２次関数｜２次関数のグラフとx軸との位置関係について
グラフとｘ軸との位置関係を扱った問題を解いてみよう
次の問題を解いてみましょう。
第１問の解答・解説
第１問
$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標を求めよ。
\begin{align*} \quad y = {x}^{2} -3x -4 \end{align*}第１問は、グラフとｘ軸との共有点のｘ座標を求める問題です。グラフとｘ軸との共有点は、グラフ上にあり、かつｘ軸上にもある点のことです。
このような点のｘ座標は、与式においてｙ＝０のときの変数ｘの値です。与式にｙ＝０を代入すると、ｘについての２次方程式が得られます。
第１問の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad y = {x}^{2} -3x -4 \end{align*}$y=0$ のとき、与式は
\begin{align*} \quad x^{2} -3x -4 =0 \end{align*}得られた２次方程式を解きます。２次方程式の解が共有点のｘ座標です。
第１問の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad x^{2} -3x -4 =0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad \left(x+1 \right)\left(x-4 \right) &=0 \\[ 7pt ] \therefore \ x &= -1 \ , \ 4 \end{align*}よって、求める $x$ 座標は
\begin{align*} \quad -1 \ , \ 4 \end{align*}第１問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
（２次方程式の実数解）＝（グラフとｘ軸との共有点のｘ座標）
第２問の解答・解説
第２問
$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を求めよ。
\begin{align*} \quad y = 2{x}^{2} -3x -6 \end{align*}ｘ軸との共有点の話なので、与式でｙ＝０とおいて、ｘについての２次方程式を導出します。
第２問の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad y = 2{x}^{2} -3x -6 \end{align*}$y=0$ のとき、与式は
\begin{align*} \quad 2x^{2} -3x -6 =0 \end{align*}２次方程式を導出してからが第１問とは異なります。
ｘ軸との共有点の個数は、共有点のｘ座標に注目します。共有点のｘ座標は、先ほど導出した２次方程式から得られます。
しかし、第２問ではｘの値そのものを知る必要はありません。知りたいのは、２次方程式からｘの値、つまり実数解が何個得られるかです。
実数解の個数を調べるには、２次方程式の解の判別式を利用します。判別式の値によって、実数解の個数、すなわち共有点のｘ座標の個数を知ることができます。
第２問の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad 2x^{2} -3x -6 =0 \end{align*}ここで、$2$ 次方程式の判別式を $D$ とすると
\begin{align*} \quad D &={\left( -3 \right)}^{2} -4 \cdot 2 \cdot \left( -6 \right) \\[ 7pt ] &= 9+48 \\[ 7pt ] &= 57 \gt 0 \end{align*}$D \gt 0$ より、$2$ 次方程式は異なる $2$ つの実数解をもつ。
したがって、$2$ 次関数のグラフと $x$ 軸との共有点は $2$ 個。
判別式Ｄの値を調べるとＤ＞０となったので、２次方程式は異なる２つの実数解をもつことが分かります。
言い換えると、２次方程式から共有点のｘ座標を２つ得ることができるということです。つまり、共有点の個数は２個あります。
第２問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
（２次方程式の実数解の個数）＝（グラフとｘ軸との共有点の個数）
第３問の解答・解説
第３問
$2$ 次関数のグラフが $x$ 軸と接するときの定数 $k$ の値を求めよ。
\begin{align*} \quad y = x^{2} +2x -k \end{align*}第１，２問と同様に、ｘ軸との共有点の話です。与式でｙ＝０とおいて、ｘについての２次方程式を導出します。
第３問の解答例 1⃣
\begin{align*} \quad y = x^{2} +2x -k \end{align*}$y=0$ のとき、与式は
\begin{align*} \quad x^{2} +2x -k =0 \end{align*}グラフがｘ軸と接するので、グラフとｘ軸との共有点は１個だけです。
共有点が１個だけになるには、与式においてｙ＝０のときの２次方程式が重解をもつ、という条件を満たさなければなりません。
実数解の個数を調べるには、２次方程式の解の判別式を利用します。
第３問の解答例 2⃣
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad x^{2} +2x -k =0 \end{align*}ここで、判別式を $D$ とすると
\begin{align*} \quad D &= 2^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left( -k \right) \\[ 7pt ] &= 4 + 4k \end{align*}２次方程式が重解をもつかどうかは、判別式の値で決まります。重解をもつとき、判別式はＤ＝０が成り立ちます。
この条件から、ｋについての方程式を導出することができます。
第３問の解答例 3⃣
\begin{align*} \quad \vdots \end{align*} \begin{align*} \quad D &= 2^{2} -4 \cdot 1 \cdot \left( -k \right) \\[ 7pt ] &= 4 + 4k \end{align*}グラフが $x$ 軸と接するには、共有点を１個だけもてばよい。
このとき、$2$ 次方程式は重解をもつので $D=0$ が成り立つ。
よって
\begin{align*} \quad D &=0 \\[ 7pt ] \quad 4 + 4k &=0 \end{align*}これを解くと
\begin{align*} \quad k = -1 \end{align*}定数ｋについての方程式を導出できたら、ｋについて解きましょう。このｋの値が、グラフがｘ軸と接するときの値です。
ｋ＝－１のとき、グラフがｘ軸と接することを確認してみましょう。
グラフがｘ軸と接することの確認
$k=-1$ のとき、与式は
\begin{align*} \quad y &= x^{2} +2x -\left(-1 \right) \\[ 7pt ] &= x^{2} +2x+1 \end{align*}これを平方完成すると
\begin{align*} \quad y = \left(x+1 \right)^{2} \end{align*}この関数のグラフは、頂点が $\left(-1 \ , \ 0 \right)$ の放物線となる。
頂点の座標から、グラフがｘ軸と接することが分かります。
第３問のポイントと解答例をまとめると以下のようになります。
第３問は応用的な問題です。２次関数・２次方程式・グラフの関係が相互に繋がっていないと解くのが難しいでしょう。入試レベルになると頻繁に出題されるので、しっかりマスターしましょう。
３者の立場に応じて言い換えるので、感覚としては伝言ゲームのような感じ。一方向の関係だけでなく、双方向の関係で理解しておこう。
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さいごに、もう一度、頭の中を整理しよう
- 実数解の個数は共有点の個数に等しい。
- 判別式の値が分かれば、実数解の個数だけでなく、共有点の個数も分かる。
- 判別式は、２次方程式を導出してから使う。
- 実数解の個数や共有点の個数は、判別式の条件と関連付けておく。