集合と論理｜必要条件と十分条件、同値について
今回は「必要条件や十分条件、同値」について学習しましょう。
特に必要・十分条件を扱った問題は、センター試験（大学入学共通テスト）でも毎年出題されるほど頻出です。それにも関わらず、意外と苦手にしている人が多いのも事実です。
この単元を得点源にできるとだいぶ有利になるので、しっかりマスターしておきましょう。
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必要条件・十分条件
すでに学習済みですが、命題のうちｘやａなどの変数を含む文や式のことを特に「条件」と言います。
そして、このような条件を２つ用いて１つの命題にしたものが、命題「ｐ⇒ｑ」です。命題「ｐ⇒ｑ」において、条件ｐを仮定、条件ｑを結論と言います。
必要条件や十分条件は、命題「ｐ⇒ｑ」における条件ｐ，ｑの関係を表す用語です。
十分条件
命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとします。このとき、仮定である条件ｐは、結論である条件ｑが成り立つには十分な仮定になります。
このとき、結論ｑに対する仮定ｐのことを「十分条件」と言います。一般に、命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、「ｐはｑであるための十分条件である」と言います。
条件ｑ（結論）が成り立つために、条件ｐが絶対に必要かと言うと、そうでもありません。他にも結論を成り立たせる条件があるからです。条件ｑが成り立つには、必ずしも必要ではありませんが、十分な条件です。
このことは、集合Ｐ，Ｑの包含関係をイメージすると理解しやすいでしょう。
「命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、ｐはｑであるための十分条件」とは、仮定ｐは結論ｑから見れば、仮定として十分な条件という意味です。
仮定は、結論にとって十分であっても必要ではない。
２つの条件の関係から、一方が十分条件になる例を挙げます。
条件が十分条件になる例
条件 $p \ , \ q$ について
\begin{align*} &\quad p \ : \ x \geqq 5 \\[ 7pt ] &\quad q \ : \ x \geqq 1 \end{align*}であるとする。
数直線を見ると、ｘ≧５であるために、ｘ≧１であることは条件として十分ではあります。
しかし、それが必要かと言われればそうとは言い切れません。
このことから、「ｘ≧５はｘ≧１であるための十分条件ではあるが、必要条件ではない」となります。
必要条件
命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとします。このとき、結論である条件ｑは、仮定である条件ｐから必然的に導かれる結論になります。
このとき、仮定ｐに対する結論ｑのことを「必要条件」と言います。一般に、命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、「ｑはｐであるための必要条件である」と言います。
「命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、ｑはｐであるための十分条件」とは、結論ｑは仮定ｐから見れば、結論として必要な条件という意味です。
結論は仮定の行きつく先なので、仮定にとって必要な条件。
２つの条件の関係から、一方が必要条件になる例を挙げます。
必要条件になる例
条件 $p \ , \ q$ について
\begin{align*} &\quad p \ : \ x \geqq 3 \\[ 7pt ] &\quad q \ : \ x \geqq 7 \end{align*}であるとする。
数直線を見ると、ｘ≧７であるために、ｘ≧３であることは条件として必要です。
しかし、それで十分かと言われればそうとは言い切れません。
このことから、「ｘ≧３はｘ≧７であるための必要条件ではあるが、十分条件ではない」と言えます。
具定例として少し分かりにくいかもしれません。この例では、命題「ｐ（ｘ≧３）⇒ｑ（ｘ≧７）」が偽で、命題「ｑ（ｘ≧７）⇒ｐ（ｘ≧３）」が真です。ですから、結論になるのは条件ｐ（ｘ≧３）の方です。
結論ｐ（ｘ≧３）は、仮定ｑ（ｘ≧７）から見れば、十分ではないが必要な条件になります。
図解して必要条件と十分条件を考えよう
この単元で頭を悩ませるのは、２つの条件ｐ，ｑが必要条件と十分条件のどちらになるかということです。苦手意識のある人も多いかもしれません。
しかし、集合や要素に置き換え、さらにベン図を使えば、その悩みは解決します。
条件ｐが真となる変数の値を要素とする集まりを集合Ｐ、条件ｑが真となる変数の値を要素とする集まりを集合Ｑとします。
命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、２つの集合Ｐ，Ｑの関係を考えてみましょう。
すでに学習済みですが、集合Ｐは集合Ｑの部分集合になります。ですから、２つの集合にはＰ⊂Ｑという包含関係があります。
命題の真偽と集合の包含関係
命題「 $p \Rightarrow q$ 」が真である
⇔ $P \ , \ Q$ には $P \subset Q$ という包含関係がある
Ｐ⊂Ｑであるとき、集合Ｐから選んだ要素は、集合Ｑの要素でもあります。それに対して、集合Ｑから選んだ要素は、集合Ｐの要素になるとは限りません。もしかすると、他の集合Ｒの要素かもしれません。
このような関係にあるとき、集合Ｐから要素を選べば、それは必然的に集合Ｑの要素になります。
ですから、集合Ｑは、集合Ｐにとって十分ではないけれど、（命題がＰ⇒Ｑが成り立つのに）必要な集合です。
また、集合Ｑには集合Ｐに属さない要素があります。
ですから、集合Ｐは、集合Ｑにとって必要ではないけれど、（命題がＰ⇒Ｑが成り立つのに）十分な集合です。
このように集合Ｐ，Ｑの関係をベン図を用いて考えると、それに対応する２つの条件ｐ，ｑの関係も分かってきます。
包含関係のある大小２つの条件
包含関係のある大小２つの条件では、小条件であれば大条件を必ず満たします。
しかし、小条件以外にも大条件を満たすものがあります。ですから、小条件は、大条件を満たすのに十分であっても、大条件にとって必要な条件ではありません。
それに対して大条件は、小条件であれば結果的に大条件を満たすので、小条件にとって代用できない条件です。つまり大条件は、小条件にとって外せない必要な条件になります。
相手の条件にとって、十分か必要かといった視点で考えてみると判別がつくこともある。
命題「ｑ⇒ｐ 」が真であるときの十分条件・必要条件
先ほどは、命題「ｐ⇒ｑ」が真であるときを考えました。
次は、命題「ｑ⇒ｐ」が真であるときを考えます。命題「ｑ⇒ｐ」では、仮定が条件ｑ、結論が条件ｐです。仮定と結論が逆になっているので注意しましょう。
仮定と結論が逆になっていることから、集合での関係も逆になります。ここに気づけば、十分条件と必要条件の立場も逆になることが分かります。
したがって、命題「ｑ⇒ｐ」が真であるとき、仮定ｑは結論ｐであるための十分条件、結論ｐは仮定ｑであるための必要条件となります。
次は、必要十分条件や同値についてです。
必要十分条件と同値
十分条件かつ必要条件である条件
命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、ｐはｑの十分条件、ｑはｐの必要条件です。ｐがｑの十分条件であることは分かりますが、ｐがｑの必要条件であるかは不明です。これは条件ｑについても同じです。
しかし、命題「ｑ⇒ｐ（またはｐ⇐ｑ）」も真であれば、様子が変わります。命題「ｑ⇒ｐ」が真であれば、ｐはｑの必要条件、ｑはｐの十分条件です。
このように、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」がともに真であれば、ｐ，ｑは互いに十分条件かつ必要条件になります。
一般に、２つの命題がともに真であるとき、「ｐはｑであるための必要十分条件である（同様にｑはｐであるための必要十分条件である）」と言います。
問題では、命題「ｐ⇒ｑ」が与えられ、ｐがｑにとってどのような条件かを問われます。そのような問題では、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」の真偽を確認しなければなりません。
命題「ｐ⇒ｑ」では、ｐが条件ｑの十分条件かそうでないかが分かる。ｐがｑの必要条件かどうかは、命題「ｑ⇒ｐ（またはｐ⇐ｑ）」で分かる。
同値とは同じ条件ということ
２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ（またはｐ⇐ｑ）」がともに真であるとき、「ｐとｑは同値である」とも言います。
このときの条件ｐ，ｑの関係を集合を使って考えてみましょう。
命題「ｐ⇒ｑ」が真であるとき、集合Ｐ，Ｑの間にはＰ⊂Ｑが成り立ちます。
また、命題「ｑ⇒ｐ（またはｐ⇐ｑ）」が真であるとき、集合Ｐ，Ｑの間にはＱ⊂Ｐが成り立ちます。
このとき、集合Ｐ，Ｑは互いの要素を持ち合います。このような状況が成り立つのは、集合Ｐ，Ｑが全く同じ要素をもつ、言い換えると、Ｐ＝Ｑであるときです。
条件ｐ，ｑがともに必要十分条件になるとき、集合ではその大きさも要素の数もすべて同じになるので、同値であると言います。ちなみに、ｐとｑが同値であることを「ｐ⇔ｑ」と記述します。
次は、十分条件や必要条件を扱った問題を実際に解いてみましょう。