式と証明｜不等式の証明について（基本）

07/17/2021数学２

不等式の証明を扱った基本的な問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

問

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{align*} &(1) \quad a \geqq b \ , \ x+y \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\qquad \left(a+b \right)\left(x-y \right) \leqq 2\left(ax-by \right) \\[ 10pt ] &(2) \quad 2x^{\scriptsize{2}} \geqq 3xy-2y^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &(3) \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} \geqq 2\left(x-y-1 \right) \\[ 10pt ] &(4) \quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \end{align*}

不等式の証明です。(1)には条件がありますが、それ以外には条件がないことに注意しましょう。

問(1)の解答・解説

問(1)

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{align*} &a \geqq b \ , \ x+y \geqq 0 \ \text{のとき} \\[ 5pt ] &\quad \left(a+b \right)\left(x-y \right) \leqq 2\left(ax-by \right) \end{align*}

(1)の不等式について、等号が成り立つ以外では、右辺は左辺よりも大きいことが分かります。

右辺から左辺を引き算して差を作ります。

問(1)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{右辺})-(\text{左辺}) \\[ 7pt ] = \ &2\left(ax-by \right)-\left(a+b \right)\left(x-y \right) \end{align*}

差を展開して整理します。

問(1)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2\left(ax-by \right)-\left(a+b \right)\left(x-y \right) \\[ 10pt ] &\quad = 2ax-2by – \left(ax-ay+bx-by \right) \\[ 10pt ] &\quad = ax+ay – bx – by \\[ 10pt ] &\quad = a\left(x+y \right)-b\left(x+y \right) \\[ 10pt ] &\quad = \left(x+y \right) \left(a-b \right) \end{align*}

与えられた条件をもとに、差の正負を調べます。

問(1)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2\left(ax-by \right)-\left(a+b \right)\left(x-y \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(x+y \right) \left(a-b \right) \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \geqq b$ より} \\[ 5pt ] &\quad a-b \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{これと $x+y \geqq 0$ より} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+y \right) \left(a-b \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad 2\left(ax-by \right)-\left(a+b \right)\left(x-y \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a+b \right)\left(x-y \right) \leqq 2\left(ax-by \right) \end{align*}

与えられた条件をそのまま利用することはほとんどありません。形を変えて利用できるようにしておきましょう。

条件を上手に利用する

\begin{align*} &\quad a \geqq b \\[ 7pt ] &\text{ならば} \\[ 5pt ] &\quad a-b \geqq 0 \end{align*}

さいごに、等号が成り立つ条件を調べます。等号が成り立つのは、差が０になるときです。

問(1)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(x+y \right) \left(a-b \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \left(a+b \right)\left(x-y \right) \leqq 2\left(ax-by \right) \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(x+y \right) \left(a-b \right)=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x+y = 0 \ \text{または} \ a-b=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x = -y \ \text{または} \ a=b \\[ 7pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

積が０になるのは、どちらかが０であるときか、両方とも０であるときです。必ず両方が０である必要はありません。ですから「かつ」ではなく「または」となります。

問(2)の解答・解説

問(2)

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{equation*} \quad 2x^{\scriptsize{2}} \geqq 3xy-2y^{\scriptsize{2}} \end{equation*}

(2)の不等式について、等号が成り立つ以外では、左辺は右辺よりも大きいことが分かります。

左辺から右辺を引き算して差を作ります。

問(2)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\[ 7pt ] = \ &2x^{\scriptsize{2}}-\left(3xy-2y^{\scriptsize{2}} \right) \end{align*}

差を整理します。文字に関する条件が与えられていないので、実数の平方、または実数の平方の和を作ります。

問(2)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2x^{\scriptsize{2}}-\left(3xy-2y^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] &\quad = 2x^{\scriptsize{2}}-3xy+2y^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &\quad = 2 \left(x^{\scriptsize{2}}-\frac{3}{2}xy \right)+2y^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &\quad = 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}-\frac{9}{8}y^{\scriptsize{2}}+2y^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] &\quad = 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}} \end{align*}

式全体で因数分解できません。こんなときは、文字ｘに注目して平方完成して、実数の平方の和を作ります。

差から平方の和を作れたので、その正負を調べます。

問(2)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2x^{\scriptsize{2}}-\left(3xy-2y^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$x \ , \ y$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \ , \ \frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}}-\left(3xy-2y^{\scriptsize{2}} \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}} \geqq 3xy-2y^{\scriptsize{2}} \end{align*}

さいごに、等号が成り立つ条件を調べます。等号が成り立つのは、差が０になるときです。

問(2)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 2x^{\scriptsize{2}} \geqq 3xy-2y^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad 2 \left(x-\frac{3}{4}y \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \ \text{かつ} \ \frac{7}{8}y^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x-\frac{3}{4}y=0 \ \text{かつ} \ y=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x=y=0 \\[ 5pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

左辺と右辺の差を作っても因数分解できなければ、平方完成を利用して平方の和を作りましょう。

問(3)の解答・解説

問(3)

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{equation*} \quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} \geqq 2\left(x-y-1 \right) \end{equation*}

(3)の不等式について、等号が成り立つ以外では、左辺は右辺よりも大きいことが分かります。

左辺から右辺を引き算して差を作ります。

問(3)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\[ 7pt ] = \ &x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} -2\left(x-y-1 \right) \end{align*}

差を整理します。文字に関する条件が与えられていないのは、(1)，(2)と同様です。実数の平方、または実数の平方の和を作ります。

問(3)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} -2\left(x-y-1 \right) \\[ 10pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} -2x+2y+2 \\[ 10pt ] &\quad = \left(x^{\scriptsize{2}}-2x+1 \right)+\left(y^{\scriptsize{2}}+2y+1 \right) \\[ 10pt ] &\quad = \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}

式全体で因数分解できないので、平方完成を利用するところです。しかし、項を入れ替えるなどして式を上手に変形すれば、実数の平方の和を作ることができます。

差から平方の和を作れたので、その差の正負を調べます。

問(3)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} -2\left(x-y-1 \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$x \ , \ y$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \ , \ \left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} -2\left(x-y-1 \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} \geqq 2\left(x-y-1 \right) \end{align*}

さいごに、等号が成り立つ条件を調べます。等号が成り立つのは、差が０になるときです。

問(3)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad x^{\scriptsize{2}}+y^{\scriptsize{2}} \geqq 2\left(x-y-1 \right) \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}}+\left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \left(x-1 \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \ \text{かつ} \ \left(y+1 \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad x-1=0 \ \text{かつ} \ y+1=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad x=1 \ , \ y=-1 \\[ 5pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

平方の和を作るのはそれほど難しくありません。焦らずに式をよく観察しましょう。

問(4)の解答・解説

問(4)

次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのようなときか。

\begin{equation*} \quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \end{equation*}

左辺から右辺を引き算します。

(4)の不等式について、等号が成り立つ以外では、左辺は右辺よりも大きいことが分かります。

左辺から右辺を引き算して差を作ります。

問(4)の解答例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\[ 7pt ] = \ &a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \end{align*}

差を整理します。文字に関する条件が与えられていないのは、これまでと同様です。実数の平方、または実数の平方の和を作ります。

問(4)の解答例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \\[ 10pt ] &\quad = \frac{1}{2} \left\{ 2a^{\scriptsize{2}}+2b^{\scriptsize{2}}+2c^{\scriptsize{2}} -2 \left(ab+bc+ca \right) \right\} \\[ 10pt ] &\quad = \frac{1}{2} \left\{ \left(a^{\scriptsize{2}}-2ab+b^{\scriptsize{2}} \right)+\left(b^{\scriptsize{2}}-2bc+c^{\scriptsize{2}} \right)+\left(c^{\scriptsize{2}}-2ca+a^{\scriptsize{2}} \right) \right\} \\[ 10pt ] &\quad = \frac{1}{2} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}+\left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \end{align*}

式全体で因数分解することができないので、式の一部を使って平方完成します。(4)の式変形で難しいのは、項を入れ替えたり、分割したりしないと平方の和を作れないところです。

上手に式変形すると、実数の平方が３つできます。きちんと平方の和になっています。

差から平方の和を作れたので、その正負を調べます。

問(4)の解答例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \frac{1}{2} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}+\left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \ , \ \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \ , \\[ 7pt ] &\quad \left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{2} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}+\left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \end{align*}

さいごに、等号が成り立つ条件を調べます。等号が成り立つのは、差が０になるときです。

問(4)の解答例 4⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \frac{1}{2} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}+\left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \right\} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad \frac{1}{2} \left\{ \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}}+\left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}+\left(c-a \right)^{\scriptsize{2}} \right\}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-b \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \ \text{かつ} \ \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}=0 \ \text{かつ} \\[ 7pt ] &\quad \left(c-a \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a-b=0 \ \text{かつ} \ b-c=0 \ \text{かつ} \\[ 7pt ] &\quad c-a=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad a=b=c \\[ 7pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

実数の平方が３つになっても、和であれば問題ありません。

実数の平方はいくつできても良い

\begin{align*} &\text{実数 $A \ , \ B \ , \ C$ について} \\[ 5pt ] &\quad A^{\scriptsize{2}}+B^{\scriptsize{2}}+C^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\quad \Leftrightarrow \ A=B=C=0 \end{align*}

問(4)の別解

解答例では少しテクニカルな変形をしましたが、平方完成を利用しても実数の平方の和を作ることができます。このとき、特定の文字について整理してから平方完成します。

問(4)の別解例 1⃣

\begin{align*} &(\text{左辺})-(\text{右辺}) \\[ 7pt ] = \ &a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \\[ 10pt ] = \ &a^{\scriptsize{2}}-\left(b+c \right)a+b^{\scriptsize{2}}-bc+c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] = \ &\left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}-\frac{\left(b+c \right)^{\scriptsize{2}}}{4}+b^{\scriptsize{2}}-bc+c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] = \ &\left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4}b^{\scriptsize{2}}-\frac{6}{4}bc+\frac{3}{4}c^{\scriptsize{2}} \\[ 10pt ] = \ &\left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b^{\scriptsize{2}}-2bc+c^{\scriptsize{2}} \right) \\[ 10pt ] = \ &\left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \end{align*}

最初はａについての２次式と考え、次はｂについての２次式と考えて平方完成しています。このように上手に式変形できなくても、平方完成さえできれば、実数の平方の和を作ることができます。

あとは解答例と同じ要領で進めていきます。

問(4)の別解例 2⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\text{ここで、$a \ , \ b \ , \ c$ は実数であるので} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \ , \ \frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} -\left(ab+bc+ca \right) \geqq 0 \\[ 7pt ] &\text{したがって} \\[ 5pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \end{align*}

さいごに、等号が成り立つ条件を調べます。等号が成り立つのは、差が０になるときです。

問(4)の別解例 3⃣

\begin{align*} &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad = \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}} \\[ 7pt ] &\quad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a^{\scriptsize{2}}+b^{\scriptsize{2}}+c^{\scriptsize{2}} \geqq ab+bc+ca \\[ 7pt ] &\text{また、等号が成り立つのは} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}}+\frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{すなわち} \\[ 5pt ] &\quad \left(a-\frac{b+c}{2} \right)^{\scriptsize{2}} = 0 \ \text{かつ} \ \frac{3}{4} \left(b-c \right)^{\scriptsize{2}}=0 \\[ 7pt ] &\text{のときである。} \\[ 5pt ] &\text{よって} \\[ 5pt ] &\quad a-\frac{b+c}{2}=0 \ \text{かつ} \ b-c=0 \\[ 7pt ] &\text{より} \\[ 5pt ] &\quad a=b=c \\[ 7pt ] &\text{のとき等号が成り立つ。} \end{align*}

過程は異なりますが、等号が成り立つときの条件は同じになります。

例題や問から分かるように、実数の平方を自分で作るのは、いくらか訓練が必要です。与式を見て、式変形の方針が立つようになるまで演習をこなしましょう。