図形と方程式｜２点間の距離と三角形の形状について

07/21/2022数学２

２点間の距離と三角形の形状を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(1 \ , \ 1) \ , \ B(2 \ , \ 4) \ , \ C(a \ , \ 0)$ を頂点とする $\triangle {ABC}$ について} \\[ 5pt ] &(1) \quad \text{$\triangle {ABC}$ が直角三角形となるとき、$a$ の値を求めよ。} \\[ 10pt ] &(2) \quad \text{$\triangle {ABC}$ が二等辺三角形となるとき、$a$ の値を求めよ。} \end{align*}

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(1 \ , \ 1) \ , \ B(2 \ , \ 4) \ , \ C(a \ , \ 0)$ を頂点とする $\triangle {ABC}$ について} \\[ 5pt ] &\text{$\triangle {ABC}$ が直角三角形となるとき、$a$ の値を求めよ。} \end{align*}

３つの頂点のうち、点Ｃのｘ座標が不明です。ただし、点Ｃのｙ座標が０なので、点Ｃはｘ軸上にあります。

また、△ＡＢＣが直角三角形であることが条件です。直角三角形であるための条件は、三平方の定理が成り立つことです。どの内角が直角であるかを考える必要があります。

まずは、３辺の長さを調べます。ただし、三平方の定理のことを考えて、長さを２乗しておきます。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad A(1 \ , \ 1) \ , \ B(2 \ , \ 4) \ , \ C(a \ , \ 0) \\[ 7pt ] &\text{$3$ 辺の長さについて} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}}=\left(2-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(4-1 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}}=\left(a-2 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(0-4 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad CA^{\scriptsize{2}}=\left(1-a \right)^{\scriptsize{2}}+\left(1-0 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}} = 10 \\[ 7pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \\[ 7pt ] &\quad CA^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \end{align*}

３つの内角のうち、どれが直角になるかを場合分けして方程式を導きます。まず、∠ＢＡＣ（∠Ａ）が直角であるときを考えます。

問(1)の解答例 2⃣

次に、∠ＡＢＣ（∠Ｂ）が直角であるときを考えます。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}} = 10 \\[ 7pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \\[ 7pt ] &\quad CA^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(ii) \ \angle {ABC} \ \text{が直角のとき} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}}+BC^{\scriptsize{2}}=CA^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つので} \\[ 5pt ] &\quad 10+\left(a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \right)=a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad 2a=28 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a=14 \end{align*}

さいごに、∠ＡＣＢ（∠Ｃ）が直角であるときを考えます。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}} = 10 \\[ 7pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \\[ 7pt ] &\quad CA^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(iii) \ \angle {ACB} \ \text{が直角のとき} \\[ 5pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}}+CA^{\scriptsize{2}}=AB^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{が成り立つので} \\[ 5pt ] &\quad \left(a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \right)+\left(a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \right)=10 \\[ 7pt ] &\text{整理すると} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-3a+6=0 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-3a+6=\left(a-\frac{3}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{15}{4} \ \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、①を満たす $a$ の値は存在しない。} \end{align*}

場合分けが終わったので、３つの結果をまとめます。

問(1)の解答例 5⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(i) \ , \ (ii) \ , \ (iii) \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad a=4 \ , \ 14 \end{align*}

前もって作図をしていれば、頂点の位置関係が分かるので、考えられる直角三角形は２通りだろうと予想できます。

２次方程式から実数解を得られないときの扱い

解答例4⃣において、２次方程式（①式）を解いても実数解を得ることができません。

望ましいのは、①式を見て実数解が得られないことに気付くことです。いちいち解いてしまうと、二度手間になるからです。２次方程式を見て、因数分解できるかどうか、また、実数解をもつかどうかの判断が素早くできることが大切です。

２次方程式が実数解をもたないことを示すには、２次方程式の値がつねに０より大きくなることを示します。グラフで言えば、下に凸のグラフがｘ軸よりも上にある状態です。ｘ軸と共有点をもたないので、２次方程式は実数解をもちません。

２次方程式の値が０より大きくなることを示すには、解答例のように平方完成します。実数の２乗が０以上になる性質と、定数項が正の数であることから、２次方程式の値はつねに正となります。判別式の値を求めても良いですが、こちらの方が一般的です。

因数分解できず、定数項が正の数であれば、２次方程式が実数解をもたない可能性を考えよう。暗算で判別式の値を考えても良い。

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{$3$ 点 $A(1 \ , \ 1) \ , \ B(2 \ , \ 4) \ , \ C(a \ , \ 0)$ を頂点とする $\triangle {ABC}$ について} \\[ 5pt ] &\text{$\triangle {ABC}$ が二等辺三角形となるとき、$a$ の値を求めよ。} \end{align*}

問(1)と異なるのは、△ＡＢＣが二等辺三角形になるということです。それ以外は同じ条件です。

３辺のうち２辺の長さが等しくなるので、その組合せを考えると３通りあります。３通りの場合分けで解きます。

３辺の長さは問(1)の結果を利用します。まず、２辺ＡＢ，ＢＣの長さが等しいときを考えます。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(1) \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad AB^{\scriptsize{2}} = 10 \\[ 7pt ] &\quad BC^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \\[ 7pt ] &\quad CA^{\scriptsize{2}} = a^{\scriptsize{2}}-2a+2 \\[ 7pt ] &(i) \ AB=BC \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\text{$AB^{\scriptsize{2}}=BC^{\scriptsize{2}}$ より} \\[ 5pt ] &\quad 10=a^{\scriptsize{2}}-4a+20 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-4a+10=0 \quad \cdots \text{②} \\[ 7pt ] &\text{ここで} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}-4a+10=\left(a-2 \right)^{\scriptsize{2}}+6 \ \gt 0 \\[ 7pt ] &\text{よって、②を満たす $a$ の値は存在しない。} \end{align*}

次に、２辺ＢＣ，ＣＡの長さが等しいときを考えます。

問(2)の解答例 2⃣

さいごに、２辺ＣＡ，ＡＢの長さが等しいときを考えます。

問(2)の解答例 3⃣

場合分けが終わったので、３つの結果をまとめます。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &(i) \ , \ (ii) \ , \ (iii) \ \text{より} \\[ 5pt ] &\quad a=-2 \ , \ 4 \ , \ 9 \end{align*}

前もって作図をしていれば、頂点の位置関係が分かるので、考えられる二等辺三角形は３通りだろうと予想できます。

条件によっては複数の解となる場合がありますが、作図をすれば取りこぼしを回避できます。イメージを膨らませて解への道筋を立てることは、問題を解く上で重要です。

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