式と証明｜分数式の恒等式について

06/06/2021数学２

分数式の恒等式を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

\begin{align*} &\text{次の等式が $x$ についての恒等式となるように、} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。} \\[ 7pt ] &(1) \quad \frac{3x-1}{x^{\scriptsize{2}}-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} \\[ 10pt ] &(2) \quad \frac{x-5}{(x+1)^{\scriptsize{2}}(x-1)} = \frac{a}{(x+1)^{\scriptsize{2}}} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1} \end{align*}

余裕があれば、係数比較法と数値代入法の両方を用いて解いてみましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

\begin{align*} &\text{次の等式が $x$ についての恒等式となるように、} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。} \\[ 7pt ] &\quad \frac{3x-1}{x^{\scriptsize{2}}-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} \end{align*}

与式は分数式を含むので、分母を払って整式の等式に変形します。左辺の分母にある２次式を両辺に掛けます。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad \frac{3x-1}{x^{\scriptsize{2}}-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x+1} \\[ 7pt ] &\text{両辺に $x^{\scriptsize{2}}-1$ を掛けて} \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = a(x+1)+b(x-1) \quad \cdots \text{①} \end{align*}

分数式から整式へ変形できました。これ以降は、係数比較法と数値代入法のどちらかを選んで解きます。

係数比較法を用いた解答例

係数比較法を用いるために、①式の右辺を整理します。

問(1)の解答例（係数比較法） 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = a(x+1)+b(x-1) \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\text{①の右辺を整理すると} \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = (a+b)x+(a-b) \end{align*}

両辺を見比べて、同じ次数の項の係数を比較します。両辺ともに１次式なので、１次の項の係数どうし、定数項どうしをそれぞれ比較します。

問(1)の解答例（係数比較法） 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = (a+b)x+(a-b) \\[ 5pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、} \\[ 5pt ] &\quad \begin{cases} 3&=a+b &\quad \cdots \text{②} \\ -1&=a-b &\quad \cdots \text{③} \end{cases} \end{align*}

定数ａ，ｂについての１次式を２つ得ることができました。ともに成り立つ必要があるので、連立方程式とします。

連立方程式を解きます。

問(1)の解答例（係数比較法） 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \begin{cases} 3&=a+b &\quad \cdots \text{②} \\ -1&=a-b &\quad \cdots \text{③} \end{cases} \\[ 5pt ] &\text{②＋③より} \\[ 5pt ] &\quad 2=2a \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=1 \\[ 5pt ] &\text{これと②より} \\[ 5pt ] &\quad 3=1+b \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=2 \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=1 \ , \ b=2 \end{align*}

連立方程式と言っても、１次式なので扱いに困るほどではありません。

数値代入法を用いた解答例

分数式の分母を払って、整式の等式に変形するところまでは、係数比較法と変わりません。解答例1⃣からの続きとなります。

右辺の各項が因数分解されていることに注目して、①式に適切な数値を代入します。

問(1)の解答例（数値代入法） 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = a(x+1)+b(x-1) \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\text{①が $x$ についての恒等式であれば} \\[ 5pt ] &\text{$x=1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad 2=2a \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=1 \\[ 5pt ] &\text{$x=-1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -4=-2b \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=2 \end{align*}

定数ａ，ｂの値を求めたら、その値を右辺に代入します。そして、①式が恒等式であることを実際に確かめます。

問(1)の解答例（数値代入法） 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = a(x+1)+b(x-1) \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=1 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=2 \\[ 5pt ] &\text{逆に、このとき①の右辺は} \\[ 5pt ] &\quad 1 \cdot (x+1) + 2(x-1) = 3x-1 \\[ 5pt ] &\text{となり、左辺と一致するので、①は恒等式となる。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=1 \ , \ b=2 \end{align*}

「逆に」以下についての別解です。数値代入法による解答例3⃣を以下のように記述しても構いません。

問(1)の別解例（数値代入法）

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad 3x-1 = a(x+1)+b(x-1) \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=1 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=2 \\[ 5pt ] &\text{このとき、等式の両辺は $1$ 次以下の整式であり、} \\[ 5pt ] &\text{異なる $2$ 個の $x$ の値に対して等式が成り立つ。} \\[ 5pt ] &\text{よって、この等式は恒等式である。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=1 \ , \ b=2 \end{align*}

問(2)の解答・解説

問(2)

\begin{align*} &\text{次の等式が $x$ についての恒等式となるように、} \\[ 5pt ] &\text{定数 $a \ , \ b \ , \ c$ の値を定めよ。} \\[ 7pt ] &\quad \frac{x-5}{(x+1)^{\scriptsize{2}}(x-1)} = \frac{a}{(x+1)^{\scriptsize{2}}} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1} \end{align*}

問(2)も同じ要領で解きます。与式は分数式を含むので、分母を払って整式の等式に変形します。左辺の分母にある３次式を両辺に掛けます。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &\quad \frac{x-5}{(x+1)^{\scriptsize{2}}(x-1)} = \frac{a}{(x+1)^{\scriptsize{2}}} + \frac{b}{x+1} + \frac{c}{x-1} \\[ 7pt ] &\text{両辺に $(x+1)^{\scriptsize{2}}(x-1)$ を掛けて} \\[ 5pt ] &\quad x-5 = a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \end{align*}

係数比較法を用いた解答例

係数比較法を用いるために、①式の右辺を整理します。

問(2)の解答例（係数比較法） 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x-5 = a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\text{①の右辺を整理すると} \\[ 5pt ] &\quad x-5 = (b+c)x^{\scriptsize{2}}+(a+2c)x+(-a-b+c) \end{align*}

右辺を整理するとき、次数ごとに整理していけば、暗算でできます。

展開して整理するときのコツ

\begin{align*} &\quad a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &\text{$2$ 次の項ができるのは $2$ 番目と $3$ 番目の項。} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 番目の項において、$2$ 次の項の係数は $b$} \\[ 5pt ] &\text{$3$ 番目の項において、$2$ 次の項の係数は $c$} \\[ 5pt ] &\text{よって、展開後の $2$ 次の項は} \\[ 5pt ] &\quad (b+c)x^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &\text{$1$ 次の項ができるのは $1$ 番目と $3$ 番目の項。} \\[ 5pt ] &\text{$1$ 番目の項において、$1$ 次の項の係数は $a$} \\[ 5pt ] &\text{$3$ 番目の項において、$1$ 次の項の係数は $2c$} \\[ 5pt ] &\text{よって、展開後の $1$ 次の項は} \\[ 5pt ] &\quad (a+2c)x \\[ 10pt ] &\text{定数項ができるのはすべての項。} \\[ 5pt ] &\text{$1$ 番目の項において、定数項は $-a$} \\[ 5pt ] &\text{$2$ 番目の項において、定数項は $-b$} \\[ 5pt ] &\text{$3$ 番目の項において、定数項は $c$} \\[ 5pt ] &\text{よって、展開後の定数項は} \\[ 5pt ] &\quad (-a-b+c) \\[ 10pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad x-5 = (b+c)x^{\scriptsize{2}}+(a+2c)x+(-a-b+c) \end{align*}

難しいようであれば、無理をせず素直に展開して同類項を整理しましょう。

右辺の整理ができたら、両辺を見比べて、同じ次数の項の係数を比較します。左辺は１次式ですが、右辺が２次式であることに注意しましょう。

問(2)の解答例（係数比較法） 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x-5 = (b+c)x^{\scriptsize{2}}+(a+2c)x+(-a-b+c) \\[ 5pt ] &\text{両辺の同じ次数の項の係数を比較すると、} \\[ 5pt ] &\quad \begin{cases} 0&=b+c &\quad \cdots \text{②} \\ 1&=a+2c &\quad \cdots \text{③} \\ -5&=-a-b+c &\quad \cdots \text{④} \end{cases} \end{align*}

左辺に２次の項がないことから、右辺の２次の項の係数は０です。

定数ａ，ｂ，ｃについての１次式を３つ得ることができました。ともに成り立つ必要があるので、連立方程式とします。連立方程式を解きます。

問(2)の解答例（係数比較法） 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad \begin{cases} 0&=b+c &\quad \cdots \text{②} \\ 1&=a+2c &\quad \cdots \text{③} \\ -5&=-a-b+c &\quad \cdots \text{④} \end{cases} \\[ 5pt ] &\text{②＋③＋④より} \\[ 5pt ] &\quad -4=4c \\[ 5pt ] &\ \therefore \ c=-1 \\[ 5pt ] &\text{これと②，③より} \\[ 5pt ] &\quad 0=b-1 \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=1 \\[ 5pt ] &\quad 1=a-2 \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=3 \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=1 \ , \ c=-1 \end{align*}

少し面倒な計算になりましたが、上手に連立方程式を解きましょう。

数値代入法を用いた解答例

解答例1⃣からの続きとなります。問(1)と同じように、右辺の各項が因数分解されていることに注目して、①式に適切な数値を代入します。

問(2)の解答例（数値代入法） 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x-5 = a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\text{①が $x$ についての恒等式であれば} \\[ 5pt ] &\text{$x=1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -4=4c \\[ 5pt ] &\ \therefore \ c=-1 \\[ 5pt ] &\text{$x=-1$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -6=-2a \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=3 \\[ 5pt ] &\text{$x=0$ を代入して} \\[ 5pt ] &\quad -5=-a-b+c \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=1 \end{align*}

定数ａ，ｂ，ｃの値を求めたら、その値を右辺に代入します。そして、①式が恒等式であることを実際に確かめます。

問(2)の解答例（数値代入法） 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x-5 = a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ c=-1 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=3 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=1 \\[ 5pt ] &\text{逆に、このとき①の右辺は} \\[ 5pt ] &\qquad 3(x-1)+1 \cdot (x+1)(x-1)+(-1) \cdot (x+1)^{\scriptsize{2}} \\[ 5pt ] &\quad = 3x-3＋x^{\scriptsize{2}}-1-(x^{\scriptsize{2}}+2x+1) \\[ 5pt ] &\quad = x-5 \\[ 5pt ] &\text{となり、左辺と一致するので、①は恒等式となる。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=1 \ , \ c=-1 \end{align*}

「逆に」以下についての別解です。数値代入法による解答例3⃣を以下のように記述しても構いません。

問(2)の別解例（数値代入法）

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\quad x-5 = a(x-1)+b(x+1)(x-1)+c(x+1)^{\scriptsize{2}} \quad \cdots \text{①} \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ c=-1 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ a=3 \\[ 5pt ] &\quad \vdots \\[ 5pt ] &\ \therefore \ b=1 \\[ 5pt ] &\text{このとき、等式の両辺は $2$ 次以下の整式であり、} \\[ 5pt ] &\text{異なる $3$ 個の $x$ の値に対して等式が成り立つ。} \\[ 5pt ] &\text{よって、この等式は恒等式である。} \\[ 5pt ] &\text{したがって、} \\[ 5pt ] &\quad a=3 \ , \ b=1 \ , \ c=-1 \end{align*}

分数式の分母を払って、整式の等式に変形することが基本方針です。分数式のままで解くとすれば、部分分数に分解するときです。この解法であれば、計算らしい計算がなく取り組みやすいでしょう。

部分分数に分解する解法を利用するとすれば、問(1)の方でしょう。問(2)の分数式を部分分数に分解するのは、少し面倒です。問(1)は例題レベルなので、意外と簡単に分解できます。

どの解法を選ぶにしても、与式をよく観察して方針を決めることが大切です。