整数の性質｜ｎ進数の各位の数や桁数、記数法の決定について

問

(1)　ある自然数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(5)}$ となり、$3$ 倍して $9$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $cba_{(9)}$ となる。$a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。また、$N$ を $10$ 進法で表わせ。

(2)　$n$ は $2$ 以上の自然数とする。$3$ 進数 $1212_{(3)}$ を $n$ 進法で表すと $101_{(n)}$ となるような $n$ の値を求めよ。

(3)　$5$ 進法で表すと $3$ 桁になるような自然数 $N$ は何個あるか。

問(1)

ある自然数 $N$ を $5$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $abc_{(5)}$ となり、$3$ 倍して $9$ 進法で表すと $3$ 桁の数 $cba_{(9)}$ となる。$a \ , \ b \ , \ c$ を求めよ。また、$N$ を $10$ 進法で表わせ。

問(1)の解答例 1⃣

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ はともに $3$ 桁の数であり、$5 \lt 9$ であるので

$$\begin{align*} \quad 1 \leqq a \leqq 5 \ , \ 0 \leqq b \leqq 5 \ , \ 1 \leqq c \leqq 5 \end{align*}$$

問(1)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$$

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ を $10$ 進法で表す。

$$\begin{align*} \quad abc_{(5)} = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5^{1} + c \cdot 5^{0} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \end{align*}$$

また

$$\begin{align*} \quad cba_{(9)} = c \cdot 9^{2} + b \cdot 9^{1} + a \cdot 9^{0} \end{align*}$$

この式は自然数 $N$ を $3$ 倍した数を表すので

$$\begin{align*} \quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

問(1)の解答例 3⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

①，②より

$$\begin{align*} \quad 25a + 5b + c = \frac{a + 9b + 81c}{3} \end{align*}$$

これを整理すると

$$\begin{align*} &\quad 75a + 15b + 3c = a + 9b + 81c \\[ 7pt ] &\quad 74a = 78c-6b \\[ 7pt ] &\quad 37a = 39c-3b \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}$$

問(1)の解答例 4⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}$$

$3$ と $37$ は互いに素であるので、$a$ は $3$ の倍数である。

$1 \leqq a \leqq 5$ より

$$\begin{align*} \quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}$$

問(1)の解答例 5⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}$$

③，④より

$$\begin{align*} \quad 13c = b + 37 \quad \cdots \text{⑤} \end{align*}$$

よって、$b+37$ は $13$ の倍数となる。

$0 \leqq b \leqq 5$ より

$$\begin{align*} \quad b = 2 \end{align*}$$

これと⑤から

$$\begin{align*} \quad c = 3 \end{align*}$$

これは $1 \leqq c \leqq 5$ を満たす。

$$\begin{align*} \quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}$$

問(1)の解答例 6⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}$$

①より、自然数 $N$ を $10$ 進法で表すと

$$\begin{align*} \quad N = 25 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 = 88 \end{align*}$$

問(1)の記述例

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ はともに $3$ 桁の数であり、$5 \lt 9$ であるので

$$\begin{align*} \quad 1 \leqq a \leqq 5 \ , \ 0 \leqq b \leqq 5 \ , \ 1 \leqq c \leqq 5 \end{align*}$$

$abc_{(5)}$ と $cba_{(9)}$ を $10$ 進法で表すと

$$\begin{align*} \quad abc_{(5)} = a \cdot 5^{2} + b \cdot 5^{1} + c \cdot 5^{0} \end{align*}$$

より

$$\begin{align*} \quad N = 25a + 5b + c \quad \cdots \text{①} \end{align*}$$

また

$$\begin{align*} \quad cba_{(9)} = c \cdot 9^{2} + b \cdot 9^{1} + a \cdot 9^{0} \end{align*}$$

この式は自然数 $N$ を $3$ 倍した数を表すので

$$\begin{align*} \quad N = \frac{a + 9b + 81c}{3} \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

①，②より

$$\begin{align*} \quad 25a + 5b + c = \frac{a + 9b + 81c}{3} \end{align*}$$

これを整理すると

$$\begin{align*} \quad 37a = 3( 13c – b ) \quad \cdots \text{③} \end{align*}$$

③について、$3$ と $37$ は互いに素であるので、$a$ は $3$ の倍数である。

$1 \leqq a \leqq 5$ より

$$\begin{align*} \quad a = 3 \quad \cdots \text{④} \end{align*}$$

③，④より

$$\begin{align*} \quad 13c = b + 37 \end{align*}$$

よって、$b+37$ は $13$ の倍数となる。

$0 \leqq b \leqq 5$ より

$$\begin{align*} \quad b = 2 \end{align*}$$

また

$$\begin{align*} \quad c = 3 \end{align*}$$

これは $1 \leqq c \leqq 5$ を満たす。

$$\begin{align*} \quad \therefore \ a = 3 \ , \ b = 2 \ , \ c = 3 \end{align*}$$

これらと①より、自然数 $N$ を $10$ 進法で表すと/p>

$$\begin{align*} &\quad N = 25 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + 3 \\[ 7pt ] &\quad \therefore \ N = 88 \end{align*}$$

問(2)

$n$ は $2$ 以上の自然数とする。$3$ 進数 $1212_{(3)}$ を $n$ 進法で表すと $101_{(n)}$ となるような $n$ の値を求めよ。

問(2)の解答例 1⃣

$1212_{(3)}$ と $101_{(n)}$ を $10$ 進法で表すと

$$\begin{align*} &\quad 1212_{(3)} = 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = 1 \cdot n^{2} + 0 \cdot n^{1} + 1 \cdot n^{0} = n^{2} + 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

問(2)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 1212_{(3)} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = n^{2} +1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

①，②より

$$\begin{align*} \quad n^{2} + 1 = 50 \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad n^{2} = 49 \end{align*}$$

$n \geqq 2$ より

$$\begin{align*} \quad \therefore \ n = 7 \end{align*}$$

問(2)の記述例

$1212_{(3)}$ と $101_{(n)}$ を $10$ 進法で表すと

$$\begin{align*} &\quad 1212_{(3)} = 1 \cdot 3^{3} + 2 \cdot 3^{2} + 1 \cdot 3^{1} + 2 \cdot 3^{0} = 50 \quad \cdots \text{①} \\[ 7pt ] &\quad 101_{(n)} = 1 \cdot n^{2} + 0 \cdot n^{1} + 1 \cdot n^{0} = n^{2} + 1 \quad \cdots \text{②} \end{align*}$$

①，②より

$$\begin{align*} \quad n^{2} + 1 = 50 \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad n^{2} = 49 \end{align*}$$

$n \geqq 2$ より

$$\begin{align*} \quad \therefore \ n = 7 \end{align*}$$

問(3)

$5$ 進法で表すと $3$ 桁になるような自然数 $N$ は何個あるか。

問(3)の解答例 1⃣

自然数 $N$ は $5$ 進法で表すと $3$ 桁になるので

$$\begin{align*} \quad 5^{3-1} \leqq N \lt 5^{3} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}$$

問(3)の解答例 2⃣

$$\begin{align*} &\qquad \vdots \\[ 7pt ] &\quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}$$

この不等式を満たす自然数 $N$ の個数は

$$\begin{align*} \quad 125 – 25 = 100 \ \text{（個）} \end{align*}$$

２６や１２６を５進数で表す

$$\begin{align*} \quad 24 &=20+4 \\[ 7pt ] &=4 \cdot 5^{1}+4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=44_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 25 &=5^{2} \\[ 7pt ] &=1 \cdot 5^{2}+0 \cdot 5^{1}+0 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=100_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 124 &=100+20+4 \\[ 7pt ] &=4 \cdot 5^{2}+4 \cdot 5^{1}+4 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=444_{(5)} \\[ 10pt ] \quad 125 &=5^{3} \\[ 7pt ] &=1 \cdot 5^{3}+0 \cdot 5^{2}+0 \cdot 5^{1}+0 \cdot 5^{0} \\[ 7pt ] &=1000_{(5)} \end{align*}$$

問(3)の記述例

自然数 $N$ は $5$ 進法で表すと $3$ 桁になるので

$$\begin{align*} \quad 5^{3-1} \leqq N \lt 5^{3} \end{align*}$$

よって

$$\begin{align*} \quad 25 \leqq N \lt 125 \end{align*}$$

この不等式を満たす自然数 $N$ の個数は

$$\begin{align*} \quad 125 – 25 = 100 \ \text{（個）} \end{align*}$$

問(3)の別解例

$5$ 進法で表すと $3$ 桁になる数について、各位の数字を考えると

$\quad 5^{2}$ の位：$1$~$4$ の $4$ 通り

$\quad 5^{1}$ の位：$0$~$4$ の $5$ 通りずつ

$\quad 5^{0}$ の位：$0$~$4$ の $5$ 通りずつ

の場合がある。

したがって、積の法則より

$$\begin{align*} \quad 4 \cdot 5 \cdot 5 = 100 \ \text{（個）} \end{align*}$$