数学の公式・定理集｜確率分布と統計的な推測
確率分布と統計的な推測：１．確率分布
期待値（平均）・分散・標準偏差
期待値（平均）：$E(X)$
\begin{align*}
\quad E(X) &= m \\[ 10pt ]
&= x_{\tiny{1}} \ p_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + x_{n} \ p_{n} \\[ 10pt ]
&= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } x_{k} \ p_{k}
\end{align*}
分散：$V(X)$
\begin{align*}
\quad V(X) &= E \left( \ \left(X – m \right)^{\scriptsize{2}} \ \right) \\[ 10pt ]
&= ( x_{\tiny{1}} \ – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{1}} + ( x_{\tiny{2}} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + ( x_{n} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{n} \\[ 10pt ]
&= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ( x_{k} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{k} \\[ 10pt ]
&= E \left( X^{\scriptsize{2}} \right) \, – \left\{ E(X) \right\}^{\scriptsize{2}}
\end{align*}
標準偏差：$\sigma (X)$
\begin{equation*}
\quad \sigma (X) = \sqrt{ V(X) }
\end{equation*}
確率変数 $aX+b$ の期待値、分散、標準偏差
$X$ は確率変数、$a \ , \ b$ は定数とする。
期待値
\begin{equation*}
\quad E ( aX + b ) = aE ( X ) + b
\end{equation*}
分散
\begin{equation*}
\quad V ( aX + b ) = a^{\tiny{2}} \ V ( X )
\end{equation*}
標準偏差
\begin{equation*}
\quad \sigma ( aX + b ) = \left| a \right| \sigma (X)
\end{equation*}
確率変数の和と積
$X \ , \ Y$ は確率変数、$a \ , \ b$ は定数とする。
確率変数の和
\begin{align*}
&\bullet \ E( X + Y ) = E(X) + E(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ E( aX + bY ) = a E(X) + b E(Y)
\end{align*}
確率変数の積
$X \ , \ Y$ が互いに独立ならば
\begin{align*}
&\bullet \ E( XY ) = E(X) E(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ V( X + Y ) = V(X) + V(Y) \\[ 10pt ]
&\bullet \ V( aX + bY ) = a^{\tiny{2}} \ V ( X ) + b^{\tiny{2}} \ V ( Y )
\end{align*}
二項分布
確率変数 $X$ が二項分布 $B(n \ , \ p)$ に従うとする。
ただし、$q=1-p$
期待値
\begin{equation*}
\quad E ( X ) = np
\end{equation*}
分散
\begin{equation*}
\quad V ( X ) = npq
\end{equation*}
標準偏差
\begin{equation*}
\quad \sigma ( X ) = \sqrt{npq}
\end{equation*}
確率分布と統計的な推測：２．正規分布
正規分布
確率変数 $X$ が正規分布 $N(m \ , \ {\sigma}^{\tiny{2}})$ に従うとする。
期待値
\begin{equation*}
\quad E ( X ) = m
\end{equation*}
標準偏差
\begin{equation*}
\quad \sigma ( X ) = \sigma
\end{equation*}
確率分布と統計的な推測：３．統計的推測
推定
母平均の推定
標本の大きさ $n$ が大きいとき、母平均 $m$ に対する信頼度 95% の信頼区間は以下のようになる。
\begin{equation*}
\left[ \ \overline{X} \, – 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{X} + 1.96 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \right]
\end{equation*}
母比率の推定
標本比率を $R$ とする。標本の大きさ $n$ が大きいとき、母比率 $p$ に対する信頼度 95% の信頼区間は以下のようになる。
\begin{equation*}
\left[ \ R \, – 1.96 \ \sqrt{ \frac{ R(1-R) }{ n } } \ , \ R + 1.96 \ \sqrt{ \frac{ R(1-R) }{ n } } \ \right]
\end{equation*}
信頼度 99% の信頼区間なら、1.96 を 2.58 に置き換えればよい。
おすすめの数学辞典
公式や定理をまとめた数学辞典です。１冊あると便利です。
おすすめ その1
導出が丁寧に記載されている公式集を１冊もっておくと困ったときに辞書代わりになります。 ポケットサイズのものと違いサイズが少し大きいので、図が豊富です。
おすすめ その2
公式・定理・定義は左ページ、活用例・解説・証明は右ページの見開き構成になっているので、使いやすいです。
おすすめ その3
難関大を志望している人向けです。大学に進学してからも使えます。
