集合と論理｜必要条件と十分条件、同値について
十分条件や必要条件を扱った問題を解いてみよう
次の問題を考えてみましょう。
問１(1)の解答・解説
問１(1)
次の□の中には、「必要条件である」「十分条件である」「必要十分条件である」のうち、最も適するものをいれよ。ただし、文字はすべて実数とする。
$x=1$ は、$x^{\scriptsize{2}}=1$ であるための□。
問１(1)は、ｘ＝１がｘ2＝１にとってどんな条件かを求める問題です。
ｘ＝１を条件ｐ、ｘ2＝１を条件ｑとして、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽をそれぞれ考えます。
２つの条件ｐ，ｑの間に左右両方の矢印を書き（例ｐ⇆ｑ）、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽を順番に調べます。
命題「ｐ⇒ｑ」の真偽を調べます。
問１(1)の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad p: \ x=1 \ \Rightarrow \ q: \ x^{\scriptsize{2}} = 1 \end{align*}の真偽を調べる。
$x = 1$ のとき
\begin{align*} \quad x^{\scriptsize{2}} = 1 \end{align*}は成り立つので
\begin{align*} \quad p \Rightarrow q \ \text{は真} \end{align*}真偽が分かったら、矢印の上にマルバツをつけておきます。
次に、命題「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽を調べます。こちらは少し注意する必要があります。
問１(1)の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad p: \ x=1 \ \Leftarrow \ q: \ x^{\scriptsize{2}} = 1 \end{align*}の真偽を調べる。
$x^{2} = 1$ すなわち $x = \pm 1$ のとき
\begin{align*} \quad x=1 \end{align*}がつねに成り立つとは限らない。
反例は $x=-1$ のとき
これより
\begin{align*} \quad p \Leftarrow q \ \text{は偽} \end{align*}よって、$p$ は $q$ であるための十分条件である。
条件ｑは２次方程式で与えられています。このままでは、条件ｑを満たす変数ｘの値、言い換えると集合に属する要素が分かりません。
要素が分からないと、集合の包含関係を調べることができません。変数ｘの値（＝要素）を明らかにするために２次方程式を解き、それから命題の真偽を調べます。
条件を満たす変数の値（＝要素）をはっきりさせてから、命題の真偽を調べよう。
命題の真偽を調べる流れを図解すると以下のようになります。
命題の真偽は、矢印の上または下のマルバツで分かります。その結果をもとにｐ，ｑの関係を考えます。
命題「ｐ⇒ｑ」が真で、命題「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」が偽です。
このことから、ｐはｑ（であるため）の十分条件ではありますが、必要条件ではありません。
問１(1)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。解答例ではベン図も使っているので、命題の真偽をより簡単に調べることができています。
条件ｐ，ｑが真となる変数の値を求めて、それを集合や要素に置き換えよう。集合の包含関係で命題の真偽を調べる方が、与えられた条件のままで調べるよりも確実でラク。
問１(2)の解答・解説
問１(2)
次の□の中には、「必要条件である」「十分条件である」「必要十分条件である」のうち、最も適するものをいれよ。ただし、文字はすべて実数とする。
$x=3$ は、$2x-6=0$ であるための□。
問１(2)は、ｘ＝３が２ｘ－６＝０にとってどんな条件かを求める問題です。
問１(1)と同じように、ｘ＝３を条件ｐ、２ｘ－６＝０を条件ｑとして、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽をそれぞれ考えます。
注意したいのは、条件ｑが１次方程式で与えられていることです。変数ｘの値が不明なので、方程式を解いて解を求めておきます。
問１(2)の解答例
とする。
条件 $q$ が真となる変数 $x$ の値は
\begin{align*} \quad x = 3 \end{align*}これは条件 $p$ と同値である。
よって、$p$ は $q$ であるための必要十分条件である。
条件ｑが真となる変数ｘの値は、与えられた１次方程式の解です。解はｘ＝３となり、これは条件ｐと全く同じになります。
これより、集合と要素が一致するので、条件ｐ，ｑは同値であることが分かります。
問１(2)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
条件が真となる変数の値を使って、命題の真偽を調べよう。
問１(3)の解答・解説
問１(3)
次の□の中には、「必要条件である」「十分条件である」「必要十分条件である」のうち、最も適するものをいれよ。ただし、文字はすべて実数とする。
$x \geqq 1$ は、$x \geqq 2$ であるための□。
問１(3)は、ｘ≧１がｘ≧２にとってどんな条件かを求める問題です。
(1)，(2)と同じように、ｘ≧１を条件ｐ、ｘ≧２を条件ｑとして、２つの命題「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽をそれぞれ考えます。
命題「ｐ⇒ｑ」の真偽を調べます。
問１(3)の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad p: \ x \geqq 1 \ \Rightarrow \ q: \ x \geqq 2 \end{align*}の真偽を調べる。
条件 $p$ を満たす実数 $x$ が
\begin{align*} \quad x = 1.5 \end{align*}であるとき、条件 $q$ を満たさないので
\begin{align*} \quad p \Rightarrow q \ \text{は偽} \end{align*}真偽が分かったら、矢印の上にマルバツをつけておきます。
次に、命題「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」の真偽を調べます。
問１(3)の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad p: \ x \geqq 1 \ \Leftarrow \ q: \ x \geqq 2 \end{align*}の真偽を調べる。
条件 $q$ を満たす実数 $x$ は、すべて条件 $p$ を満たす。
よって
\begin{align*} \quad p \Leftarrow q \ \text{は真} \end{align*}よって、$p$ は $q$ であるための必要条件である。
２つの条件ｐ，ｑは、不等式で与えられています。この場合、ベン図よりも数直線の方が、真偽を調べるのに向いています。
数直線で図解すれば分かるように、ｘ≧１の方がｘ≧２よりも大きな範囲になります。これより、集合Ｐ，Ｑの包含関係はＱ⊂Ｐとなります。
集合Ｐ，Ｑの包含関係から、命題「ｐ⇒ｑ」が偽で、命題「ｑ⇒ｐ（ｐ⇐ｑ）」が真になります。
問１(3)のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
条件が不等式で与えられていれば、数直線を使って命題の真偽を調べよう。
十分条件や必要条件を調べるとき、ベン図や数直線を上手に利用しましょう。集合どうしの包含関係が分かれば、命題の真偽も簡単に分かります。
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著者が異なりますが、こちらも『総合的研究』シリーズです。
さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 十分・必要条件は、２つの条件の関係を表す。
- 十分条件か必要条件かは、２つの命題「ｐ⇒ｑ」「ｐ⇐ｑ」の真偽を調べることで判定できる。
- 命題の真偽は、集合と要素に置き換えて包含関係を調べよう。
- 集合の包含関係はベン図を使って調べよう。
- 条件が不等式であれば、数直線を使おう。