積分法｜定積分と不等式の証明について

$$\begin{align*} &\text{$y=\frac{1}{x} \ (x \gt 0)$ は単調減少するので、} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{k} \lt \int_{k-1}^k \frac{1}{x} dx \quad \cdots \text{①} \\[ 10pt ] &\quad \int_k^{k+1} \frac{1}{x} dx \lt \frac{1}{k} \quad \cdots \text{②} \\[ 10pt ] &\text{$k=2 \ , \ 3 \ , \cdots , \ n$ のときの①の各辺を加えると} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ \cdots \cdots \ + \frac{1}{n} \lt \int_1^n \frac{1}{x} dx \\[ 10pt ] &\text{また、両辺に $1$ を加えると} \\[ 5pt ] &\quad 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ \cdots \cdots \ + \frac{1}{n} \lt 1 + \int_1^n \frac{1}{x} dx \quad \cdots \text{③} \\[ 10pt ] &\text{$k=1 \ , \ 2 \ , \cdots , \ n$ のときの②の各辺を加えると} \\[ 5pt ] &\quad \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx \lt 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ \cdots \cdots \ + \frac{1}{n} \quad \cdots \text{④} \\[ 10pt ] &\text{ここで、③の右辺、④の左辺について} \\[ 5pt ] &\quad \int_1^n \frac{1}{x} dx = \Bigl[ \log |x| \Bigr]_1^n = \log n \\[ 10pt ] &\quad \int_1^{n+1} \frac{1}{x} dx = \Bigl[ \log |x| \Bigr]_1^{n+1} = \log {(n+1)} \\[ 10pt ] &\text{よって、③，④より} \\[ 5pt ] &\quad \log {(n+1)} \lt 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ \cdots \cdots \ + \frac{1}{n} \lt 1 + \log n \\[ 10pt ] &\text{となり、不等式は成り立つ。} \end{align*}$$