の２乗の欄にも値を記入しておきます。

一般に、平均値、分散、標準偏差の順に計算することが多い。３つの関係に合わせて表にまとめよう。

平均値や分散から方程式を導出しますが、表の計の欄に記入した数式を利用します。

また、平均値を求めるとき、そのまま公式を用いても問題ありませんが、ここでは以下のことを利用します。

偏差の和は必ず０になる ⇒ 「平均する＝偏差の和を０にする」

この性質を利用すると、平均値の計算がいくらか楽になります。

問１の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{偏差の和は $0$ となるので、表より} \\[ 5pt ] &\quad a+b-16=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a+b=16 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{また、標準偏差が $2$ であるので、分散は $4$ となる。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{10} \left\{(a-10)^{\scriptsize{2}} + (b-10)^{\scriptsize{2}} + 30 \right\} = 4 \\[ 7pt ] &\text{これを整理すると} \\[ 5pt ] &\quad (a-10)^{\scriptsize{2}} + (b-10)^{\scriptsize{2}} + 30 = 40 \\[ 7pt ] &\quad (a-10)^{\scriptsize{2}} + (b-10)^{\scriptsize{2}} – 10 = 0 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$

標準偏差は分散の正の平方根なので、分散は標準偏差を２乗した値です。分散から標準偏差を求めることは多いですが、その逆はあまり多くありません。気付きにくいので注意しましょう。

ａ，ｂについての方程式が２つ得られたので、これらを連立させて解きます。

問１の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a + b = 16 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad (a-10)^{\scriptsize{2}} + (b-10)^{\scriptsize{2}} – 10 = 0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{①より} \\[ 5pt ] &\quad b = -a + 16 \\[ 7pt ] &\text{を②に代入すると} \\[ 5pt ] &\quad (a-10)^{\scriptsize{2}} + (-a+16-10)^{\scriptsize{2}} – 10 = 0 \\[ 7pt ] &\quad (a-10)^{\scriptsize{2}} + (6-a)^{\scriptsize{2}} – 10 = 0 \\[ 7pt ] &\text{これを解くと} \\[ 5pt ] &\quad 2a^{\scriptsize{2}} – 32a + 126 = 0 \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}} – 16a + 63 = 0 \\[ 7pt ] &\quad (a-7)(a-9) = 0 \\[ 7pt ] &\quad a = 7 \ , \ 9 \\[ 7pt ] &\text{①と $a \lt b$ より} \\[ 5pt ] &\quad a = 7 \ , \ b = 9 \end{align*}$

単に公式を使うだけでなく、分散と標準偏差の意味や関係なども用いて方程式を導出する問題でした。そういう意味ではより実践的な問題でした。

次の問題を解いてみましょう。

問２

次のデータは、ある年のある年の月ごとの最低気温を並べたものである。

$\begin{align*} &\quad -12 \ , \ -9 \ , \ -3 \ , \ 3 \ , \ 10 \ , \ 17 \ , \ 20 \ , \\[ 7pt ] &\qquad 19 \ , \ 15 \ , \ 7 \ , \ 1 \ , \ -8 \ \text{（単位は℃）} \end{align*}$

$(1)$ このデータの平均値を求めよ。

$(2)$ このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $-3$ ℃が $-1$ ℃、 $3$ ℃が $2$ ℃、 $19$ ℃が $18$ ℃であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値と分散は、修正前と比べるとどうなるか。

問２は、データの修正によって、平均値や分散がどのように変化するかを考える問題です。入試では差がつきそうな問題です。

問２(1)の解答・解説

問２(1)

次のデータは、ある年のある年の月ごとの最低気温を並べたものである。

$\begin{align*} &\quad -12 \ , \ -9 \ , \ -3 \ , \ 3 \ , \ 10 \ , \ 17 \ , \ 20 \ , \\[ 7pt ] &\qquad 19 \ , \ 15 \ , \ 7 \ , \ 1 \ , \ -8 \ \text{（単位は℃）} \end{align*}$

このデータの平均値を求めよ。

問２(1)は、データの平均値を求める問題です。修正前のデータを表にまとめます。データの変量をｘとし、データの総和を求めて表に記入しておきます。

問２(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} \begin{array}{c|c} x_{\scriptsize{k}} & \scriptsize{\text{修正前}} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{1}} & -12 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{2}} & -9 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{3}} & -3 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{4}} & 3 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{5}} & 10 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{6}} & 17 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{7}} & 20 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{8}} & 19 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{9}} & 15 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{10}} & 7 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{11}} & 1 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{12}} & -8 \\[ 5pt ] \hline \scriptsize{\text{計}} & 60 & \end{array} \end{align*}$

表の計の欄を参考にして、データの平均値を求めます。

問２(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\text{データの総和は $60$ より、平均値は} \\[ 5pt ] &\quad \frac{60}{12} = 5 \ \text{(℃)} \end{align*}$

表を利用すると、長い式を記述しなくて良いので便利です。また、値を桁を揃えて記入していけば計算しやすくなります。

問２(2)の解答・解説

問２(2)

次のデータは、ある年のある年の月ごとの最低気温を並べたものである。

$\begin{align*} &\quad -12 \ , \ -9 \ , \ -3 \ , \ 3 \ , \ 10 \ , \ 17 \ , \ 20 \ , \\[ 7pt ] &\qquad 19 \ , \ 15 \ , \ 7 \ , \ 1 \ , \ -8 \ \text{（単位は℃）} \end{align*}$

このデータの中で入力ミスが見つかった。正しくは $-3$ ℃が $-1$ ℃、 $3$ ℃が $2$ ℃、 $19$ ℃が $18$ ℃であった。この入力ミスを修正すると、このデータの平均値と分散は、修正前と比べるとどうなるか。

問２(2)は、データに修正があったとき、修正の前後で平均値や分散がどのように変化するかを考える問題です。先程の表に修正後のデータを追記します。

問２(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} \begin{array}{c|c|c} x_{\scriptsize{k}} & \scriptsize{\text{修正前}} & \scriptsize{\text{修正後}} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{1}} & -12 & -12 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{2}} & -9 & -9 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{3}} & -3 & \underline{-1} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{4}} & 3 & \underline{2} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{5}} & 10 & 10 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{6}} & 17 & 17 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{7}} & 20 & 20 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{8}} & 19 & \underline{18} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{9}} & 15 & 15 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{10}} & 7 & 7 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{11}} & 1 & 1 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{12}} & -8 & -8 \\[ 5pt ] \hline \scriptsize{\text{計}} & 60 & \end{array} \end{align*}$

修正後のデータの総和を求めても良いのですが、以下のことに注目します。

平均値の変化

$\begin{equation*} \quad \scriptsize{\text{平均値} = \frac{\text{データの総和}}{\text{データの大きさ}}} \end{equation*}$

データの大きさが変わらなければ、平均値はデータの総和で変化する。

データの大きさは変化しないので、平均値はデータの総和によって変化します。ですから、データが変更された箇所だけに注目して、データの総和が修正の前後でどれだけ変わったかを考えます。

問２(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\begin{array}{c|c|c|c} x_{\scriptsize{k}} & \scriptsize{\text{修正前}} & \scriptsize{\text{修正後}} & \scriptsize{\text{変化量}} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{3}} & -3 & \underline{-1} & +2 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{4}} & 3 & \underline{2} & -1 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{8}} & 19 & \underline{18} & -1 \\[ 5pt ] \hline \scriptsize{\text{計}} & 19 & 19 & 0 \end{array} \\[ 10pt ] &\text{データの修正による変化量は} \\[ 5pt ] &\quad \{ (-1)-(-3) \} + ( 2-3 ) + (18-19) = 0 \ \text{（℃）} \end{align*}$

となるので、データの修正によってデータの総和は変化しない。

よって、データの平均値は修正前と一致する。

データの値が一部変わったので、それに伴って平均値も変わりそうです。しかし、データの総和に変化がないので、平均値は修正前と変わりません。

問２のように、データの値が多かったり、正負の数が混在したりすると、計算ミスをしやすくなります。ですから、問２(2)のように、性質を上手に利用して計算を工夫することも大切です。

次は、分散を求めますが、以下のことに注目します。

分散の変化

$\begin{equation*} \quad \scriptsize{\text{分散} = \frac{\text{偏差の $2$ 乗の総和}}{\text{データの大きさ}}} \end{equation*}$

データの大きさが変わらなければ、分散は偏差の２乗の総和で変化する。

データの大きさは変化しないので、分散は偏差の２乗の総和によって変化します。ですから、データが変更された箇所だけに注目して、偏差の２乗の総和が修正の前後でどれだけ変わったかを考えます。

問２(2)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x_{\scriptsize{k}} & \scriptsize{\text{修正前}} & \scriptsize{\text{修正前の偏差}} & \scriptsize{\text{修正前の偏差の $2$ 乗}} & \scriptsize{\text{修正後}} & \scriptsize{\text{修正後の偏差}} & \scriptsize{\text{修正前の偏差の $2$ 乗}} \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{3}} & -3 & -8 & 64 & \underline{-1} & -6 & 36 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{4}} & 3 & -2 & 4 & \underline{2} & -3 & 9 \\[ 5pt ] \hline x_{\scriptsize{8}} & 19 & 14 & 196 & \underline{18} & 13 & 169 \\[ 5pt ] \hline \scriptsize{\text{計}} & 19 & 4 & 264 & 19 & 4 & 214 \end{array} \\[ 10pt ] &\text{修正のあった値において、修正前の偏差の $2$ 乗の和は} \\[ 5pt ] &\quad (-3-5)^{\scriptsize{2}} + (3-5)^{\scriptsize{2}} + (19-5)^{\scriptsize{2}} = 264 \\[ 7pt ] &\text{修正のあった値において、修正後の偏差の $2$ 乗の和は} \\[ 5pt ] &\quad (-1-5)^{\tiny{2}} + (2-5)^{\scriptsize{2}} + (18-5)^{\scriptsize{2}} = 214 \\[ 7pt ] &\text{となる。} \\[ 5pt ] &\quad 214 \lt 264 \end{align*}$

より、偏差の $2$ 乗の総和は修正によって減少する。

よって、データの分散は修正前より減少する。

１つの表にまとめましたが、修正の前後で書き分けても構いません。自分なりに見やすさや扱いやすさを考えてまとめると良いでしょう。

問２(2)のような問題は、公式を覚えただけでは解くことが難しい問題です。このような問題を数多く演習することで、公式への理解が深まります。めげずに何度も挑戦しましょう。

データに修正があったとき、修正箇所に注目しよう。

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