式と証明｜恒等式の係数決定（係数比較法）について

06/06/2021数学２

恒等式の係数比較法を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$ の値を定めよ。

$\begin{align*} &(1) \quad a(x-1)^{\scriptsize{2}}+b(x-1)+c = x^{\scriptsize{2}}+x \\[ 7pt ] &(2) \quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+7 = a(x-2)^{\scriptsize{3}}+b(x-2)^{\scriptsize{2}}+c(x-2)+d \end{align*}$

最初はスピードのことは考えず、計算過程を丁寧に記述することを意識しましょう。

まずは丁寧に。丁寧にできたら、次は手早く。丁寧に手早くを目指そう。

問(1)の解答・解説

問(1)

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$ の値を定めよ。

$\begin{equation*} \quad a(x-1)^{\scriptsize{2}}+b(x-1)+c = x^{\scriptsize{2}}+x \end{equation*}$

問(1)の等式において、右辺が２次式なので、左辺も２次式でなければなりません。係数比較法を利用するために、左辺を展開して整理します。

問(1)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{等式の左辺を $x$ について整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \text{(左辺)} = ax^{\scriptsize{2}} +(-2a+b)x +a-b+c \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}} +(-2a+b)x +a-b+c = x^{\scriptsize{2}}+x \end{align*}$

両辺に同じ次数の項があるので、同じ次数の項ごとに係数を比較します。

問(1)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad ax^{\scriptsize{2}} +(-2a+b)x +a-b+c = x^{\scriptsize{2}}+x \\[ 7pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a=1 \quad \cdots \text{①} \\ -2a+b=1 \quad \cdots \text{②} \\ a-b+c=0 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \end{align*}$

係数比較の結果から、連立方程式を導くことができました。係数を比較するとき、符号ミスが多いので気を付けましょう。

連立方程式を解いて、定数ａ，ｂ，ｃの値を求めます。

問(1)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a=1 \quad \cdots \text{①} \\ -2a+b=1 \quad \cdots \text{②} \\ a-b+c=0 \quad \cdots \text{③} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{①を②に代入して} \\[ 5pt ] &\quad -2+b=1 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=3 \\[ 7pt ] &\text{これと①を③に代入して} \\[ 5pt ] &\quad 1-3+c=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad c=2 \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=1 \ , \ b=3 \ , \ c=2 \end{align*}$

３つの方程式からなる連立方程式ですが、それほど複雑ではないので慌てず丁寧に計算しましょう。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の等式が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a \ , \ b \ , \ c \ , \ d$ の値を定めよ。

$\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+7 = a(x-2)^{\scriptsize{3}}+b(x-2)^{\scriptsize{2}}+c(x-2)+d \end{equation*}$

問(2)の等式において、左辺が３次式なので、右辺も３次式でなければなりません。係数比較法を利用するために、右辺を展開して整理します。

問(2)の解答例 1⃣

$\begin{align*} &\text{等式の右辺を $x$ について整理すると} \\[ 5pt ] &\quad \text{(右辺)} = ax^{\scriptsize{3}} +(-6a+b)x^{\scriptsize{2}} +(12a-4b+c)x -8a+4b-2c+d \\[ 7pt ] &\text{であるので、与式は} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+7 = ax^{\scriptsize{3}} +(-6a+b)x^{\scriptsize{2}} +(12a-4b+c)x -8a+4b-2c+d \end{align*}$

両辺に同じ次数の項があるので、同じ次数の項ごとに係数を比較します。

問(2)の解答例 2⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{3}}-3x^{\scriptsize{2}}+7 = ax^{\scriptsize{3}} +(-6a+b)x^{\scriptsize{2}} +(12a-4b+c)x -8a+4b-2c+d \\[ 7pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると} \\[ 5pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a=1 \quad \cdots \text{①} \\ -6a+b=-3 \quad \cdots \text{②} \\ 12a-4b+c=0 \quad \cdots \text{③} \\ -8a+4b-2c+d=7 \quad \cdots \text{④} \end{array} \right. \end{align*}$

係数比較の結果から、連立方程式を導くことができました。４つの未知数ａ，ｂ，ｃ，ｄに対して、４つの方程式です。

連立方程式を解いて、定数ａ，ｂ，ｃ，ｄの値を求めます。

問(2)の解答例 3⃣

$\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left\{ \begin{array}{l} a=1 \quad \cdots \text{①} \\ -6a+b=-3 \quad \cdots \text{②} \\ 12a-4b+c=0 \quad \cdots \text{③} \\ -8a+4b-2c+d=7 \quad \cdots \text{④} \end{array} \right. \\[ 7pt ] &\text{①を②に代入して} \\[ 5pt ] &\quad -6+b=-3 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad b=3 \quad \cdots \text{⑤} \\[ 7pt ] &\text{①と⑤を③に代入して} \\[ 5pt ] &\quad 12-12+c=0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad c=0 \quad \cdots \text{⑥} \\[ 5pt ] &\text{①，⑤，⑥を④に代入して} \\[ 5pt ] &\quad -8+12+0+d=7 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad d=3 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a=1 \ , \ b=3 \ , \ c=0 \ , \ d=3 \end{align*}$

方程式が４つになっても、連立方程式の解き方は変わりません。１つずつ文字の値を求めましょう。

恒等式の係数比較法では、等式が恒等式であるとき、「次数が等しく、かつ同じ次数の項の係数が等しくなる」という性質を利用しています。

文字にどのような値を代入しても等式が成り立つのですから、両辺が同じ式になっていなければなりません。ここをしっかり理解していれば、恒等式と方程式を混同することはないでしょう。