２次関数｜２次関数のグラフとx軸との位置関係について

04/10/2022数学１

グラフとｘ軸との位置関係を扱った問題を解いてみよう

次の問題を解いてみましょう。

共有点に関する問題を解いてみましょう。 — グラフとｘ軸との位置関係に関する問題

第１問の解答・解説

第１問

$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求めよ。

$\begin{align*} \quad y = {x}^{2} -3x -4 \end{align*}$

第１問は、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求める問題です。グラフとｘ軸との共有点は、グラフ上にあり、かつｘ軸上にもある点のことです。

このような点のｘ座標は、与式においてｙ＝０のときの変数ｘの値です。与式にｙ＝０を代入すると、ｘについての２次方程式が得られます。

第１問の解答例 1⃣

$\begin{align*} \quad y = {x}^{2} -3x -4 \end{align*}$

$y=0$ のとき、与式は

$\begin{align*} \quad x^{2} -3x -4 =0 \end{align*}$

得られた２次方程式を解きます。２次方程式の解が共有点のｘ座標です。

第１問の解答例 2⃣

$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} \quad x^{2} -3x -4 =0 \end{align*}$

これを解くと

$\begin{align*} \quad \left(x+1 \right)\left(x-4 \right) &=0 \\[ 7pt ] \therefore \ x &= -1 \ , \ 4 \end{align*}$

よって、求める $x$ 座標は

$\begin{align*} \quad -1 \ , \ 4 \end{align*}$

第１問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

（２次方程式の実数解）＝（グラフとｘ軸との共有点のｘ座標）

第２問の解答・解説

第２問

$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求めよ。

$\begin{align*} \quad y = 2{x}^{2} -3x -6 \end{align*}$

ｘ軸との共有点の話なので、与式でｙ＝０とおいて、ｘについての２次方程式を導出します。

第２問の解答例 1⃣

$\begin{align*} \quad y = 2{x}^{2} -3x -6 \end{align*}$

$y=0$ のとき、与式は

$\begin{align*} \quad 2x^{2} -3x -6 =0 \end{align*}$

２次方程式を導出してからが第１問とは異なります。

ｘ軸との共有点の個数は、共有点のｘ座標に注目します。共有点のｘ座標は、先ほど導出した２次方程式から得られます。

しかし、第２問ではｘの値そのものを知る必要はありません。知りたいのは、２次方程式からｘの値、つまり実数解が何個得られるかです。

実数解の個数を調べるには、２次方程式の解の判別式を利用します。判別式の値によって、実数解の個数、すなわち共有点のｘ座標の個数を知ることができます。

第２問の解答例 2⃣

$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} \quad 2x^{2} -3x -6 =0 \end{align*}$

ここで、 $2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると

$\begin{align*} \quad D &={\left( -3 \right)}^{2} -4 \cdot 2 \cdot \left( -6 \right) \\[ 7pt ] &= 9+48 \\[ 7pt ] &= 57 \gt 0 \end{align*}$

$D \gt 0$ より、 $2$ 次方程式は異なる $2$ つの実数解をもつ。

したがって、 $2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点は $2$ 個。

判別式Ｄの値を調べるとＤ＞０となったので、２次方程式は異なる２つの実数解をもつことが分かります。

言い換えると、２次方程式から共有点のｘ座標を２つ得ることができるということです。つまり、共有点の個数は２個あります。

第２問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

（２次方程式の実数解の個数）＝（グラフとｘ軸との共有点の個数）

第３問の解答・解説

第３問

$2$ 次関数のグラフが $x$ 軸と接するときの定数 $k$ の値を求めよ。

$\begin{align*} \quad y = x^{2} +2x -k \end{align*}$

第１，２問と同様に、ｘ軸との共有点の話です。与式でｙ＝０とおいて、ｘについての２次方程式を導出します。

第３問の解答例 1⃣

$\begin{align*} \quad y = x^{2} +2x -k \end{align*}$

$y=0$ のとき、与式は

$\begin{align*} \quad x^{2} +2x -k =0 \end{align*}$

グラフがｘ軸と接するので、グラフとｘ軸との共有点は１個だけです。

共有点が１個だけになるには、与式においてｙ＝０のときの２次方程式が重解をもつ、という条件を満たさなければなりません。

実数解の個数を調べるには、２次方程式の解の判別式を利用します。

第３問の解答例 2⃣

$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} \quad x^{2} +2x -k =0 \end{align*}$

ここで、判別式を $D$ とすると

$\begin{align*} \quad D &= 2^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left( -k \right) \\[ 7pt ] &= 4 + 4k \end{align*}$

２次方程式が重解をもつかどうかは、判別式の値で決まります。重解をもつとき、判別式はＤ＝０が成り立ちます。

この条件から、ｋについての方程式を導出することができます。

第３問の解答例 3⃣

$\begin{align*} \quad \vdots \end{align*}$

$\begin{align*} \quad D &= 2^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left( -k \right) \\[ 7pt ] &= 4 + 4k \end{align*}$

グラフが $x$ 軸と接するには、共有点を１個だけもてばよい。

このとき、 $2$ 次方程式は重解をもつので $D=0$ が成り立つ。

よって

$\begin{align*} \quad D &=0 \\[ 7pt ] \quad 4 + 4k &=0 \end{align*}$

これを解くと

$\begin{align*} \quad k = -1 \end{align*}$

定数ｋについての方程式を導出できたら、ｋについて解きましょう。このｋの値が、グラフがｘ軸と接するときの値です。

ｋ＝－１のとき、グラフがｘ軸と接することを確認してみましょう。

グラフがｘ軸と接することの確認

$k=-1$ のとき、与式は

$\begin{align*} \quad y &= x^{2} +2x -\left(-1 \right) \\[ 7pt ] &= x^{2} +2x+1 \end{align*}$

これを平方完成すると

$\begin{align*} \quad y = \left(x+1 \right)^{2} \end{align*}$

この関数のグラフは、頂点が $\left(-1 \ , \ 0 \right)$ の放物線となる。

頂点の座標から、グラフがｘ軸と接することが分かります。

第３問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。

第３問は応用的な問題です。２次関数・２次方程式・グラフの関係が相互に繋がっていないと解くのが難しいでしょう。入試レベルになると頻繁に出題されるので、しっかりマスターしましょう。

３者の立場に応じて言い換えるので、感覚としては伝言ゲームのような感じ。一方向の関係だけでなく、双方向の関係で理解しておこう。

Recommended books

関数を上手に扱えるようになると、高校での数学はとてもラクになると思います。中学でも関数を扱いましたが、方程式や不等式との関係までは学習していません。

関数単体でなら何とかなっていても、方程式や不等式との関係性を理解しないと、高校では厳しくなります。逆に関係性が掴めれば、今までの苦労が何だったのかと思えるようになるでしょう。

関数は、たとえば物理の直線運動でもｖ－ｔグラフなどで登場するので、ぜひとも攻略しておきたい単元です。

オススメその１

１冊目に紹介するのは『おもしろいほどよくわかる高校数学関数編』です。図解してあるので、関数に苦手意識がある人でも読みやすいでしょう。

高校数学で学ぶ２次関数・指数関数・対数関数・三角関数について、その関数が生まれた身近な現象から説明し、それぞれの関数の性質を考える過程に多くのページを割きました。

書籍の紹介にもあるように、身近な現象を例に挙げて話が進むので、イメージしやすいかと思います。興味のある人は一読してみてはいかがでしょうか。

おもしろいほどよくわかる高校数学関数編

created by Rinker

オススメその２

２冊目に紹介するのは『改訂版坂田アキラの２次関数が面白いほどわかる本』です。

『おもしろいほどよくわかる高校数学関数編』は読み物に近いですが、こちらはより日常学習で利用しやすい教材です。

高校数学の基幹分野である「２次関数」は坂田の解説でマスターせよ！
累計５０万部超の「坂田理系シリーズ」の「２次関数」。２００９年４月に刊行した「新装版」の新課程版。学習者がつまずきやすい「場合分け」の丁寧な解説が最大の特長。基本から応用、重要公式からテクニックまで、幅広く網羅した「２次関数」対策の決定版！！旧版になかった「解の配置」のテーマを増設。

教科書で理解できない箇所があっても本書が補助してくれるでしょう。そういう意味では基礎レベルなので、予習や復習のときに教科書とセットで利用するのが良いでしょう。