集合と論理｜命題について
今回は命題について学習しましょう。新しい用語や定義を理解するには、すでに学習した集合や要素の知識が必要になります。既習内容と新規内容とをスムーズに接続するためにも、不安のある人は復習しておきましょう。
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参考
集合と論理｜集合と要素について
参考
集合と論理｜共通部分・和集合・補集合について
命題と条件、否定について
この単元では、命題・条件・否定という用語が出てきます。それぞれの定義をしっかり覚えましょう。
用語の定義に合わせて、記号の使い方や表し方もしっかりマスターしましょう。
命題について
命題とは、正しいか正しくないかを判定できる文や式のことです。正しいか正しくないかを判定できないものは命題とは言いません。
具体例１：「３は偶数である」という文
３は奇数であって偶数ではないので、正しくないと判定できる。よって、「３は偶数である」は命題と言える。
具体例２：「1+1」という式
正しいか正しくないかを判定できない。よって、「1+1」は命題とは言えない。
このように命題は正しいか正しくないかを判定できなければなりません。
命題の真偽
命題が正しいことを「命題は真である」と言い、命題が正しくないことを「命題は偽である」と言います。
具体例で挙げた「３は偶数である」という命題は正しくなかったので、命題「３は偶数である」は偽であると言います。
条件について
命題の中でも少し特殊な命題があります。それは $x$ や $a$ などの変数を用いた文や式です。このように変数を用いた命題のことを「条件」と言います。
具体例１：「 $x \gt 0$ 」
具体例２：「 $x$ は整数」
条件と言われる命題が特殊なのは、変数の値が決まると、命題の真偽を判定できるところです。言い換えると、変数の値が決まらないと、真偽を判定できません。
２つの条件からなる命題
命題は「３は偶数である」のように必ず１つの文や式からできているとは限りません。先ほどの条件を２つ組み合わせた命題もあります。
「 $x$ が奇数であるならば、$5x$ は奇数である」
「 $x$ が奇数である」と「 $5x$ は奇数である」は変数を用いた命題なので、ともに条件。
このように１つの命題の中に、条件と言われる命題を２つ含む文になります。
このような命題を一般に「 $p$ ならば $q$ 」と言い、記号を使って「 $p \Rightarrow q$ 」と表します。また、条件 $p$ のことを仮定、条件 $q$ のことを結論と言います。
２つの条件からなる命題の真偽
命題「 $p$ ならば $q$ ( $p \Rightarrow q$ )」の真偽は、「仮定 $p$ が真となる変数が、結論 $q$ も真となる変数であるか」を考えることで真偽を判定することができます。
条件 $p$ が真だと仮定として、条件 $q$ の結論が真であるかを判定すれば良いので、条件 $p$ を満たす変数が、条件 $q$ を満たす変数であるかを調べます。
具体例として、命題「 $x$ が奇数であるならば、$5x$ は奇数である」の真偽を考えてみましょう。
仮定と結論は以下のようになります。
結論：$5x$ は奇数である
仮定「 $x$ が奇数である」が真となる変数 $x$ には、$x=1 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \cdots$ があります。これらが結論「 $5x$ は奇数である」でも真となる変数であるかを調べます。$x=1 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \cdots$ を代入すると、$5x=5 \ , \ 15 \ , \ 25 \ , \ 35 \ , \cdots$ となり、すべて奇数になります。
このことから、仮定が真となる変数 $x$ は、結論が真となる変数 $x$ になるので、命題「 $x$ が奇数であるならば、$5x$ は奇数である」は真であると言えます。
なお、命題が偽であるときには、偽となる変数の値を一例として挙げるのが一般的です。この挙げた一例のことを反例と言います。
次は、命題と集合や要素との関係を考えてみましょう。