数学の公式・定理集｜確率分布と統計的な推測

期待値（平均）：$E(X)$

$$\begin{align*} \quad E(X) &= m \\[ 10pt ] &= x_{\tiny{1}} \ p_{\tiny{1}} + x_{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + x_{n} \ p_{n} \\[ 10pt ] &= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } x_{k} \ p_{k} \end{align*}$$

分散：$V(X)$

$$\begin{align*} \quad V(X) &= E \left( \ \left(X – m \right)^{\scriptsize{2}} \ \right) \\[ 10pt ] &= ( x_{\tiny{1}} \ – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{1}} + ( x_{\tiny{2}} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{\tiny{2}} + \cdots + ( x_{n} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{n} \\[ 10pt ] &= \displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } ( x_{k} \, – m )^{\tiny{2}} \ p_{k} \\[ 10pt ] &= E \left( X^{\scriptsize{2}} \right) \, – \left\{ E(X) \right\}^{\scriptsize{2}} \end{align*}$$

$$\begin{equation*} \quad \sigma (X) = \sqrt{ V(X) } \end{equation*}$$

$X$ は確率変数、$a \ , \ b$ は定数とする。

$$\begin{equation*} \quad E ( aX + b ) = aE ( X ) + b \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \quad V ( aX + b ) = a^{\tiny{2}} \ V ( X ) \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \quad \sigma ( aX + b ) = \left| a \right| \sigma (X) \end{equation*}$$

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n \ , \ p)$ に従うとする。

ただし、$q=1-p$

$$\begin{equation*} \quad E ( X ) = np \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \quad V ( X ) = npq \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \quad \sigma ( X ) = \sqrt{npq} \end{equation*}$$

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m \ , \ {\sigma}^{\tiny{2}})$ に従うとする。

$$\begin{equation*} \quad E ( X ) = m \end{equation*}$$

$$\begin{equation*} \quad \sigma ( X ) = \sigma \end{equation*}$$